Theorem leneg2d 45397

Description: Negative of one side of 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
leneg2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
leneg2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leneg2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ -𝐵 ↔ 𝐵 ≤ -𝐴))

Proof of Theorem leneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneg2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leneg2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11687	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	lenegd 11839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ -𝐵 ↔ --𝐵 ≤ -𝐴))
5	2	recnd 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	negnegd 11608	. . 3 ⊢ (𝜑 → --𝐵 = 𝐵)
7	6	breq1d 5157	. 2 ⊢ (𝜑 → (--𝐵 ≤ -𝐴 ↔ 𝐵 ≤ -𝐴))
8	4, 7	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ -𝐵 ↔ 𝐵 ≤ -𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝcr 11151   ≤ cle 11293  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  45757