Theorem negnegd 11555

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ℂcc 11093  -cneg 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by:  negn0  11638  ltnegcon1  11710  ltnegcon2  11711  lenegcon1  11713  lenegcon2  11714  negfi  12159  infm3lem  12168  infrenegsup  12193  zeo  12677  zindd  12692  znnn0nn  12702  supminf  12954  zsupss  12956  max0sub  13217  xnegneg  13235  ceilid  13880  expneg  14101  expaddzlem  14137  expaddz  14138  cjcj  15187  cnpart  15287  risefallfac  16074  sincossq  16227  difmod0  16340  bitsf1  16499  pcid  16928  4sqlem10  17002  mulgnegnn  19145  mulgsubcl  19149  mulgneg  19153  mulgz  19163  mulgass  19172  ghmmulg  19293  cyggeninv  19948  tgpmulg  24250  xrhmeo  25105  cphsqrtcl3  25346  iblneg  25962  itgneg  25963  ditgswap  26018  lhop2  26174  vieta1lem2  26472  ptolemy  26661  tanabsge  26671  tanord  26703  tanregt0  26704  lognegb  26755  logtayl  26825  logtayl2  26827  cxpmul2z  26856  isosctrlem2  26984  dcubic  27011  dquart  27018  atans2  27096  amgmlem  27154  lgamucov  27202  basellem5  27249  basellem9  27253  lgsdir2lem4  27492  dchrisum0flblem1  27672  ostth3  27802  ipasslem3  31185  zconstr  34154  constrsqrtcl  34169  zrhcntr  34369  ftc1anclem6  38369  lcmineqlem12  42827  posbezout  42887  dffltz  43386  rexzrexnn0  43551  acongsym  43723  acongneg2  43724  acongtr  43725  binomcxplemnotnn0  45086  infnsuprnmpt  45985  ltmulneg  46127  rexabslelem  46152  supminfrnmpt  46179  leneg2d  46182  leneg3d  46191  supminfxr  46198  climliminflimsupd  46535  itgsin0pilem1  46684  itgsinexplem1  46688  itgsincmulx  46708  stoweidlem13  46747  fourierdlem39  46880  fourierdlem43  46884  fourierdlem44  46885  etransclem46  47014  smfinflem  47551  sigariz  47597  sigaradd  47600  sqrtnegnre  48064  ceildivmod  48102  requad01  48406  itsclc0yqsol  49564  amgmwlem  50669