Theorem negnegd 11463

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ℂcc 11004  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  negn0  11546  ltnegcon1  11618  ltnegcon2  11619  lenegcon1  11621  lenegcon2  11622  negfi  12071  infm3lem  12080  infrenegsup  12105  zeo  12559  zindd  12574  znnn0nn  12584  supminf  12833  zsupss  12835  max0sub  13095  xnegneg  13113  ceilid  13755  expneg  13976  expaddzlem  14012  expaddz  14013  cjcj  15047  cnpart  15147  risefallfac  15931  sincossq  16085  difmod0  16198  bitsf1  16357  pcid  16785  4sqlem10  16859  mulgnegnn  18997  mulgsubcl  19001  mulgneg  19005  mulgz  19015  mulgass  19024  ghmmulg  19140  cyggeninv  19795  tgpmulg  24008  xrhmeo  24871  cphsqrtcl3  25114  iblneg  25731  itgneg  25732  ditgswap  25787  lhop2  25947  vieta1lem2  26246  ptolemy  26432  tanabsge  26442  tanord  26474  tanregt0  26475  lognegb  26526  logtayl  26596  logtayl2  26598  cxpmul2z  26627  isosctrlem2  26756  dcubic  26783  dquart  26790  atans2  26868  amgmlem  26927  lgamucov  26975  basellem5  27022  basellem9  27026  lgsdir2lem4  27266  dchrisum0flblem1  27446  ostth3  27576  ipasslem3  30813  zconstr  33777  constrsqrtcl  33792  zrhcntr  33992  ftc1anclem6  37748  lcmineqlem12  42143  posbezout  42203  dffltz  42737  rexzrexnn0  42907  acongsym  43079  acongneg2  43080  acongtr  43081  binomcxplemnotnn0  44459  infnsuprnmpt  45357  ltmulneg  45500  rexabslelem  45526  supminfrnmpt  45553  leneg2d  45556  leneg3d  45565  supminfxr  45572  climliminflimsupd  45909  itgsin0pilem1  46058  itgsinexplem1  46062  itgsincmulx  46082  stoweidlem13  46121  fourierdlem39  46254  fourierdlem43  46258  fourierdlem44  46259  etransclem46  46388  hoicvr  46656  smfinflem  46925  sigariz  46971  sigaradd  46974  sqrtnegnre  47417  ceildivmod  47449  requad01  47731  itsclc0yqsol  48875  amgmwlem  49913