Theorem negnegd 10637

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 10585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ℂcc 10187  -cneg 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-sub 10522  df-neg 10523

This theorem is referenced by:  negn0  10713  ltnegcon1  10783  ltnegcon2  10784  lenegcon1  10786  lenegcon2  10787  negfi  11225  fiminre  11226  infm3lem  11235  infrenegsup  11260  zeo  11710  zindd  11725  znnn0nn  11736  supminf  11976  zsupss  11978  max0sub  12229  xnegneg  12247  ceilid  12858  expneg  13075  expaddzlem  13110  expaddz  13111  cjcj  14165  cnpart  14265  risefallfac  15037  sincossq  15188  bitsf1  15449  pcid  15856  4sqlem10  15930  mulgnegnn  17818  mulgsubcl  17822  mulgneg  17826  mulgz  17834  mulgass  17843  ghmmulg  17936  cyggeninv  18551  tgpmulg  22176  xrhmeo  23024  cphsqrtcl3  23265  iblneg  23860  itgneg  23861  ditgswap  23914  lhop2  24069  vieta1lem2  24357  ptolemy  24540  tanabsge  24550  tanord  24576  tanregt0  24577  lognegb  24627  logtayl  24697  logtayl2  24699  cxpmul2z  24728  isosctrlem2  24840  dcubic  24864  dquart  24871  atans2  24949  amgmlem  25007  lgamucov  25055  basellem5  25102  basellem9  25106  lgsdir2lem4  25344  dchrisum0flblem1  25488  ostth3  25618  ipasslem3  28144  ftc1anclem6  33913  rexzrexnn0  38046  acongsym  38220  acongneg2  38221  acongtr  38222  binomcxplemnotnn0  39229  infnsuprnmpt  40106  ltmulneg  40252  rexabslelem  40282  supminfrnmpt  40309  leneg2d  40313  leneg3d  40324  supminfxr  40331  climliminflimsupd  40671  itgsin0pilem1  40803  itgsinexplem1  40807  itgsincmulx  40827  stoweidlem13  40867  fourierdlem39  41000  fourierdlem43  41004  fourierdlem44  41005  etransclem46  41134  hoicvr  41402  smfinflem  41663  sigariz  41692  sigaradd  41695  amgmwlem  43220