Theorem negnegd 11524

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℂcc 11066  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  negn0  11607  ltnegcon1  11679  ltnegcon2  11680  lenegcon1  11682  lenegcon2  11683  negfi  12132  infm3lem  12141  infrenegsup  12166  zeo  12620  zindd  12635  znnn0nn  12645  supminf  12894  zsupss  12896  max0sub  13156  xnegneg  13174  ceilid  13813  expneg  14034  expaddzlem  14070  expaddz  14071  cjcj  15106  cnpart  15206  risefallfac  15990  sincossq  16144  difmod0  16257  bitsf1  16416  pcid  16844  4sqlem10  16918  mulgnegnn  19016  mulgsubcl  19020  mulgneg  19024  mulgz  19034  mulgass  19043  ghmmulg  19160  cyggeninv  19813  tgpmulg  23980  xrhmeo  24844  cphsqrtcl3  25087  iblneg  25704  itgneg  25705  ditgswap  25760  lhop2  25920  vieta1lem2  26219  ptolemy  26405  tanabsge  26415  tanord  26447  tanregt0  26448  lognegb  26499  logtayl  26569  logtayl2  26571  cxpmul2z  26600  isosctrlem2  26729  dcubic  26756  dquart  26763  atans2  26841  amgmlem  26900  lgamucov  26948  basellem5  26995  basellem9  26999  lgsdir2lem4  27239  dchrisum0flblem1  27419  ostth3  27549  ipasslem3  30762  zconstr  33754  constrsqrtcl  33769  zrhcntr  33969  ftc1anclem6  37692  lcmineqlem12  42028  posbezout  42088  dffltz  42622  rexzrexnn0  42792  acongsym  42965  acongneg2  42966  acongtr  42967  binomcxplemnotnn0  44345  infnsuprnmpt  45244  ltmulneg  45388  rexabslelem  45414  supminfrnmpt  45441  leneg2d  45444  leneg3d  45453  supminfxr  45460  climliminflimsupd  45799  itgsin0pilem1  45948  itgsinexplem1  45952  itgsincmulx  45972  stoweidlem13  46011  fourierdlem39  46144  fourierdlem43  46148  fourierdlem44  46149  etransclem46  46278  hoicvr  46546  smfinflem  46815  sigariz  46861  sigaradd  46864  sqrtnegnre  47308  ceildivmod  47340  requad01  47622  itsclc0yqsol  48753  amgmwlem  49791