Theorem negnegd 11612

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ℂcc 11154  -cneg 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496

This theorem is referenced by:  negn0  11693  ltnegcon1  11765  ltnegcon2  11766  lenegcon1  11768  lenegcon2  11769  negfi  12218  infm3lem  12227  infrenegsup  12252  zeo  12706  zindd  12721  znnn0nn  12731  supminf  12978  zsupss  12980  max0sub  13239  xnegneg  13257  ceilid  13892  expneg  14111  expaddzlem  14147  expaddz  14148  cjcj  15180  cnpart  15280  risefallfac  16061  sincossq  16213  bitsf1  16484  pcid  16912  4sqlem10  16986  mulgnegnn  19103  mulgsubcl  19107  mulgneg  19111  mulgz  19121  mulgass  19130  ghmmulg  19247  cyggeninv  19902  tgpmulg  24102  xrhmeo  24978  cphsqrtcl3  25222  iblneg  25839  itgneg  25840  ditgswap  25895  lhop2  26055  vieta1lem2  26354  ptolemy  26539  tanabsge  26549  tanord  26581  tanregt0  26582  lognegb  26633  logtayl  26703  logtayl2  26705  cxpmul2z  26734  isosctrlem2  26863  dcubic  26890  dquart  26897  atans2  26975  amgmlem  27034  lgamucov  27082  basellem5  27129  basellem9  27133  lgsdir2lem4  27373  dchrisum0flblem1  27553  ostth3  27683  ipasslem3  30853  zrhcntr  33981  ftc1anclem6  37706  lcmineqlem12  42042  posbezout  42102  dffltz  42649  rexzrexnn0  42820  acongsym  42993  acongneg2  42994  acongtr  42995  binomcxplemnotnn0  44380  infnsuprnmpt  45262  ltmulneg  45408  rexabslelem  45434  supminfrnmpt  45461  leneg2d  45464  leneg3d  45473  supminfxr  45480  climliminflimsupd  45821  itgsin0pilem1  45970  itgsinexplem1  45974  itgsincmulx  45994  stoweidlem13  46033  fourierdlem39  46166  fourierdlem43  46170  fourierdlem44  46171  etransclem46  46300  hoicvr  46568  smfinflem  46837  sigariz  46883  sigaradd  46886  sqrtnegnre  47324  ceildivmod  47346  requad01  47613  itsclc0yqsol  48690  amgmwlem  49376