Theorem negnegd 10980

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 10928	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ℂcc 10527  -cneg 10863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865

This theorem is referenced by:  negn0  11061  ltnegcon1  11133  ltnegcon2  11134  lenegcon1  11136  lenegcon2  11137  negfi  11581  fiminreOLD  11582  infm3lem  11591  infrenegsup  11616  zeo  12060  zindd  12075  znnn0nn  12086  supminf  12327  zsupss  12329  max0sub  12581  xnegneg  12599  ceilid  13211  expneg  13429  expaddzlem  13464  expaddz  13465  cjcj  14491  cnpart  14591  risefallfac  15370  sincossq  15521  bitsf1  15787  pcid  16201  4sqlem10  16275  mulgnegnn  18230  mulgsubcl  18234  mulgneg  18238  mulgz  18247  mulgass  18256  ghmmulg  18362  cyggeninv  18994  tgpmulg  22693  xrhmeo  23542  cphsqrtcl3  23783  iblneg  24395  itgneg  24396  ditgswap  24449  lhop2  24604  vieta1lem2  24892  ptolemy  25074  tanabsge  25084  tanord  25114  tanregt0  25115  lognegb  25165  logtayl  25235  logtayl2  25237  cxpmul2z  25266  isosctrlem2  25389  dcubic  25416  dquart  25423  atans2  25501  amgmlem  25559  lgamucov  25607  basellem5  25654  basellem9  25658  lgsdir2lem4  25896  dchrisum0flblem1  26076  ostth3  26206  ipasslem3  28602  ftc1anclem6  34964  dffltz  39261  rexzrexnn0  39391  acongsym  39563  acongneg2  39564  acongtr  39565  binomcxplemnotnn0  40678  infnsuprnmpt  41511  ltmulneg  41653  rexabslelem  41681  supminfrnmpt  41708  leneg2d  41712  leneg3d  41722  supminfxr  41729  climliminflimsupd  42071  itgsin0pilem1  42224  itgsinexplem1  42228  itgsincmulx  42248  stoweidlem13  42288  fourierdlem39  42421  fourierdlem43  42425  fourierdlem44  42426  etransclem46  42555  hoicvr  42820  smfinflem  43081  sigariz  43110  sigaradd  43113  sqrtnegnre  43497  requad01  43776  itsclc0yqsol  44741  amgmwlem  44893