Theorem negnegd 10838

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 10786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ℂcc 10384  -cneg 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-po 5365  df-so 5366  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-ltxr 10529  df-sub 10721  df-neg 10722

This theorem is referenced by:  negn0  10919  ltnegcon1  10991  ltnegcon2  10992  lenegcon1  10994  lenegcon2  10995  negfi  11439  fiminreOLD  11440  infm3lem  11449  infrenegsup  11474  zeo  11918  zindd  11933  znnn0nn  11944  supminf  12184  zsupss  12186  max0sub  12439  xnegneg  12457  ceilid  13069  expneg  13287  expaddzlem  13322  expaddz  13323  cjcj  14333  cnpart  14433  risefallfac  15211  sincossq  15362  bitsf1  15628  pcid  16038  4sqlem10  16112  mulgnegnn  17993  mulgsubcl  17997  mulgneg  18001  mulgz  18009  mulgass  18018  ghmmulg  18111  cyggeninv  18725  tgpmulg  22385  xrhmeo  23233  cphsqrtcl3  23474  iblneg  24086  itgneg  24087  ditgswap  24140  lhop2  24295  vieta1lem2  24583  ptolemy  24765  tanabsge  24775  tanord  24803  tanregt0  24804  lognegb  24854  logtayl  24924  logtayl2  24926  cxpmul2z  24955  isosctrlem2  25078  dcubic  25105  dquart  25112  atans2  25190  amgmlem  25249  lgamucov  25297  basellem5  25344  basellem9  25348  lgsdir2lem4  25586  dchrisum0flblem1  25766  ostth3  25896  ipasslem3  28293  ftc1anclem6  34516  dffltz  38781  rexzrexnn0  38899  acongsym  39071  acongneg2  39072  acongtr  39073  binomcxplemnotnn0  40239  infnsuprnmpt  41076  ltmulneg  41218  rexabslelem  41247  supminfrnmpt  41274  leneg2d  41278  leneg3d  41288  supminfxr  41295  climliminflimsupd  41637  itgsin0pilem1  41790  itgsinexplem1  41794  itgsincmulx  41814  stoweidlem13  41854  fourierdlem39  41987  fourierdlem43  41991  fourierdlem44  41992  etransclem46  42121  hoicvr  42386  smfinflem  42647  sigariz  42676  sigaradd  42679  sqrtnegnre  43037  requad01  43282  itsclc0yqsol  44246  amgmwlem  44397