Theorem negnegd 11466

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℂcc 11007  -cneg 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  negn0  11549  ltnegcon1  11621  ltnegcon2  11622  lenegcon1  11624  lenegcon2  11625  negfi  12074  infm3lem  12083  infrenegsup  12108  zeo  12562  zindd  12577  znnn0nn  12587  supminf  12836  zsupss  12838  max0sub  13098  xnegneg  13116  ceilid  13755  expneg  13976  expaddzlem  14012  expaddz  14013  cjcj  15047  cnpart  15147  risefallfac  15931  sincossq  16085  difmod0  16198  bitsf1  16357  pcid  16785  4sqlem10  16859  mulgnegnn  18963  mulgsubcl  18967  mulgneg  18971  mulgz  18981  mulgass  18990  ghmmulg  19107  cyggeninv  19762  tgpmulg  23978  xrhmeo  24842  cphsqrtcl3  25085  iblneg  25702  itgneg  25703  ditgswap  25758  lhop2  25918  vieta1lem2  26217  ptolemy  26403  tanabsge  26413  tanord  26445  tanregt0  26446  lognegb  26497  logtayl  26567  logtayl2  26569  cxpmul2z  26598  isosctrlem2  26727  dcubic  26754  dquart  26761  atans2  26839  amgmlem  26898  lgamucov  26946  basellem5  26993  basellem9  26997  lgsdir2lem4  27237  dchrisum0flblem1  27417  ostth3  27547  ipasslem3  30777  zconstr  33737  constrsqrtcl  33752  zrhcntr  33952  ftc1anclem6  37688  lcmineqlem12  42023  posbezout  42083  dffltz  42617  rexzrexnn0  42787  acongsym  42959  acongneg2  42960  acongtr  42961  binomcxplemnotnn0  44339  infnsuprnmpt  45238  ltmulneg  45381  rexabslelem  45407  supminfrnmpt  45434  leneg2d  45437  leneg3d  45446  supminfxr  45453  climliminflimsupd  45792  itgsin0pilem1  45941  itgsinexplem1  45945  itgsincmulx  45965  stoweidlem13  46004  fourierdlem39  46137  fourierdlem43  46141  fourierdlem44  46142  etransclem46  46271  hoicvr  46539  smfinflem  46808  sigariz  46854  sigaradd  46857  sqrtnegnre  47301  ceildivmod  47333  requad01  47615  itsclc0yqsol  48759  amgmwlem  49797