Theorem negnegd 11660

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → - -𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11608	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → - -𝐴 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ℂcc 11198   -cneg 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  negn0  11745  ltnegcon1  11817  ltnegcon2  11818  lenegcon1  11820  lenegcon2  11821  negfi  12266  infm3lem  12275  infrenegsup  12300  zeo  12785  zindd  12800  znnn0nn  12810  supminf  13062  zsupss  13064  max0sub  13326  xnegneg  13344  ceilid  13991  expneg  14212  expaddzlem  14248  expaddz  14249  cjcj  15307  cnpart  15407  risefallfac  16191  sincossq  16344  difmod0  16457  bitsf1  16616  pcid  17051  4sqlem10  17125  mulgnegnn  19294  mulgsubcl  19298  mulgneg  19302  mulgz  19312  mulgass  19321  ghmmulg  19442  cyggeninv  20097  tgpmulg  24412  xrhmeo  25267  cphsqrtcl3  25508  iblneg  26123  itgneg  26124  ditgswap  26179  lhop2  26335  vieta1lem2  26634  ptolemy  26825  tanabsge  26835  tanord  26866  tanregt0  26867  lognegb  26918  logtayl  26988  logtayl2  26990  cxpmul2z  27019  isosctrlem2  27147  dcubic  27174  dquart  27181  atans2  27259  amgmlem  27317  lgamucov  27365  basellem5  27412  basellem9  27416  lgsdir2lem4  27655  dchrisum0flblem1  27835  ostth3  27965  ipasslem3  31435  zconstr  34396  constrsqrtcl  34411  zrhcntr  34611  ftc1anclem6  38616  lcmineqlem12  43090  posbezout  43150  dffltz  43670  rexzrexnn0  43810  acongsym  43982  acongneg2  43983  acongtr  43984  binomcxplemnotnn0  45339  infnsuprnmpt  46261  ltmulneg  46402  rexabslelem  46427  supminfrnmpt  46454  leneg2d  46457  leneg3d  46466  supminfxr  46473  climliminflimsupd  46810  itgsin0pilem1  46959  itgsinexplem1  46963  itgsincmulx  46983  stoweidlem13  47022  fourierdlem39  47155  fourierdlem43  47159  fourierdlem44  47160  etransclem46  47289  smfinflem  47826  sigariz  47872  sigaradd  47875  sqrtnegnre  48376  ceildivmod  48414  requad01  48718  itsclc0yqsol  49875  dvsec  50855  amgmwlem  50986