Theorem negnegd 11180

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ℂcc 10727  -cneg 11063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-neg 11065

This theorem is referenced by:  negn0  11261  ltnegcon1  11333  ltnegcon2  11334  lenegcon1  11336  lenegcon2  11337  negfi  11781  infm3lem  11790  infrenegsup  11815  zeo  12263  zindd  12278  znnn0nn  12289  supminf  12531  zsupss  12533  max0sub  12786  xnegneg  12804  ceilid  13424  expneg  13643  expaddzlem  13678  expaddz  13679  cjcj  14703  cnpart  14803  risefallfac  15586  sincossq  15737  bitsf1  16005  pcid  16426  4sqlem10  16500  mulgnegnn  18502  mulgsubcl  18506  mulgneg  18510  mulgz  18519  mulgass  18528  ghmmulg  18634  cyggeninv  19267  tgpmulg  22990  xrhmeo  23843  cphsqrtcl3  24084  iblneg  24700  itgneg  24701  ditgswap  24756  lhop2  24912  vieta1lem2  25204  ptolemy  25386  tanabsge  25396  tanord  25427  tanregt0  25428  lognegb  25478  logtayl  25548  logtayl2  25550  cxpmul2z  25579  isosctrlem2  25702  dcubic  25729  dquart  25736  atans2  25814  amgmlem  25872  lgamucov  25920  basellem5  25967  basellem9  25971  lgsdir2lem4  26209  dchrisum0flblem1  26389  ostth3  26519  ipasslem3  28914  ftc1anclem6  35592  lcmineqlem12  39782  dffltz  40174  rexzrexnn0  40329  acongsym  40501  acongneg2  40502  acongtr  40503  binomcxplemnotnn0  41647  infnsuprnmpt  42468  ltmulneg  42605  rexabslelem  42631  supminfrnmpt  42658  leneg2d  42662  leneg3d  42672  supminfxr  42679  climliminflimsupd  43017  itgsin0pilem1  43166  itgsinexplem1  43170  itgsincmulx  43190  stoweidlem13  43229  fourierdlem39  43362  fourierdlem43  43366  fourierdlem44  43367  etransclem46  43496  hoicvr  43761  smfinflem  44022  sigariz  44051  sigaradd  44054  sqrtnegnre  44472  requad01  44746  itsclc0yqsol  45783  amgmwlem  46177