Theorem negnegd 11590

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11538	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℂcc 11132  -cneg 11472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-neg 11474

This theorem is referenced by:  negn0  11671  ltnegcon1  11743  ltnegcon2  11744  lenegcon1  11746  lenegcon2  11747  negfi  12196  infm3lem  12205  infrenegsup  12230  zeo  12684  zindd  12699  znnn0nn  12709  supminf  12956  zsupss  12958  max0sub  13217  xnegneg  13235  ceilid  13873  expneg  14092  expaddzlem  14128  expaddz  14129  cjcj  15164  cnpart  15264  risefallfac  16045  sincossq  16199  bitsf1  16470  pcid  16898  4sqlem10  16972  mulgnegnn  19072  mulgsubcl  19076  mulgneg  19080  mulgz  19090  mulgass  19099  ghmmulg  19216  cyggeninv  19869  tgpmulg  24036  xrhmeo  24900  cphsqrtcl3  25144  iblneg  25761  itgneg  25762  ditgswap  25817  lhop2  25977  vieta1lem2  26276  ptolemy  26462  tanabsge  26472  tanord  26504  tanregt0  26505  lognegb  26556  logtayl  26626  logtayl2  26628  cxpmul2z  26657  isosctrlem2  26786  dcubic  26813  dquart  26820  atans2  26898  amgmlem  26957  lgamucov  27005  basellem5  27052  basellem9  27056  lgsdir2lem4  27296  dchrisum0flblem1  27476  ostth3  27606  ipasslem3  30819  zconstr  33803  constrsqrtcl  33818  zrhcntr  34015  ftc1anclem6  37727  lcmineqlem12  42058  posbezout  42118  dffltz  42624  rexzrexnn0  42794  acongsym  42967  acongneg2  42968  acongtr  42969  binomcxplemnotnn0  44347  infnsuprnmpt  45241  ltmulneg  45386  rexabslelem  45412  supminfrnmpt  45439  leneg2d  45442  leneg3d  45451  supminfxr  45458  climliminflimsupd  45797  itgsin0pilem1  45946  itgsinexplem1  45950  itgsincmulx  45970  stoweidlem13  46009  fourierdlem39  46142  fourierdlem43  46146  fourierdlem44  46147  etransclem46  46276  hoicvr  46544  smfinflem  46813  sigariz  46859  sigaradd  46862  sqrtnegnre  47303  ceildivmod  47335  requad01  47602  itsclc0yqsol  48711  amgmwlem  49633