Theorem negnegd 11560

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11508	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ℂcc 11098  -cneg 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  negn0  11643  ltnegcon1  11715  ltnegcon2  11716  lenegcon1  11718  lenegcon2  11719  negfi  12164  infm3lem  12173  infrenegsup  12198  zeo  12682  zindd  12697  znnn0nn  12707  supminf  12959  zsupss  12961  max0sub  13222  xnegneg  13240  ceilid  13884  expneg  14105  expaddzlem  14141  expaddz  14142  cjcj  15191  cnpart  15291  risefallfac  16078  sincossq  16232  difmod0  16345  bitsf1  16504  pcid  16933  4sqlem10  17007  mulgnegnn  19150  mulgsubcl  19154  mulgneg  19158  mulgz  19168  mulgass  19177  ghmmulg  19298  cyggeninv  19953  tgpmulg  24219  xrhmeo  25074  cphsqrtcl3  25315  iblneg  25931  itgneg  25932  ditgswap  25987  lhop2  26143  vieta1lem2  26441  ptolemy  26627  tanabsge  26637  tanord  26669  tanregt0  26670  lognegb  26721  logtayl  26791  logtayl2  26793  cxpmul2z  26822  isosctrlem2  26950  dcubic  26977  dquart  26984  atans2  27062  amgmlem  27120  lgamucov  27168  basellem5  27215  basellem9  27219  lgsdir2lem4  27458  dchrisum0flblem1  27638  ostth3  27768  ipasslem3  31126  zconstr  34099  constrsqrtcl  34114  zrhcntr  34314  ftc1anclem6  38271  lcmineqlem12  42731  posbezout  42791  dffltz  43292  rexzrexnn0  43457  acongsym  43629  acongneg2  43630  acongtr  43631  binomcxplemnotnn0  44992  infnsuprnmpt  45891  ltmulneg  46033  rexabslelem  46058  supminfrnmpt  46085  leneg2d  46088  leneg3d  46097  supminfxr  46104  climliminflimsupd  46441  itgsin0pilem1  46590  itgsinexplem1  46594  itgsincmulx  46614  stoweidlem13  46653  fourierdlem39  46786  fourierdlem43  46790  fourierdlem44  46791  etransclem46  46920  smfinflem  47457  sigariz  47503  sigaradd  47506  sqrtnegnre  47967  ceildivmod  48005  requad01  48309  itsclc0yqsol  49463  amgmwlem  50510