Theorem negnegd 11587

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11535	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ℂcc 11125  -cneg 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  negn0  11670  ltnegcon1  11742  ltnegcon2  11743  lenegcon1  11745  lenegcon2  11746  negfi  12191  infm3lem  12200  infrenegsup  12225  zeo  12710  zindd  12725  znnn0nn  12735  supminf  12987  zsupss  12989  max0sub  13251  xnegneg  13269  ceilid  13915  expneg  14136  expaddzlem  14172  expaddz  14173  cjcj  15230  cnpart  15330  risefallfac  16114  sincossq  16267  difmod0  16380  bitsf1  16539  pcid  16968  4sqlem10  17042  mulgnegnn  19210  mulgsubcl  19214  mulgneg  19218  mulgz  19228  mulgass  19237  ghmmulg  19358  cyggeninv  20013  tgpmulg  24322  xrhmeo  25177  cphsqrtcl3  25418  iblneg  26033  itgneg  26034  ditgswap  26089  lhop2  26245  vieta1lem2  26546  ptolemy  26737  tanabsge  26747  tanord  26778  tanregt0  26779  lognegb  26830  logtayl  26900  logtayl2  26902  cxpmul2z  26931  isosctrlem2  27059  dcubic  27086  dquart  27093  atans2  27171  amgmlem  27229  lgamucov  27277  basellem5  27324  basellem9  27328  lgsdir2lem4  27567  dchrisum0flblem1  27747  ostth3  27877  ipasslem3  31317  zconstr  34277  constrsqrtcl  34292  zrhcntr  34492  ftc1anclem6  38450  lcmineqlem12  42909  posbezout  42969  dffltz  43483  rexzrexnn0  43648  acongsym  43820  acongneg2  43821  acongtr  43822  binomcxplemnotnn0  45183  infnsuprnmpt  46082  ltmulneg  46224  rexabslelem  46249  supminfrnmpt  46276  leneg2d  46279  leneg3d  46288  supminfxr  46295  climliminflimsupd  46632  itgsin0pilem1  46781  itgsinexplem1  46785  itgsincmulx  46805  stoweidlem13  46844  fourierdlem39  46977  fourierdlem43  46981  fourierdlem44  46982  etransclem46  47111  smfinflem  47648  sigariz  47694  sigaradd  47697  sqrtnegnre  48198  ceildivmod  48236  requad01  48540  itsclc0yqsol  49697  dvsec  50692  amgmwlem  50823