MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negnegd 11504
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negnegd (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negneg 11452 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cc 11050  -cneg 11387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388  df-neg 11389
This theorem is referenced by:  negn0  11585  ltnegcon1  11657  ltnegcon2  11658  lenegcon1  11660  lenegcon2  11661  negfi  12105  infm3lem  12114  infrenegsup  12139  zeo  12590  zindd  12605  znnn0nn  12615  supminf  12861  zsupss  12863  max0sub  13116  xnegneg  13134  ceilid  13757  expneg  13976  expaddzlem  14012  expaddz  14013  cjcj  15026  cnpart  15126  risefallfac  15908  sincossq  16059  bitsf1  16327  pcid  16746  4sqlem10  16820  mulgnegnn  18887  mulgsubcl  18891  mulgneg  18895  mulgz  18905  mulgass  18914  ghmmulg  19021  cyggeninv  19661  tgpmulg  23447  xrhmeo  24312  cphsqrtcl3  24554  iblneg  25170  itgneg  25171  ditgswap  25226  lhop2  25382  vieta1lem2  25674  ptolemy  25856  tanabsge  25866  tanord  25897  tanregt0  25898  lognegb  25948  logtayl  26018  logtayl2  26020  cxpmul2z  26049  isosctrlem2  26172  dcubic  26199  dquart  26206  atans2  26284  amgmlem  26342  lgamucov  26390  basellem5  26437  basellem9  26441  lgsdir2lem4  26679  dchrisum0flblem1  26859  ostth3  26989  ipasslem3  29778  ftc1anclem6  36159  lcmineqlem12  40500  dffltz  40975  rexzrexnn0  41130  acongsym  41303  acongneg2  41304  acongtr  41305  binomcxplemnotnn0  42643  infnsuprnmpt  43485  ltmulneg  43634  rexabslelem  43660  supminfrnmpt  43687  leneg2d  43690  leneg3d  43699  supminfxr  43706  climliminflimsupd  44049  itgsin0pilem1  44198  itgsinexplem1  44202  itgsincmulx  44222  stoweidlem13  44261  fourierdlem39  44394  fourierdlem43  44398  fourierdlem44  44399  etransclem46  44528  hoicvr  44796  smfinflem  45065  sigariz  45111  sigaradd  45114  sqrtnegnre  45546  requad01  45820  itsclc0yqsol  46857  amgmwlem  47256
  Copyright terms: Public domain W3C validator