Theorem negnegd 11496

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11444	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ℂcc 11036  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  negn0  11579  ltnegcon1  11651  ltnegcon2  11652  lenegcon1  11654  lenegcon2  11655  negfi  12105  infm3lem  12114  infrenegsup  12139  zeo  12615  zindd  12630  znnn0nn  12640  supminf  12885  zsupss  12887  max0sub  13148  xnegneg  13166  ceilid  13810  expneg  14031  expaddzlem  14067  expaddz  14068  cjcj  15102  cnpart  15202  risefallfac  15989  sincossq  16143  difmod0  16256  bitsf1  16415  pcid  16844  4sqlem10  16918  mulgnegnn  19060  mulgsubcl  19064  mulgneg  19068  mulgz  19078  mulgass  19087  ghmmulg  19203  cyggeninv  19858  tgpmulg  24058  xrhmeo  24913  cphsqrtcl3  25154  iblneg  25770  itgneg  25771  ditgswap  25826  lhop2  25982  vieta1lem2  26277  ptolemy  26460  tanabsge  26470  tanord  26502  tanregt0  26503  lognegb  26554  logtayl  26624  logtayl2  26626  cxpmul2z  26655  isosctrlem2  26783  dcubic  26810  dquart  26817  atans2  26895  amgmlem  26953  lgamucov  27001  basellem5  27048  basellem9  27052  lgsdir2lem4  27291  dchrisum0flblem1  27471  ostth3  27601  ipasslem3  30904  zconstr  33908  constrsqrtcl  33923  zrhcntr  34123  ftc1anclem6  38019  lcmineqlem12  42479  posbezout  42539  dffltz  43067  rexzrexnn0  43232  acongsym  43404  acongneg2  43405  acongtr  43406  binomcxplemnotnn0  44783  infnsuprnmpt  45679  ltmulneg  45821  rexabslelem  45846  supminfrnmpt  45873  leneg2d  45876  leneg3d  45885  supminfxr  45892  climliminflimsupd  46229  itgsin0pilem1  46378  itgsinexplem1  46382  itgsincmulx  46402  stoweidlem13  46441  fourierdlem39  46574  fourierdlem43  46578  fourierdlem44  46579  etransclem46  46708  smfinflem  47245  sigariz  47291  sigaradd  47294  sqrtnegnre  47755  ceildivmod  47793  requad01  48097  itsclc0yqsol  49240  amgmwlem  50277