Theorem negnegd 11577

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11525	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ℂcc 11115  -cneg 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-sub 11460  df-neg 11461

This theorem is used by:  negn0  11660  ltnegcon1  11732  ltnegcon2  11733  lenegcon1  11735  lenegcon2  11736  negfi  12181  infm3lem  12190  infrenegsup  12215  zeo  12700  zindd  12715  znnn0nn  12725  supminf  12977  zsupss  12979  max0sub  13240  xnegneg  13258  ceilid  13904  expneg  14125  expaddzlem  14161  expaddz  14162  cjcj  15217  cnpart  15317  risefallfac  16103  sincossq  16256  difmod0  16369  bitsf1  16528  pcid  16957  4sqlem10  17031  mulgnegnn  19196  mulgsubcl  19200  mulgneg  19204  mulgz  19214  mulgass  19223  ghmmulg  19344  cyggeninv  19999  tgpmulg  24303  xrhmeo  25158  cphsqrtcl3  25399  iblneg  26015  itgneg  26016  ditgswap  26071  lhop2  26227  vieta1lem2  26525  ptolemy  26714  tanabsge  26724  tanord  26756  tanregt0  26757  lognegb  26808  logtayl  26878  logtayl2  26880  cxpmul2z  26909  isosctrlem2  27037  dcubic  27064  dquart  27071  atans2  27149  amgmlem  27207  lgamucov  27255  basellem5  27302  basellem9  27306  lgsdir2lem4  27545  dchrisum0flblem1  27725  ostth3  27855  ipasslem3  31258  zconstr  34220  constrsqrtcl  34235  zrhcntr  34435  ftc1anclem6  38408  lcmineqlem12  42867  posbezout  42927  dffltz  43426  rexzrexnn0  43591  acongsym  43763  acongneg2  43764  acongtr  43765  binomcxplemnotnn0  45126  infnsuprnmpt  46025  ltmulneg  46167  rexabslelem  46192  supminfrnmpt  46219  leneg2d  46222  leneg3d  46231  supminfxr  46238  climliminflimsupd  46575  itgsin0pilem1  46724  itgsinexplem1  46728  itgsincmulx  46748  stoweidlem13  46787  fourierdlem39  46920  fourierdlem43  46924  fourierdlem44  46925  etransclem46  47054  smfinflem  47591  sigariz  47637  sigaradd  47640  sqrtnegnre  48104  ceildivmod  48142  requad01  48446  itsclc0yqsol  49603  amgmwlem  50709