Theorem negnegd 11495

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11443	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ℂcc 11036  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  negn0  11578  ltnegcon1  11650  ltnegcon2  11651  lenegcon1  11653  lenegcon2  11654  negfi  12103  infm3lem  12112  infrenegsup  12137  zeo  12590  zindd  12605  znnn0nn  12615  supminf  12860  zsupss  12862  max0sub  13123  xnegneg  13141  ceilid  13783  expneg  14004  expaddzlem  14040  expaddz  14041  cjcj  15075  cnpart  15175  risefallfac  15959  sincossq  16113  difmod0  16226  bitsf1  16385  pcid  16813  4sqlem10  16887  mulgnegnn  19029  mulgsubcl  19033  mulgneg  19037  mulgz  19047  mulgass  19056  ghmmulg  19172  cyggeninv  19827  tgpmulg  24052  xrhmeo  24915  cphsqrtcl3  25158  iblneg  25775  itgneg  25776  ditgswap  25831  lhop2  25991  vieta1lem2  26290  ptolemy  26476  tanabsge  26486  tanord  26518  tanregt0  26519  lognegb  26570  logtayl  26640  logtayl2  26642  cxpmul2z  26671  isosctrlem2  26800  dcubic  26827  dquart  26834  atans2  26912  amgmlem  26971  lgamucov  27019  basellem5  27066  basellem9  27070  lgsdir2lem4  27310  dchrisum0flblem1  27490  ostth3  27620  ipasslem3  30925  zconstr  33946  constrsqrtcl  33961  zrhcntr  34161  ftc1anclem6  37953  lcmineqlem12  42414  posbezout  42474  dffltz  42996  rexzrexnn0  43165  acongsym  43337  acongneg2  43338  acongtr  43339  binomcxplemnotnn0  44716  infnsuprnmpt  45612  ltmulneg  45754  rexabslelem  45780  supminfrnmpt  45807  leneg2d  45810  leneg3d  45819  supminfxr  45826  climliminflimsupd  46163  itgsin0pilem1  46312  itgsinexplem1  46316  itgsincmulx  46336  stoweidlem13  46375  fourierdlem39  46508  fourierdlem43  46512  fourierdlem44  46513  etransclem46  46642  smfinflem  47179  sigariz  47225  sigaradd  47228  sqrtnegnre  47671  ceildivmod  47703  requad01  47985  itsclc0yqsol  49128  amgmwlem  50165