Theorem negnegd 11500

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11448	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℂcc 11042  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  negn0  11583  ltnegcon1  11655  ltnegcon2  11656  lenegcon1  11658  lenegcon2  11659  negfi  12108  infm3lem  12117  infrenegsup  12142  zeo  12596  zindd  12611  znnn0nn  12621  supminf  12870  zsupss  12872  max0sub  13132  xnegneg  13150  ceilid  13789  expneg  14010  expaddzlem  14046  expaddz  14047  cjcj  15082  cnpart  15182  risefallfac  15966  sincossq  16120  difmod0  16233  bitsf1  16392  pcid  16820  4sqlem10  16894  mulgnegnn  18998  mulgsubcl  19002  mulgneg  19006  mulgz  19016  mulgass  19025  ghmmulg  19142  cyggeninv  19797  tgpmulg  24013  xrhmeo  24877  cphsqrtcl3  25120  iblneg  25737  itgneg  25738  ditgswap  25793  lhop2  25953  vieta1lem2  26252  ptolemy  26438  tanabsge  26448  tanord  26480  tanregt0  26481  lognegb  26532  logtayl  26602  logtayl2  26604  cxpmul2z  26633  isosctrlem2  26762  dcubic  26789  dquart  26796  atans2  26874  amgmlem  26933  lgamucov  26981  basellem5  27028  basellem9  27032  lgsdir2lem4  27272  dchrisum0flblem1  27452  ostth3  27582  ipasslem3  30812  zconstr  33747  constrsqrtcl  33762  zrhcntr  33962  ftc1anclem6  37685  lcmineqlem12  42021  posbezout  42081  dffltz  42615  rexzrexnn0  42785  acongsym  42958  acongneg2  42959  acongtr  42960  binomcxplemnotnn0  44338  infnsuprnmpt  45237  ltmulneg  45381  rexabslelem  45407  supminfrnmpt  45434  leneg2d  45437  leneg3d  45446  supminfxr  45453  climliminflimsupd  45792  itgsin0pilem1  45941  itgsinexplem1  45945  itgsincmulx  45965  stoweidlem13  46004  fourierdlem39  46137  fourierdlem43  46141  fourierdlem44  46142  etransclem46  46271  hoicvr  46539  smfinflem  46808  sigariz  46854  sigaradd  46857  sqrtnegnre  47301  ceildivmod  47333  requad01  47615  itsclc0yqsol  48746  amgmwlem  49784