Theorem negnegd 11569

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ℂcc 11114  -cneg 11452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454

This theorem is referenced by:  negn0  11650  ltnegcon1  11722  ltnegcon2  11723  lenegcon1  11725  lenegcon2  11726  negfi  12170  infm3lem  12179  infrenegsup  12204  zeo  12655  zindd  12670  znnn0nn  12680  supminf  12926  zsupss  12928  max0sub  13182  xnegneg  13200  ceilid  13823  expneg  14042  expaddzlem  14078  expaddz  14079  cjcj  15094  cnpart  15194  risefallfac  15975  sincossq  16126  bitsf1  16394  pcid  16813  4sqlem10  16887  mulgnegnn  19007  mulgsubcl  19011  mulgneg  19015  mulgz  19025  mulgass  19034  ghmmulg  19149  cyggeninv  19799  tgpmulg  23917  xrhmeo  24791  cphsqrtcl3  25035  iblneg  25652  itgneg  25653  ditgswap  25708  lhop2  25868  vieta1lem2  26163  ptolemy  26346  tanabsge  26356  tanord  26387  tanregt0  26388  lognegb  26438  logtayl  26508  logtayl2  26510  cxpmul2z  26539  isosctrlem2  26665  dcubic  26692  dquart  26699  atans2  26777  amgmlem  26836  lgamucov  26884  basellem5  26931  basellem9  26935  lgsdir2lem4  27175  dchrisum0flblem1  27355  ostth3  27485  ipasslem3  30520  ftc1anclem6  37032  lcmineqlem12  41374  dffltz  41841  rexzrexnn0  42007  acongsym  42180  acongneg2  42181  acongtr  42182  binomcxplemnotnn0  43580  infnsuprnmpt  44415  ltmulneg  44563  rexabslelem  44589  supminfrnmpt  44616  leneg2d  44619  leneg3d  44628  supminfxr  44635  climliminflimsupd  44978  itgsin0pilem1  45127  itgsinexplem1  45131  itgsincmulx  45151  stoweidlem13  45190  fourierdlem39  45323  fourierdlem43  45327  fourierdlem44  45328  etransclem46  45457  hoicvr  45725  smfinflem  45994  sigariz  46040  sigaradd  46043  sqrtnegnre  46476  requad01  46750  itsclc0yqsol  47614  amgmwlem  48013