Theorem negnegd 11323

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11271	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ℂcc 10869  -cneg 11206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  negn0  11404  ltnegcon1  11476  ltnegcon2  11477  lenegcon1  11479  lenegcon2  11480  negfi  11924  infm3lem  11933  infrenegsup  11958  zeo  12406  zindd  12421  znnn0nn  12433  supminf  12675  zsupss  12677  max0sub  12930  xnegneg  12948  ceilid  13571  expneg  13790  expaddzlem  13826  expaddz  13827  cjcj  14851  cnpart  14951  risefallfac  15734  sincossq  15885  bitsf1  16153  pcid  16574  4sqlem10  16648  mulgnegnn  18714  mulgsubcl  18718  mulgneg  18722  mulgz  18731  mulgass  18740  ghmmulg  18846  cyggeninv  19483  tgpmulg  23244  xrhmeo  24109  cphsqrtcl3  24351  iblneg  24967  itgneg  24968  ditgswap  25023  lhop2  25179  vieta1lem2  25471  ptolemy  25653  tanabsge  25663  tanord  25694  tanregt0  25695  lognegb  25745  logtayl  25815  logtayl2  25817  cxpmul2z  25846  isosctrlem2  25969  dcubic  25996  dquart  26003  atans2  26081  amgmlem  26139  lgamucov  26187  basellem5  26234  basellem9  26238  lgsdir2lem4  26476  dchrisum0flblem1  26656  ostth3  26786  ipasslem3  29195  ftc1anclem6  35855  lcmineqlem12  40048  dffltz  40471  rexzrexnn0  40626  acongsym  40798  acongneg2  40799  acongtr  40800  binomcxplemnotnn0  41974  infnsuprnmpt  42796  ltmulneg  42932  rexabslelem  42958  supminfrnmpt  42985  leneg2d  42988  leneg3d  42997  supminfxr  43004  climliminflimsupd  43342  itgsin0pilem1  43491  itgsinexplem1  43495  itgsincmulx  43515  stoweidlem13  43554  fourierdlem39  43687  fourierdlem43  43691  fourierdlem44  43692  etransclem46  43821  hoicvr  44086  smfinflem  44350  sigariz  44379  sigaradd  44382  sqrtnegnre  44799  requad01  45073  itsclc0yqsol  46110  amgmwlem  46506