Theorem negnegd 11608

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11556	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ℂcc 11150  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  negn0  11689  ltnegcon1  11761  ltnegcon2  11762  lenegcon1  11764  lenegcon2  11765  negfi  12214  infm3lem  12223  infrenegsup  12248  zeo  12701  zindd  12716  znnn0nn  12726  supminf  12974  zsupss  12976  max0sub  13234  xnegneg  13252  ceilid  13887  expneg  14106  expaddzlem  14142  expaddz  14143  cjcj  15175  cnpart  15275  risefallfac  16056  sincossq  16208  bitsf1  16479  pcid  16906  4sqlem10  16980  mulgnegnn  19114  mulgsubcl  19118  mulgneg  19122  mulgz  19132  mulgass  19141  ghmmulg  19258  cyggeninv  19915  tgpmulg  24116  xrhmeo  24990  cphsqrtcl3  25234  iblneg  25852  itgneg  25853  ditgswap  25908  lhop2  26068  vieta1lem2  26367  ptolemy  26552  tanabsge  26562  tanord  26594  tanregt0  26595  lognegb  26646  logtayl  26716  logtayl2  26718  cxpmul2z  26747  isosctrlem2  26876  dcubic  26903  dquart  26910  atans2  26988  amgmlem  27047  lgamucov  27095  basellem5  27142  basellem9  27146  lgsdir2lem4  27386  dchrisum0flblem1  27566  ostth3  27696  ipasslem3  30861  zrhcntr  33941  ftc1anclem6  37684  lcmineqlem12  42021  posbezout  42081  dffltz  42620  rexzrexnn0  42791  acongsym  42964  acongneg2  42965  acongtr  42966  binomcxplemnotnn0  44351  infnsuprnmpt  45194  ltmulneg  45341  rexabslelem  45367  supminfrnmpt  45394  leneg2d  45397  leneg3d  45406  supminfxr  45413  climliminflimsupd  45756  itgsin0pilem1  45905  itgsinexplem1  45909  itgsincmulx  45929  stoweidlem13  45968  fourierdlem39  46101  fourierdlem43  46105  fourierdlem44  46106  etransclem46  46235  hoicvr  46503  smfinflem  46772  sigariz  46818  sigaradd  46821  sqrtnegnre  47256  ceildivmod  47278  requad01  47545  itsclc0yqsol  48613  amgmwlem  49032