Theorem negnegd 11455

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ℂcc 10996  -cneg 11337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-sub 11338  df-neg 11339

This theorem is referenced by:  negn0  11538  ltnegcon1  11610  ltnegcon2  11611  lenegcon1  11613  lenegcon2  11614  negfi  12063  infm3lem  12072  infrenegsup  12097  zeo  12551  zindd  12566  znnn0nn  12576  supminf  12825  zsupss  12827  max0sub  13087  xnegneg  13105  ceilid  13747  expneg  13968  expaddzlem  14004  expaddz  14005  cjcj  15039  cnpart  15139  risefallfac  15923  sincossq  16077  difmod0  16190  bitsf1  16349  pcid  16777  4sqlem10  16851  mulgnegnn  18989  mulgsubcl  18993  mulgneg  18997  mulgz  19007  mulgass  19016  ghmmulg  19133  cyggeninv  19788  tgpmulg  24001  xrhmeo  24864  cphsqrtcl3  25107  iblneg  25724  itgneg  25725  ditgswap  25780  lhop2  25940  vieta1lem2  26239  ptolemy  26425  tanabsge  26435  tanord  26467  tanregt0  26468  lognegb  26519  logtayl  26589  logtayl2  26591  cxpmul2z  26620  isosctrlem2  26749  dcubic  26776  dquart  26783  atans2  26861  amgmlem  26920  lgamucov  26968  basellem5  27015  basellem9  27019  lgsdir2lem4  27259  dchrisum0flblem1  27439  ostth3  27569  ipasslem3  30803  zconstr  33767  constrsqrtcl  33782  zrhcntr  33982  ftc1anclem6  37717  lcmineqlem12  42052  posbezout  42112  dffltz  42646  rexzrexnn0  42816  acongsym  42988  acongneg2  42989  acongtr  42990  binomcxplemnotnn0  44368  infnsuprnmpt  45266  ltmulneg  45409  rexabslelem  45435  supminfrnmpt  45462  leneg2d  45465  leneg3d  45474  supminfxr  45481  climliminflimsupd  45818  itgsin0pilem1  45967  itgsinexplem1  45971  itgsincmulx  45991  stoweidlem13  46030  fourierdlem39  46163  fourierdlem43  46167  fourierdlem44  46168  etransclem46  46297  hoicvr  46565  smfinflem  46834  sigariz  46880  sigaradd  46883  sqrtnegnre  47317  ceildivmod  47349  requad01  47631  itsclc0yqsol  48775  amgmwlem  49813