Theorem negnegd 11428

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ℂcc 10974  -cneg 11311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-po 5536  df-so 5537  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-ltxr 11119  df-sub 11312  df-neg 11313

This theorem is referenced by:  negn0  11509  ltnegcon1  11581  ltnegcon2  11582  lenegcon1  11584  lenegcon2  11585  negfi  12029  infm3lem  12038  infrenegsup  12063  zeo  12511  zindd  12526  znnn0nn  12538  supminf  12780  zsupss  12782  max0sub  13035  xnegneg  13053  ceilid  13676  expneg  13895  expaddzlem  13931  expaddz  13932  cjcj  14950  cnpart  15050  risefallfac  15833  sincossq  15984  bitsf1  16252  pcid  16671  4sqlem10  16745  mulgnegnn  18810  mulgsubcl  18814  mulgneg  18818  mulgz  18827  mulgass  18836  ghmmulg  18942  cyggeninv  19578  tgpmulg  23349  xrhmeo  24214  cphsqrtcl3  24456  iblneg  25072  itgneg  25073  ditgswap  25128  lhop2  25284  vieta1lem2  25576  ptolemy  25758  tanabsge  25768  tanord  25799  tanregt0  25800  lognegb  25850  logtayl  25920  logtayl2  25922  cxpmul2z  25951  isosctrlem2  26074  dcubic  26101  dquart  26108  atans2  26186  amgmlem  26244  lgamucov  26292  basellem5  26339  basellem9  26343  lgsdir2lem4  26581  dchrisum0flblem1  26761  ostth3  26891  ipasslem3  29482  ftc1anclem6  36011  lcmineqlem12  40353  dffltz  40784  rexzrexnn0  40939  acongsym  41112  acongneg2  41113  acongtr  41114  binomcxplemnotnn0  42347  infnsuprnmpt  43176  ltmulneg  43319  rexabslelem  43345  supminfrnmpt  43372  leneg2d  43375  leneg3d  43384  supminfxr  43391  climliminflimsupd  43730  itgsin0pilem1  43879  itgsinexplem1  43883  itgsincmulx  43903  stoweidlem13  43942  fourierdlem39  44075  fourierdlem43  44079  fourierdlem44  44080  etransclem46  44209  hoicvr  44475  smfinflem  44744  sigariz  44782  sigaradd  44785  sqrtnegnre  45217  requad01  45491  itsclc0yqsol  46528  amgmwlem  46924