Theorem negnegd 11253

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ℂcc 10800  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  negn0  11334  ltnegcon1  11406  ltnegcon2  11407  lenegcon1  11409  lenegcon2  11410  negfi  11854  infm3lem  11863  infrenegsup  11888  zeo  12336  zindd  12351  znnn0nn  12362  supminf  12604  zsupss  12606  max0sub  12859  xnegneg  12877  ceilid  13499  expneg  13718  expaddzlem  13754  expaddz  13755  cjcj  14779  cnpart  14879  risefallfac  15662  sincossq  15813  bitsf1  16081  pcid  16502  4sqlem10  16576  mulgnegnn  18629  mulgsubcl  18633  mulgneg  18637  mulgz  18646  mulgass  18655  ghmmulg  18761  cyggeninv  19398  tgpmulg  23152  xrhmeo  24015  cphsqrtcl3  24256  iblneg  24872  itgneg  24873  ditgswap  24928  lhop2  25084  vieta1lem2  25376  ptolemy  25558  tanabsge  25568  tanord  25599  tanregt0  25600  lognegb  25650  logtayl  25720  logtayl2  25722  cxpmul2z  25751  isosctrlem2  25874  dcubic  25901  dquart  25908  atans2  25986  amgmlem  26044  lgamucov  26092  basellem5  26139  basellem9  26143  lgsdir2lem4  26381  dchrisum0flblem1  26561  ostth3  26691  ipasslem3  29096  ftc1anclem6  35782  lcmineqlem12  39976  dffltz  40387  rexzrexnn0  40542  acongsym  40714  acongneg2  40715  acongtr  40716  binomcxplemnotnn0  41863  infnsuprnmpt  42685  ltmulneg  42822  rexabslelem  42848  supminfrnmpt  42875  leneg2d  42878  leneg3d  42887  supminfxr  42894  climliminflimsupd  43232  itgsin0pilem1  43381  itgsinexplem1  43385  itgsincmulx  43405  stoweidlem13  43444  fourierdlem39  43577  fourierdlem43  43581  fourierdlem44  43582  etransclem46  43711  hoicvr  43976  smfinflem  44237  sigariz  44266  sigaradd  44269  sqrtnegnre  44687  requad01  44961  itsclc0yqsol  45998  amgmwlem  46392