Theorem negnegd 11673

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → - -𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11621	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → - -𝐴 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ℂcc 11211   -cneg 11555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-neg 11557

This theorem is used by:  negn0  11758  ltnegcon1  11830  ltnegcon2  11831  lenegcon1  11833  lenegcon2  11834  negfi  12279  infm3lem  12288  infrenegsup  12313  zeo  12798  zindd  12813  znnn0nn  12823  supminf  13075  zsupss  13077  max0sub  13339  xnegneg  13357  ceilid  14004  expneg  14225  expaddzlem  14261  expaddz  14262  cjcj  15322  cnpart  15422  risefallfac  16206  sincossq  16359  difmod0  16472  bitsf1  16631  pcid  17066  4sqlem10  17140  mulgnegnn  19309  mulgsubcl  19313  mulgneg  19317  mulgz  19327  mulgass  19336  ghmmulg  19457  cyggeninv  20112  tgpmulg  24427  xrhmeo  25282  cphsqrtcl3  25523  iblneg  26138  itgneg  26139  ditgswap  26194  lhop2  26350  vieta1lem2  26649  ptolemy  26840  tanabsge  26850  tanord  26881  tanregt0  26882  lognegb  26933  logtayl  27003  logtayl2  27005  cxpmul2z  27034  isosctrlem2  27162  dcubic  27189  dquart  27196  atans2  27274  amgmlem  27332  lgamucov  27380  basellem5  27427  basellem9  27431  lgsdir2lem4  27670  dchrisum0flblem1  27850  ostth3  27980  ipasslem3  31450  zconstr  34452  constrsqrtcl  34467  zrhcntr  34667  ftc1anclem6  38759  lcmineqlem12  43233  posbezout  43293  dffltz  43813  rexzrexnn0  43954  acongsym  44126  acongneg2  44127  acongtr  44128  binomcxplemnotnn0  45483  infnsuprnmpt  46404  ltmulneg  46545  rexabslelem  46570  supminfrnmpt  46597  leneg2d  46600  leneg3d  46609  supminfxr  46616  climliminflimsupd  46953  itgsin0pilem1  47102  itgsinexplem1  47106  itgsincmulx  47126  stoweidlem13  47165  fourierdlem39  47298  fourierdlem43  47302  fourierdlem44  47303  etransclem46  47432  smfinflem  47969  sigariz  48015  sigaradd  48018  sqrtnegnre  48519  ceildivmod  48557  requad01  48861  itsclc0yqsol  50018  dvsec  51073  amgmwlem  51204