Theorem negnegd 11528

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11476	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ℂcc 11066  -cneg 11410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-ltxr 11216  df-sub 11411  df-neg 11412

This theorem is referenced by:  negn0  11611  ltnegcon1  11683  ltnegcon2  11684  lenegcon1  11686  lenegcon2  11687  negfi  12136  infm3lem  12145  infrenegsup  12170  zeo  12654  zindd  12669  znnn0nn  12679  supminf  12931  zsupss  12933  max0sub  13194  xnegneg  13212  ceilid  13856  expneg  14077  expaddzlem  14113  expaddz  14114  cjcj  15148  cnpart  15248  risefallfac  16035  sincossq  16189  difmod0  16302  bitsf1  16461  pcid  16890  4sqlem10  16964  mulgnegnn  19107  mulgsubcl  19111  mulgneg  19115  mulgz  19125  mulgass  19134  ghmmulg  19249  cyggeninv  19904  tgpmulg  24131  xrhmeo  24986  cphsqrtcl3  25227  iblneg  25843  itgneg  25844  ditgswap  25899  lhop2  26055  vieta1lem2  26350  ptolemy  26536  tanabsge  26546  tanord  26578  tanregt0  26579  lognegb  26630  logtayl  26700  logtayl2  26702  cxpmul2z  26731  isosctrlem2  26859  dcubic  26886  dquart  26893  atans2  26971  amgmlem  27029  lgamucov  27077  basellem5  27124  basellem9  27128  lgsdir2lem4  27367  dchrisum0flblem1  27547  ostth3  27677  ipasslem3  30980  zconstr  34020  constrsqrtcl  34035  zrhcntr  34235  ftc1anclem6  38150  lcmineqlem12  42610  posbezout  42670  dffltz  43169  rexzrexnn0  43334  acongsym  43506  acongneg2  43507  acongtr  43508  binomcxplemnotnn0  44885  infnsuprnmpt  45778  ltmulneg  45920  rexabslelem  45945  supminfrnmpt  45972  leneg2d  45975  leneg3d  45984  supminfxr  45991  climliminflimsupd  46328  itgsin0pilem1  46477  itgsinexplem1  46481  itgsincmulx  46501  stoweidlem13  46540  fourierdlem39  46673  fourierdlem43  46677  fourierdlem44  46678  etransclem46  46807  smfinflem  47344  sigariz  47390  sigaradd  47393  sqrtnegnre  47854  ceildivmod  47892  requad01  48196  itsclc0yqsol  49339  amgmwlem  50376