Theorem negnegd 11485

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11433	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ℂcc 11026  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  negn0  11568  ltnegcon1  11640  ltnegcon2  11641  lenegcon1  11643  lenegcon2  11644  negfi  12093  infm3lem  12102  infrenegsup  12127  zeo  12580  zindd  12595  znnn0nn  12605  supminf  12850  zsupss  12852  max0sub  13113  xnegneg  13131  ceilid  13773  expneg  13994  expaddzlem  14030  expaddz  14031  cjcj  15065  cnpart  15165  risefallfac  15949  sincossq  16103  difmod0  16216  bitsf1  16375  pcid  16803  4sqlem10  16877  mulgnegnn  19016  mulgsubcl  19020  mulgneg  19024  mulgz  19034  mulgass  19043  ghmmulg  19159  cyggeninv  19814  tgpmulg  24039  xrhmeo  24902  cphsqrtcl3  25145  iblneg  25762  itgneg  25763  ditgswap  25818  lhop2  25978  vieta1lem2  26277  ptolemy  26463  tanabsge  26473  tanord  26505  tanregt0  26506  lognegb  26557  logtayl  26627  logtayl2  26629  cxpmul2z  26658  isosctrlem2  26787  dcubic  26814  dquart  26821  atans2  26899  amgmlem  26958  lgamucov  27006  basellem5  27053  basellem9  27057  lgsdir2lem4  27297  dchrisum0flblem1  27477  ostth3  27607  ipasslem3  30910  zconstr  33923  constrsqrtcl  33938  zrhcntr  34138  ftc1anclem6  37901  lcmineqlem12  42316  posbezout  42376  dffltz  42898  rexzrexnn0  43067  acongsym  43239  acongneg2  43240  acongtr  43241  binomcxplemnotnn0  44618  infnsuprnmpt  45515  ltmulneg  45657  rexabslelem  45683  supminfrnmpt  45710  leneg2d  45713  leneg3d  45722  supminfxr  45729  climliminflimsupd  46066  itgsin0pilem1  46215  itgsinexplem1  46219  itgsincmulx  46239  stoweidlem13  46278  fourierdlem39  46411  fourierdlem43  46415  fourierdlem44  46416  etransclem46  46545  hoicvr  46813  smfinflem  47082  sigariz  47128  sigaradd  47131  sqrtnegnre  47574  ceildivmod  47606  requad01  47888  itsclc0yqsol  49031  amgmwlem  50068