Theorem negnegd 11638

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ℂcc 11182  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  negn0  11719  ltnegcon1  11791  ltnegcon2  11792  lenegcon1  11794  lenegcon2  11795  negfi  12244  infm3lem  12253  infrenegsup  12278  zeo  12729  zindd  12744  znnn0nn  12754  supminf  13000  zsupss  13002  max0sub  13258  xnegneg  13276  ceilid  13902  expneg  14120  expaddzlem  14156  expaddz  14157  cjcj  15189  cnpart  15289  risefallfac  16072  sincossq  16224  bitsf1  16492  pcid  16920  4sqlem10  16994  mulgnegnn  19124  mulgsubcl  19128  mulgneg  19132  mulgz  19142  mulgass  19151  ghmmulg  19268  cyggeninv  19925  tgpmulg  24122  xrhmeo  24996  cphsqrtcl3  25240  iblneg  25858  itgneg  25859  ditgswap  25914  lhop2  26074  vieta1lem2  26371  ptolemy  26556  tanabsge  26566  tanord  26598  tanregt0  26599  lognegb  26650  logtayl  26720  logtayl2  26722  cxpmul2z  26751  isosctrlem2  26880  dcubic  26907  dquart  26914  atans2  26992  amgmlem  27051  lgamucov  27099  basellem5  27146  basellem9  27150  lgsdir2lem4  27390  dchrisum0flblem1  27570  ostth3  27700  ipasslem3  30865  ftc1anclem6  37658  lcmineqlem12  41997  posbezout  42057  dffltz  42589  rexzrexnn0  42760  acongsym  42933  acongneg2  42934  acongtr  42935  binomcxplemnotnn0  44325  infnsuprnmpt  45159  ltmulneg  45307  rexabslelem  45333  supminfrnmpt  45360  leneg2d  45363  leneg3d  45372  supminfxr  45379  climliminflimsupd  45722  itgsin0pilem1  45871  itgsinexplem1  45875  itgsincmulx  45895  stoweidlem13  45934  fourierdlem39  46067  fourierdlem43  46071  fourierdlem44  46072  etransclem46  46201  hoicvr  46469  smfinflem  46738  sigariz  46784  sigaradd  46787  sqrtnegnre  47222  requad01  47495  itsclc0yqsol  48498  amgmwlem  48896