Theorem negnegd 11481

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ℂcc 11022  -cneg 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365

This theorem is referenced by:  negn0  11564  ltnegcon1  11636  ltnegcon2  11637  lenegcon1  11639  lenegcon2  11640  negfi  12089  infm3lem  12098  infrenegsup  12123  zeo  12576  zindd  12591  znnn0nn  12601  supminf  12846  zsupss  12848  max0sub  13109  xnegneg  13127  ceilid  13769  expneg  13990  expaddzlem  14026  expaddz  14027  cjcj  15061  cnpart  15161  risefallfac  15945  sincossq  16099  difmod0  16212  bitsf1  16371  pcid  16799  4sqlem10  16873  mulgnegnn  19012  mulgsubcl  19016  mulgneg  19020  mulgz  19030  mulgass  19039  ghmmulg  19155  cyggeninv  19810  tgpmulg  24035  xrhmeo  24898  cphsqrtcl3  25141  iblneg  25758  itgneg  25759  ditgswap  25814  lhop2  25974  vieta1lem2  26273  ptolemy  26459  tanabsge  26469  tanord  26501  tanregt0  26502  lognegb  26553  logtayl  26623  logtayl2  26625  cxpmul2z  26654  isosctrlem2  26783  dcubic  26810  dquart  26817  atans2  26895  amgmlem  26954  lgamucov  27002  basellem5  27049  basellem9  27053  lgsdir2lem4  27293  dchrisum0flblem1  27473  ostth3  27603  ipasslem3  30857  zconstr  33870  constrsqrtcl  33885  zrhcntr  34085  ftc1anclem6  37838  lcmineqlem12  42233  posbezout  42293  dffltz  42819  rexzrexnn0  42988  acongsym  43160  acongneg2  43161  acongtr  43162  binomcxplemnotnn0  44539  infnsuprnmpt  45436  ltmulneg  45578  rexabslelem  45604  supminfrnmpt  45631  leneg2d  45634  leneg3d  45643  supminfxr  45650  climliminflimsupd  45987  itgsin0pilem1  46136  itgsinexplem1  46140  itgsincmulx  46160  stoweidlem13  46199  fourierdlem39  46332  fourierdlem43  46336  fourierdlem44  46337  etransclem46  46466  hoicvr  46734  smfinflem  47003  sigariz  47049  sigaradd  47052  sqrtnegnre  47495  ceildivmod  47527  requad01  47809  itsclc0yqsol  48952  amgmwlem  49989