Theorem negnegd 11612

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 11560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ℂcc 11156  -cneg 11495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497

This theorem is referenced by:  negn0  11693  ltnegcon1  11765  ltnegcon2  11766  lenegcon1  11768  lenegcon2  11769  negfi  12215  infm3lem  12224  infrenegsup  12249  zeo  12700  zindd  12715  znnn0nn  12725  supminf  12971  zsupss  12973  max0sub  13229  xnegneg  13247  ceilid  13871  expneg  14089  expaddzlem  14125  expaddz  14126  cjcj  15145  cnpart  15245  risefallfac  16026  sincossq  16178  bitsf1  16446  pcid  16875  4sqlem10  16949  mulgnegnn  19078  mulgsubcl  19082  mulgneg  19086  mulgz  19096  mulgass  19105  ghmmulg  19222  cyggeninv  19881  tgpmulg  24088  xrhmeo  24962  cphsqrtcl3  25206  iblneg  25823  itgneg  25824  ditgswap  25879  lhop2  26039  vieta1lem2  26339  ptolemy  26524  tanabsge  26534  tanord  26565  tanregt0  26566  lognegb  26617  logtayl  26687  logtayl2  26689  cxpmul2z  26718  isosctrlem2  26847  dcubic  26874  dquart  26881  atans2  26959  amgmlem  27018  lgamucov  27066  basellem5  27113  basellem9  27117  lgsdir2lem4  27357  dchrisum0flblem1  27537  ostth3  27667  ipasslem3  30766  ftc1anclem6  37399  lcmineqlem12  41739  posbezout  41798  dffltz  42288  rexzrexnn0  42461  acongsym  42634  acongneg2  42635  acongtr  42636  binomcxplemnotnn0  44030  infnsuprnmpt  44859  ltmulneg  45007  rexabslelem  45033  supminfrnmpt  45060  leneg2d  45063  leneg3d  45072  supminfxr  45079  climliminflimsupd  45422  itgsin0pilem1  45571  itgsinexplem1  45575  itgsincmulx  45595  stoweidlem13  45634  fourierdlem39  45767  fourierdlem43  45771  fourierdlem44  45772  etransclem46  45901  hoicvr  46169  smfinflem  46438  sigariz  46484  sigaradd  46487  sqrtnegnre  46920  requad01  47193  itsclc0yqsol  48152  amgmwlem  48550