Theorem renegcld 11664

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11546	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℝcr 11128  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  ltord2  11766  leord2  11767  eqord2  11768  possumd  11862  recgt0  12087  riotaneg  12221  negiso  12222  nn0negleid  12553  difgtsumgt  12554  nnnegz  12591  prodge0rd  13116  modsub12d  13946  monoord2  14051  discr1  14257  discr  14258  recj  15143  reneg  15144  imcj  15151  imneg  15152  abslt  15333  absle  15334  o1lo1  15553  o1lo12  15554  icco1  15556  rlimrege0  15595  lo1sub  15647  iseraltlem2  15699  infcvgaux1i  15873  absefib  16216  efieq1re  16217  moddvds  16283  bitscmp  16457  bitsinv1lem  16460  mulgnegnn  19067  cnsubrg  21395  xrhmeo  24895  pjthlem1  25389  ivth2  25408  ovolshft  25464  shftmbl  25491  volsup2  25558  volivth  25560  mbfmulc2lem  25600  mbfposr  25605  mbfposb  25606  ismbf3d  25607  mbfmulc2  25616  mbfinf  25618  mbfi1fseqlem4  25671  mbfi1fseqlem5  25672  mbfi1fseqlem6  25673  mbfi1flimlem  25675  itg2monolem1  25703  iblposlem  25745  iblre  25747  itgreval  25750  itgneg  25757  i1fibl  25761  itgitg1  25762  itgle  25763  ibladd  25774  itgaddlem2  25777  iblabslem  25781  itgmulc2lem2  25786  itgmulc2  25787  bddiblnc  25795  dvferm2lem  25942  dvferm2  25943  rolle  25946  dvivth  25967  lhop2  25972  dvfsumge  25980  dvfsumlem2  25985  dvfsumlem2OLD  25986  dvfsum2  25993  coseq0negpitopi  26464  tanabsge  26467  tanord  26499  tanregt0  26500  abslogimle  26534  logcj  26567  argimgt0  26573  logdiv2  26578  logcnlem3  26605  logccv  26624  abscxpbnd  26715  logreclem  26724  asinlem3a  26832  asinneg  26848  atanlogsublem  26877  atantan  26885  atans2  26893  birthdaylem3  26915  cxplim  26934  amgmlem  26952  emcllem7  26964  zetacvg  26977  eldmgm  26984  lgamgulmlem2  26992  lgsneg  27284  lgsdilem  27287  lgseisenlem1  27338  pntpbnd1  27549  pntibndlem2  27554  padicabvcxp  27595  ostth3  27601  axsegconlem9  28904  nvabs  30653  pjhthlem1  31372  xlt2addrd  32736  expgt0b  32795  sgnmul  32814  oexpled  32826  ccfldextdgrr  33713  constrnegcl  33797  iconstr  33800  constrremulcl  33801  constrmulcl  33805  constrresqrtcl  33811  cos9thpiminplylem1  33816  xrge0iifcnv  33964  xrge0iifiso  33966  xrge0iifhom  33968  dya2ub  34302  signsply0  34583  fdvneggt  34632  fdvnegge  34634  climlec3  35751  poimirlem29  37673  itg2gt0cn  37699  ibladdnc  37701  itgaddnclem2  37703  iblabsnclem  37707  itgmulc2nclem2  37711  itgmulc2nc  37712  ftc1anclem5  37721  dvasin  37728  areacirclem1  37732  areacirclem4  37735  areacirclem5  37736  areacirc  37737  posbezout  42113  bcle2d  42192  aks6d1c7lem1  42193  oexpreposd  42371  3cubeslem4  42712  pellexlem6  42857  pell1234qrdich  42884  acongeq  43007  sqrtcval  43665  radcnvrat  44338  binomcxplemdvbinom  44377  binomcxplemnotnn0  44380  infnsuprnmpt  45274  neglt  45313  fperiodmul  45333  supsubc  45380  ltmulneg  45419  rexabslelem  45445  supminfrnmpt  45472  leneg2d  45475  leneg3d  45484  supminfxr  45491  climliminflimsupd  45830  liminfreuzlem  45831  liminfltlem  45833  stoweidlem1  46030  stoweidlem7  46036  stoweidlem13  46042  stoweidlem23  46052  stoweidlem34  46063  stoweidlem42  46071  stoweidlem47  46076  stirlinglem6  46108  stirlinglem10  46112  fourierdlem24  46160  fourierdlem39  46175  fourierdlem40  46176  fourierdlem43  46179  fourierdlem44  46180  fourierdlem46  46181  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem58  46193  fourierdlem62  46197  fourierdlem72  46207  fourierdlem78  46213  fourierdlem83  46218  fourierdlem85  46220  fourierdlem88  46223  fourierdlem92  46227  fourierdlem97  46232  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem109  46244  fourierdlem111  46246  fourierdlem112  46247  sqwvfoura  46257  etransclem23  46286  etransclem46  46309  hoicvr  46577  hoicvrrex  46585  smfinflem  46846  smfliminflem  46859  finfdm  46875  smfinfdmmbllem  46877  sigaradd  46895  squeezedltsq  46918  sqrtnegnre  47336  proththd  47628  requad01  47635  requad1  47636  requad2  47637  dignn0flhalflem1  48595  eenglngeehlnmlem1  48717  eenglngeehlnmlem2  48718  line2ylem  48731  itscnhlc0yqe  48739  itsclquadb  48756  itscnhlinecirc02p  48765  amgmwlem  49666