Theorem renegcld 11577

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11457	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℝcr 11037  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  ltord2  11679  leord2  11680  eqord2  11681  possumd  11775  recgt0  12001  riotaneg  12135  negiso  12136  nn0negleid  12489  difgtsumgt  12490  nnnegz  12527  neglt  12962  prodge0rd  13051  modsub12d  13890  monoord2  13995  discr1  14201  discr  14202  recj  15086  reneg  15087  imcj  15094  imneg  15095  abslt  15277  absle  15278  o1lo1  15499  o1lo12  15500  icco1  15502  rlimrege0  15541  lo1sub  15593  iseraltlem2  15645  infcvgaux1i  15822  absefib  16165  efieq1re  16166  moddvds  16232  bitscmp  16407  bitsinv1lem  16410  mulgnegnn  19060  cnsubrg  21407  xrhmeo  24913  pjthlem1  25404  ivth2  25422  ovolshft  25478  shftmbl  25505  volsup2  25572  volivth  25574  mbfmulc2lem  25614  mbfposr  25619  mbfposb  25620  ismbf3d  25621  mbfmulc2  25630  mbfinf  25632  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  mbfi1flimlem  25689  itg2monolem1  25717  iblposlem  25759  iblre  25761  itgreval  25764  itgneg  25771  i1fibl  25775  itgitg1  25776  itgle  25777  ibladd  25788  itgaddlem2  25791  iblabslem  25795  itgmulc2lem2  25800  itgmulc2  25801  bddiblnc  25809  dvferm2lem  25953  dvferm2  25954  rolle  25957  dvivth  25977  lhop2  25982  dvfsumge  25989  dvfsumlem2  25994  dvfsum2  26001  coseq0negpitopi  26467  tanabsge  26470  tanord  26502  tanregt0  26503  abslogimle  26537  logcj  26570  argimgt0  26576  logdiv2  26581  logcnlem3  26608  logccv  26627  abscxpbnd  26717  logreclem  26726  asinlem3a  26834  asinneg  26850  atanlogsublem  26879  atantan  26887  atans2  26895  birthdaylem3  26917  cxplim  26935  amgmlem  26953  emcllem7  26965  zetacvg  26978  eldmgm  26985  lgamgulmlem2  26993  lgsneg  27284  lgsdilem  27287  lgseisenlem1  27338  pntpbnd1  27549  pntibndlem2  27554  padicabvcxp  27595  ostth3  27601  axsegconlem9  28994  nvabs  30743  pjhthlem1  31462  xlt2addrd  32832  expgt0b  32890  sgnmul  32908  oexpled  32920  ccfldextdgrr  33816  constrnegcl  33907  iconstr  33910  constrremulcl  33911  constrmulcl  33915  constrresqrtcl  33921  cos9thpiminplylem1  33926  xrge0iifcnv  34077  xrge0iifiso  34079  xrge0iifhom  34081  dya2ub  34414  signsply0  34695  fdvneggt  34744  fdvnegge  34746  climlec3  35916  poimirlem29  37970  itg2gt0cn  37996  ibladdnc  37998  itgaddnclem2  38000  iblabsnclem  38004  itgmulc2nclem2  38008  itgmulc2nc  38009  ftc1anclem5  38018  dvasin  38025  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  areacirclem5  38033  areacirc  38034  posbezout  42539  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  oexpreposd  42754  3cubeslem4  43121  pellexlem6  43262  pell1234qrdich  43289  acongeq  43411  sqrtcval  44068  radcnvrat  44741  binomcxplemdvbinom  44780  binomcxplemnotnn0  44783  infnsuprnmpt  45679  fperiodmul  45737  supsubc  45783  ltmulneg  45821  rexabslelem  45846  supminfrnmpt  45873  leneg2d  45876  leneg3d  45885  supminfxr  45892  climliminflimsupd  46229  liminfreuzlem  46230  liminfltlem  46232  stoweidlem1  46429  stoweidlem7  46435  stoweidlem13  46441  stoweidlem23  46451  stoweidlem34  46462  stoweidlem42  46470  stoweidlem47  46475  stirlinglem6  46507  stirlinglem10  46511  fourierdlem24  46559  fourierdlem39  46574  fourierdlem40  46575  fourierdlem43  46578  fourierdlem44  46579  fourierdlem46  46580  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem58  46592  fourierdlem62  46596  fourierdlem72  46606  fourierdlem78  46612  fourierdlem83  46617  fourierdlem85  46619  fourierdlem88  46622  fourierdlem92  46626  fourierdlem97  46631  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem109  46643  fourierdlem111  46645  fourierdlem112  46646  sqwvfoura  46656  etransclem23  46685  etransclem46  46708  hoicvr  46976  hoicvrrex  46984  smfinflem  47245  smfliminflem  47258  finfdm  47274  smfinfdmmbllem  47276  sigaradd  47294  squeezedltsq  47318  sqrtnegnre  47755  proththd  48077  requad01  48097  requad1  48098  requad2  48099  dignn0flhalflem1  49091  eenglngeehlnmlem1  49213  eenglngeehlnmlem2  49214  line2ylem  49227  itscnhlc0yqe  49235  itsclquadb  49252  itscnhlinecirc02p  49261  amgmwlem  50277