Theorem renegcld 11647

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11527	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ℝcr 11105  -cneg 11448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  ltord2  11749  leord2  11750  eqord2  11751  possumd  11845  recgt0  12067  riotaneg  12200  negiso  12201  nn0negleid  12562  difgtsumgt  12563  nnnegz  12600  neglt  13042  prodge0rd  13131  modsub12d  13971  monoord2  14076  discr1  14282  discr  14283  sgnmul  15151  recj  15182  reneg  15183  imcj  15190  imneg  15191  abslt  15373  absle  15374  o1lo1  15595  o1lo12  15596  icco1  15598  rlimrege0  15637  lo1sub  15689  iseraltlem2  15741  infcvgaux1i  15918  absefib  16260  efieq1re  16261  moddvds  16327  bitscmp  16502  bitsinv1lem  16505  mulgnegnn  19156  cnsubrg  21588  xrhmeo  25116  pjthlem1  25607  ivth2  25625  ovolshft  25681  shftmbl  25708  volsup2  25775  volivth  25777  mbfmulc2lem  25817  mbfposr  25822  mbfposb  25823  ismbf3d  25824  mbfmulc2  25833  mbfinf  25835  mbfi1fseqlem4  25888  mbfi1fseqlem5  25889  mbfi1fseqlem6  25890  mbfi1flimlem  25892  itg2monolem1  25920  iblposlem  25962  iblre  25964  itgreval  25967  itgneg  25974  i1fibl  25978  itgitg1  25979  itgle  25980  ibladd  25991  itgaddlem2  25994  iblabslem  25998  itgmulc2lem2  26003  itgmulc2  26004  bddiblnc  26012  dvferm2lem  26156  dvferm2  26157  rolle  26160  dvivth  26180  lhop2  26185  dvfsumge  26192  dvfsumlem2  26197  dvfsum2  26204  coseq0negpitopi  26679  tanabsge  26682  tanord  26714  tanregt0  26715  abslogimle  26749  logcj  26782  argimgt0  26788  logdiv2  26793  logcnlem3  26820  logccv  26839  abscxpbnd  26929  logreclem  26938  asinlem3a  27046  asinneg  27062  atanlogsublem  27091  atantan  27099  atans2  27107  birthdaylem3  27129  cxplim  27147  amgmlem  27165  emcllem7  27177  zetacvg  27190  eldmgm  27197  lgamgulmlem2  27205  lgsneg  27496  lgsdilem  27499  lgseisenlem1  27550  pntpbnd1  27761  pntibndlem2  27766  padicabvcxp  27807  ostth3  27813  axsegconlem9  29286  nvabs  31035  pjhthlem1  31754  xlt2addrd  33115  expgt0b  33172  oexpled  33191  ccfldextdgrr  34071  constrnegcl  34162  iconstr  34165  constrremulcl  34166  constrmulcl  34170  constrresqrtcl  34176  cos9thpiminplylem1  34181  xrge0iifcnv  34332  xrge0iifiso  34334  xrge0iifhom  34336  dya2ub  34669  signsply0  34947  fdvneggt  34996  fdvnegge  34998  climlec3  36234  poimirlem29  38328  itg2gt0cn  38354  ibladdnc  38356  itgaddnclem2  38358  iblabsnclem  38362  itgmulc2nclem2  38366  itgmulc2nc  38367  ftc1anclem5  38376  dvasin  38383  areacirclem1  38387  areacirclem4  38390  areacirclem5  38391  areacirc  38392  posbezout  42895  bcle2d  42974  aks6d1c7lem1  42975  oexpreposd  43111  3cubeslem4  43448  pellexlem6  43589  pell1234qrdich  43616  acongeq  43738  sqrtcval  44395  radcnvrat  45052  binomcxplemdvbinom  45091  binomcxplemnotnn0  45094  infnsuprnmpt  45993  fperiodmul  46051  supsubc  46097  ltmulneg  46135  rexabslelem  46160  supminfrnmpt  46187  leneg2d  46190  leneg3d  46199  supminfxr  46206  climliminflimsupd  46543  liminfreuzlem  46544  liminfltlem  46546  stoweidlem1  46743  stoweidlem7  46749  stoweidlem13  46755  stoweidlem23  46765  stoweidlem34  46776  stoweidlem42  46784  stoweidlem47  46789  stirlinglem6  46821  stirlinglem10  46825  fourierdlem24  46873  fourierdlem39  46888  fourierdlem40  46889  fourierdlem43  46892  fourierdlem44  46893  fourierdlem46  46894  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem58  46906  fourierdlem62  46910  fourierdlem72  46920  fourierdlem78  46926  fourierdlem83  46931  fourierdlem85  46933  fourierdlem88  46936  fourierdlem92  46940  fourierdlem97  46945  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem109  46957  fourierdlem111  46959  fourierdlem112  46960  sqwvfoura  46970  etransclem23  46999  etransclem46  47022  hoicvr  47290  hoicvrrex  47298  smfinflem  47559  smfliminflem  47572  finfdm  47588  smfinfdmmbllem  47590  sigaradd  47608  squeezedltsq  47631  sqrtnegnre  48072  proththd  48394  requad01  48414  requad1  48415  requad2  48416  dignn0flhalflem1  49423  eenglngeehlnmlem1  49545  eenglngeehlnmlem2  49546  line2ylem  49559  itscnhlc0yqe  49567  itsclquadb  49584  itscnhlinecirc02p  49593  amgmwlem  50677