Theorem renegcld 11641

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ℝcr 11099  -cneg 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  ltord2  11743  leord2  11744  eqord2  11745  possumd  11839  recgt0  12061  riotaneg  12194  negiso  12195  nn0negleid  12556  difgtsumgt  12557  nnnegz  12594  neglt  13036  prodge0rd  13125  modsub12d  13964  monoord2  14069  discr1  14275  discr  14276  sgnmul  15144  recj  15175  reneg  15176  imcj  15183  imneg  15184  abslt  15366  absle  15367  o1lo1  15588  o1lo12  15589  icco1  15591  rlimrege0  15630  lo1sub  15682  iseraltlem2  15734  infcvgaux1i  15911  absefib  16254  efieq1re  16255  moddvds  16321  bitscmp  16496  bitsinv1lem  16499  mulgnegnn  19150  cnsubrg  21546  xrhmeo  25074  pjthlem1  25565  ivth2  25583  ovolshft  25639  shftmbl  25666  volsup2  25733  volivth  25735  mbfmulc2lem  25775  mbfposr  25780  mbfposb  25781  ismbf3d  25782  mbfmulc2  25791  mbfinf  25793  mbfi1fseqlem4  25846  mbfi1fseqlem5  25847  mbfi1fseqlem6  25848  mbfi1flimlem  25850  itg2monolem1  25878  iblposlem  25920  iblre  25922  itgreval  25925  itgneg  25932  i1fibl  25936  itgitg1  25937  itgle  25938  ibladd  25949  itgaddlem2  25952  iblabslem  25956  itgmulc2lem2  25961  itgmulc2  25962  bddiblnc  25970  dvferm2lem  26114  dvferm2  26115  rolle  26118  dvivth  26138  lhop2  26143  dvfsumge  26150  dvfsumlem2  26155  dvfsum2  26162  coseq0negpitopi  26634  tanabsge  26637  tanord  26669  tanregt0  26670  abslogimle  26704  logcj  26737  argimgt0  26743  logdiv2  26748  logcnlem3  26775  logccv  26794  abscxpbnd  26884  logreclem  26893  asinlem3a  27001  asinneg  27017  atanlogsublem  27046  atantan  27054  atans2  27062  birthdaylem3  27084  cxplim  27102  amgmlem  27120  emcllem7  27132  zetacvg  27145  eldmgm  27152  lgamgulmlem2  27160  lgsneg  27451  lgsdilem  27454  lgseisenlem1  27505  pntpbnd1  27716  pntibndlem2  27721  padicabvcxp  27762  ostth3  27768  axsegconlem9  29216  nvabs  30965  pjhthlem1  31684  xlt2addrd  33045  expgt0b  33102  oexpled  33121  ccfldextdgrr  34007  constrnegcl  34098  iconstr  34101  constrremulcl  34102  constrmulcl  34106  constrresqrtcl  34112  cos9thpiminplylem1  34117  xrge0iifcnv  34268  xrge0iifiso  34270  xrge0iifhom  34272  dya2ub  34605  signsply0  34883  fdvneggt  34932  fdvnegge  34934  climlec3  36159  poimirlem29  38223  itg2gt0cn  38249  ibladdnc  38251  itgaddnclem2  38253  iblabsnclem  38257  itgmulc2nclem2  38261  itgmulc2nc  38262  ftc1anclem5  38271  dvasin  38278  areacirclem1  38282  areacirclem4  38285  areacirclem5  38286  areacirc  38287  posbezout  42792  bcle2d  42871  aks6d1c7lem1  42872  oexpreposd  43008  3cubeslem4  43347  pellexlem6  43488  pell1234qrdich  43515  acongeq  43637  sqrtcval  44294  radcnvrat  44951  binomcxplemdvbinom  44990  binomcxplemnotnn0  44993  infnsuprnmpt  45892  fperiodmul  45950  supsubc  45996  ltmulneg  46034  rexabslelem  46059  supminfrnmpt  46086  leneg2d  46089  leneg3d  46098  supminfxr  46105  climliminflimsupd  46442  liminfreuzlem  46443  liminfltlem  46445  stoweidlem1  46642  stoweidlem7  46648  stoweidlem13  46654  stoweidlem23  46664  stoweidlem34  46675  stoweidlem42  46683  stoweidlem47  46688  stirlinglem6  46720  stirlinglem10  46724  fourierdlem24  46772  fourierdlem39  46787  fourierdlem40  46788  fourierdlem43  46791  fourierdlem44  46792  fourierdlem46  46793  fourierdlem48  46795  fourierdlem49  46796  fourierdlem58  46805  fourierdlem62  46809  fourierdlem72  46819  fourierdlem78  46825  fourierdlem83  46830  fourierdlem85  46832  fourierdlem88  46835  fourierdlem92  46839  fourierdlem97  46844  fourierdlem103  46850  fourierdlem104  46851  fourierdlem109  46856  fourierdlem111  46858  fourierdlem112  46859  sqwvfoura  46869  etransclem23  46898  etransclem46  46921  hoicvr  47189  hoicvrrex  47197  smfinflem  47458  smfliminflem  47471  finfdm  47487  smfinfdmmbllem  47489  sigaradd  47507  squeezedltsq  47531  sqrtnegnre  47968  proththd  48290  requad01  48310  requad1  48311  requad2  48312  dignn0flhalflem1  49315  eenglngeehlnmlem1  49437  eenglngeehlnmlem2  49438  line2ylem  49451  itscnhlc0yqe  49459  itsclquadb  49476  itscnhlinecirc02p  49485  amgmwlem  50511