Theorem renegcld 11645

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11527	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  ℝcr 11111  -cneg 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  ltord2  11747  leord2  11748  eqord2  11749  possumd  11843  recgt0  12064  riotaneg  12197  negiso  12198  nn0negleid  12528  difgtsumgt  12529  nnnegz  12565  prodge0rd  13085  modsub12d  13897  monoord2  14003  discr1  14206  discr  14207  recj  15075  reneg  15076  imcj  15083  imneg  15084  abslt  15265  absle  15266  o1lo1  15485  o1lo12  15486  icco1  15488  rlimrege0  15527  lo1sub  15579  iseraltlem2  15633  infcvgaux1i  15807  absefib  16145  efieq1re  16146  moddvds  16212  bitscmp  16383  bitsinv1lem  16386  mulgnegnn  19000  cnsubrg  21205  xrhmeo  24691  pjthlem1  25185  ivth2  25204  ovolshft  25260  shftmbl  25287  volsup2  25354  volivth  25356  mbfmulc2lem  25396  mbfposr  25401  mbfposb  25402  ismbf3d  25403  mbfmulc2  25412  mbfinf  25414  mbfi1fseqlem4  25468  mbfi1fseqlem5  25469  mbfi1fseqlem6  25470  mbfi1flimlem  25472  itg2monolem1  25500  iblposlem  25541  iblre  25543  itgreval  25546  itgneg  25553  i1fibl  25557  itgitg1  25558  itgle  25559  ibladd  25570  itgaddlem2  25573  iblabslem  25577  itgmulc2lem2  25582  itgmulc2  25583  bddiblnc  25591  dvferm2lem  25738  dvferm2  25739  rolle  25742  dvivth  25762  lhop2  25767  dvfsumge  25774  dvfsumlem2  25779  dvfsum2  25786  coseq0negpitopi  26249  tanabsge  26252  tanord  26283  tanregt0  26284  abslogimle  26318  logcj  26350  argimgt0  26356  logdiv2  26361  logcnlem3  26388  logccv  26407  abscxpbnd  26497  logreclem  26503  asinlem3a  26611  asinneg  26627  atanlogsublem  26656  atantan  26664  atans2  26672  birthdaylem3  26694  cxplim  26712  amgmlem  26730  emcllem7  26742  zetacvg  26755  eldmgm  26762  lgamgulmlem2  26770  lgsneg  27060  lgsdilem  27063  lgseisenlem1  27114  pntpbnd1  27325  pntibndlem2  27330  padicabvcxp  27371  ostth3  27377  axsegconlem9  28450  nvabs  30192  pjhthlem1  30911  xlt2addrd  32238  ccfldextdgrr  33035  xrge0iifcnv  33211  xrge0iifiso  33213  xrge0iifhom  33215  dya2ub  33567  sgnmul  33839  signsply0  33860  fdvneggt  33910  fdvnegge  33912  climlec3  35007  gg-dvfsumlem2  35469  poimirlem29  36820  itg2gt0cn  36846  ibladdnc  36848  itgaddnclem2  36850  iblabsnclem  36854  itgmulc2nclem2  36858  itgmulc2nc  36859  ftc1anclem5  36868  dvasin  36875  areacirclem1  36879  areacirclem4  36882  areacirclem5  36883  areacirc  36884  oexpreposd  41514  3cubeslem4  41729  pellexlem6  41874  pell1234qrdich  41901  acongeq  42024  sqrtcval  42694  radcnvrat  43375  binomcxplemdvbinom  43414  binomcxplemnotnn0  43417  infnsuprnmpt  44252  neglt  44292  fperiodmul  44312  supsubc  44361  ltmulneg  44400  rexabslelem  44426  supminfrnmpt  44453  leneg2d  44456  leneg3d  44465  supminfxr  44472  climliminflimsupd  44815  liminfreuzlem  44816  liminfltlem  44818  stoweidlem1  45015  stoweidlem7  45021  stoweidlem13  45027  stoweidlem23  45037  stoweidlem34  45048  stoweidlem42  45056  stoweidlem47  45061  stirlinglem6  45093  stirlinglem10  45097  fourierdlem24  45145  fourierdlem39  45160  fourierdlem40  45161  fourierdlem43  45164  fourierdlem44  45165  fourierdlem46  45166  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem58  45178  fourierdlem62  45182  fourierdlem72  45192  fourierdlem78  45198  fourierdlem83  45203  fourierdlem85  45205  fourierdlem88  45208  fourierdlem92  45212  fourierdlem97  45217  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem109  45229  fourierdlem111  45231  fourierdlem112  45232  sqwvfoura  45242  etransclem23  45271  etransclem46  45294  hoicvr  45562  hoicvrrex  45570  smfinflem  45831  smfliminflem  45844  finfdm  45860  smfinfdmmbllem  45862  sigaradd  45880  sqrtnegnre  46313  proththd  46580  requad01  46587  requad1  46588  requad2  46589  dignn0flhalflem1  47388  eenglngeehlnmlem1  47510  eenglngeehlnmlem2  47511  line2ylem  47524  itscnhlc0yqe  47532  itsclquadb  47549  itscnhlinecirc02p  47558  amgmwlem  47936