Theorem renegcld 11640

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ℝcr 11098  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  ltord2  11742  leord2  11743  eqord2  11744  possumd  11838  recgt0  12060  riotaneg  12193  negiso  12194  nn0negleid  12555  difgtsumgt  12556  nnnegz  12593  neglt  13035  prodge0rd  13124  modsub12d  13963  monoord2  14068  discr1  14274  discr  14275  sgnmul  15143  recj  15174  reneg  15175  imcj  15182  imneg  15183  abslt  15365  absle  15366  o1lo1  15587  o1lo12  15588  icco1  15590  rlimrege0  15629  lo1sub  15681  iseraltlem2  15733  infcvgaux1i  15910  absefib  16253  efieq1re  16254  moddvds  16320  bitscmp  16495  bitsinv1lem  16498  mulgnegnn  19149  cnsubrg  21545  xrhmeo  25073  pjthlem1  25564  ivth2  25582  ovolshft  25638  shftmbl  25665  volsup2  25732  volivth  25734  mbfmulc2lem  25774  mbfposr  25779  mbfposb  25780  ismbf3d  25781  mbfmulc2  25790  mbfinf  25792  mbfi1fseqlem4  25845  mbfi1fseqlem5  25846  mbfi1fseqlem6  25847  mbfi1flimlem  25849  itg2monolem1  25877  iblposlem  25919  iblre  25921  itgreval  25924  itgneg  25931  i1fibl  25935  itgitg1  25936  itgle  25937  ibladd  25948  itgaddlem2  25951  iblabslem  25955  itgmulc2lem2  25960  itgmulc2  25961  bddiblnc  25969  dvferm2lem  26113  dvferm2  26114  rolle  26117  dvivth  26137  lhop2  26142  dvfsumge  26149  dvfsumlem2  26154  dvfsum2  26161  coseq0negpitopi  26633  tanabsge  26636  tanord  26668  tanregt0  26669  abslogimle  26703  logcj  26736  argimgt0  26742  logdiv2  26747  logcnlem3  26774  logccv  26793  abscxpbnd  26883  logreclem  26892  asinlem3a  27000  asinneg  27016  atanlogsublem  27045  atantan  27053  atans2  27061  birthdaylem3  27083  cxplim  27101  amgmlem  27119  emcllem7  27131  zetacvg  27144  eldmgm  27151  lgamgulmlem2  27159  lgsneg  27450  lgsdilem  27453  lgseisenlem1  27504  pntpbnd1  27715  pntibndlem2  27720  padicabvcxp  27761  ostth3  27767  axsegconlem9  29215  nvabs  30964  pjhthlem1  31683  xlt2addrd  33044  expgt0b  33101  oexpled  33120  ccfldextdgrr  34006  constrnegcl  34097  iconstr  34100  constrremulcl  34101  constrmulcl  34105  constrresqrtcl  34111  cos9thpiminplylem1  34116  xrge0iifcnv  34267  xrge0iifiso  34269  xrge0iifhom  34271  dya2ub  34604  signsply0  34882  fdvneggt  34931  fdvnegge  34933  climlec3  36124  poimirlem29  38187  itg2gt0cn  38213  ibladdnc  38215  itgaddnclem2  38217  iblabsnclem  38221  itgmulc2nclem2  38225  itgmulc2nc  38226  ftc1anclem5  38235  dvasin  38242  areacirclem1  38246  areacirclem4  38249  areacirclem5  38250  areacirc  38251  posbezout  42756  bcle2d  42835  aks6d1c7lem1  42836  oexpreposd  42972  3cubeslem4  43311  pellexlem6  43452  pell1234qrdich  43479  acongeq  43601  sqrtcval  44258  radcnvrat  44915  binomcxplemdvbinom  44954  binomcxplemnotnn0  44957  infnsuprnmpt  45856  fperiodmul  45914  supsubc  45960  ltmulneg  45998  rexabslelem  46023  supminfrnmpt  46050  leneg2d  46053  leneg3d  46062  supminfxr  46069  climliminflimsupd  46406  liminfreuzlem  46407  liminfltlem  46409  stoweidlem1  46606  stoweidlem7  46612  stoweidlem13  46618  stoweidlem23  46628  stoweidlem34  46639  stoweidlem42  46647  stoweidlem47  46652  stirlinglem6  46684  stirlinglem10  46688  fourierdlem24  46736  fourierdlem39  46751  fourierdlem40  46752  fourierdlem43  46755  fourierdlem44  46756  fourierdlem46  46757  fourierdlem48  46759  fourierdlem49  46760  fourierdlem58  46769  fourierdlem62  46773  fourierdlem72  46783  fourierdlem78  46789  fourierdlem83  46794  fourierdlem85  46796  fourierdlem88  46799  fourierdlem92  46803  fourierdlem97  46808  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  fourierdlem109  46820  fourierdlem111  46822  fourierdlem112  46823  sqwvfoura  46833  etransclem23  46862  etransclem46  46885  hoicvr  47153  hoicvrrex  47161  smfinflem  47422  smfliminflem  47435  finfdm  47451  smfinfdmmbllem  47453  sigaradd  47471  squeezedltsq  47495  sqrtnegnre  47932  proththd  48254  requad01  48274  requad1  48275  requad2  48276  dignn0flhalflem1  49279  eenglngeehlnmlem1  49401  eenglngeehlnmlem2  49402  line2ylem  49415  itscnhlc0yqe  49423  itsclquadb  49440  itscnhlinecirc02p  49449  amgmwlem  50475