Theorem renegcld 11535

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℝcr 10996  -cneg 11336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-ltxr 11142  df-sub 11337  df-neg 11338

This theorem is referenced by:  ltord2  11637  leord2  11638  eqord2  11639  possumd  11733  recgt0  11958  riotaneg  12092  negiso  12093  nn0negleid  12424  difgtsumgt  12425  nnnegz  12462  neglt  12901  prodge0rd  12990  modsub12d  13823  monoord2  13928  discr1  14134  discr  14135  recj  15018  reneg  15019  imcj  15026  imneg  15027  abslt  15209  absle  15210  o1lo1  15431  o1lo12  15432  icco1  15434  rlimrege0  15473  lo1sub  15525  iseraltlem2  15577  infcvgaux1i  15751  absefib  16094  efieq1re  16095  moddvds  16161  bitscmp  16336  bitsinv1lem  16339  mulgnegnn  18950  cnsubrg  21318  xrhmeo  24825  pjthlem1  25318  ivth2  25337  ovolshft  25393  shftmbl  25420  volsup2  25487  volivth  25489  mbfmulc2lem  25529  mbfposr  25534  mbfposb  25535  ismbf3d  25536  mbfmulc2  25545  mbfinf  25547  mbfi1fseqlem4  25600  mbfi1fseqlem5  25601  mbfi1fseqlem6  25602  mbfi1flimlem  25604  itg2monolem1  25632  iblposlem  25674  iblre  25676  itgreval  25679  itgneg  25686  i1fibl  25690  itgitg1  25691  itgle  25692  ibladd  25703  itgaddlem2  25706  iblabslem  25710  itgmulc2lem2  25715  itgmulc2  25716  bddiblnc  25724  dvferm2lem  25871  dvferm2  25872  rolle  25875  dvivth  25896  lhop2  25901  dvfsumge  25909  dvfsumlem2  25914  dvfsumlem2OLD  25915  dvfsum2  25922  coseq0negpitopi  26393  tanabsge  26396  tanord  26428  tanregt0  26429  abslogimle  26463  logcj  26496  argimgt0  26502  logdiv2  26507  logcnlem3  26534  logccv  26553  abscxpbnd  26644  logreclem  26653  asinlem3a  26761  asinneg  26777  atanlogsublem  26806  atantan  26814  atans2  26822  birthdaylem3  26844  cxplim  26863  amgmlem  26881  emcllem7  26893  zetacvg  26906  eldmgm  26913  lgamgulmlem2  26921  lgsneg  27213  lgsdilem  27216  lgseisenlem1  27267  pntpbnd1  27478  pntibndlem2  27483  padicabvcxp  27524  ostth3  27530  axsegconlem9  28857  nvabs  30603  pjhthlem1  31322  xlt2addrd  32694  expgt0b  32754  sgnmul  32773  oexpled  32785  ccfldextdgrr  33653  constrnegcl  33744  iconstr  33747  constrremulcl  33748  constrmulcl  33752  constrresqrtcl  33758  cos9thpiminplylem1  33763  xrge0iifcnv  33914  xrge0iifiso  33916  xrge0iifhom  33918  dya2ub  34251  signsply0  34532  fdvneggt  34581  fdvnegge  34583  climlec3  35724  poimirlem29  37646  itg2gt0cn  37672  ibladdnc  37674  itgaddnclem2  37676  iblabsnclem  37680  itgmulc2nclem2  37684  itgmulc2nc  37685  ftc1anclem5  37694  dvasin  37701  areacirclem1  37705  areacirclem4  37708  areacirclem5  37709  areacirc  37710  posbezout  42090  bcle2d  42169  aks6d1c7lem1  42170  oexpreposd  42312  3cubeslem4  42679  pellexlem6  42824  pell1234qrdich  42851  acongeq  42973  sqrtcval  43631  radcnvrat  44304  binomcxplemdvbinom  44343  binomcxplemnotnn0  44346  infnsuprnmpt  45244  fperiodmul  45302  supsubc  45349  ltmulneg  45387  rexabslelem  45413  supminfrnmpt  45440  leneg2d  45443  leneg3d  45452  supminfxr  45459  climliminflimsupd  45796  liminfreuzlem  45797  liminfltlem  45799  stoweidlem1  45996  stoweidlem7  46002  stoweidlem13  46008  stoweidlem23  46018  stoweidlem34  46029  stoweidlem42  46037  stoweidlem47  46042  stirlinglem6  46074  stirlinglem10  46078  fourierdlem24  46126  fourierdlem39  46141  fourierdlem40  46142  fourierdlem43  46145  fourierdlem44  46146  fourierdlem46  46147  fourierdlem48  46149  fourierdlem49  46150  fourierdlem58  46159  fourierdlem62  46163  fourierdlem72  46173  fourierdlem78  46179  fourierdlem83  46184  fourierdlem85  46186  fourierdlem88  46189  fourierdlem92  46193  fourierdlem97  46198  fourierdlem103  46204  fourierdlem104  46205  fourierdlem109  46210  fourierdlem111  46212  fourierdlem112  46213  sqwvfoura  46223  etransclem23  46252  etransclem46  46275  hoicvr  46543  hoicvrrex  46551  smfinflem  46812  smfliminflem  46825  finfdm  46841  smfinfdmmbllem  46843  sigaradd  46861  squeezedltsq  46884  sqrtnegnre  47305  proththd  47612  requad01  47619  requad1  47620  requad2  47621  dignn0flhalflem1  48614  eenglngeehlnmlem1  48736  eenglngeehlnmlem2  48737  line2ylem  48750  itscnhlc0yqe  48758  itsclquadb  48775  itscnhlinecirc02p  48784  amgmwlem  49801