Theorem renegcld 11690

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℝcr 11154  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  ltord2  11792  leord2  11793  eqord2  11794  possumd  11888  recgt0  12113  riotaneg  12247  negiso  12248  nn0negleid  12578  difgtsumgt  12579  nnnegz  12616  prodge0rd  13142  modsub12d  13969  monoord2  14074  discr1  14278  discr  14279  recj  15163  reneg  15164  imcj  15171  imneg  15172  abslt  15353  absle  15354  o1lo1  15573  o1lo12  15574  icco1  15576  rlimrege0  15615  lo1sub  15667  iseraltlem2  15719  infcvgaux1i  15893  absefib  16234  efieq1re  16235  moddvds  16301  bitscmp  16475  bitsinv1lem  16478  mulgnegnn  19102  cnsubrg  21445  xrhmeo  24977  pjthlem1  25471  ivth2  25490  ovolshft  25546  shftmbl  25573  volsup2  25640  volivth  25642  mbfmulc2lem  25682  mbfposr  25687  mbfposb  25688  ismbf3d  25689  mbfmulc2  25698  mbfinf  25700  mbfi1fseqlem4  25753  mbfi1fseqlem5  25754  mbfi1fseqlem6  25755  mbfi1flimlem  25757  itg2monolem1  25785  iblposlem  25827  iblre  25829  itgreval  25832  itgneg  25839  i1fibl  25843  itgitg1  25844  itgle  25845  ibladd  25856  itgaddlem2  25859  iblabslem  25863  itgmulc2lem2  25868  itgmulc2  25869  bddiblnc  25877  dvferm2lem  26024  dvferm2  26025  rolle  26028  dvivth  26049  lhop2  26054  dvfsumge  26062  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  dvfsum2  26075  coseq0negpitopi  26545  tanabsge  26548  tanord  26580  tanregt0  26581  abslogimle  26615  logcj  26648  argimgt0  26654  logdiv2  26659  logcnlem3  26686  logccv  26705  abscxpbnd  26796  logreclem  26805  asinlem3a  26913  asinneg  26929  atanlogsublem  26958  atantan  26966  atans2  26974  birthdaylem3  26996  cxplim  27015  amgmlem  27033  emcllem7  27045  zetacvg  27058  eldmgm  27065  lgamgulmlem2  27073  lgsneg  27365  lgsdilem  27368  lgseisenlem1  27419  pntpbnd1  27630  pntibndlem2  27635  padicabvcxp  27676  ostth3  27682  axsegconlem9  28940  nvabs  30691  pjhthlem1  31410  xlt2addrd  32762  expgt0b  32818  ccfldextdgrr  33722  xrge0iifcnv  33932  xrge0iifiso  33934  xrge0iifhom  33936  dya2ub  34272  sgnmul  34545  signsply0  34566  fdvneggt  34615  fdvnegge  34617  climlec3  35734  poimirlem29  37656  itg2gt0cn  37682  ibladdnc  37684  itgaddnclem2  37686  iblabsnclem  37690  itgmulc2nclem2  37694  itgmulc2nc  37695  ftc1anclem5  37704  dvasin  37711  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  areacirclem5  37719  areacirc  37720  posbezout  42101  bcle2d  42180  aks6d1c7lem1  42181  oexpreposd  42357  3cubeslem4  42700  pellexlem6  42845  pell1234qrdich  42872  acongeq  42995  sqrtcval  43654  radcnvrat  44333  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemnotnn0  44375  infnsuprnmpt  45257  neglt  45296  fperiodmul  45316  supsubc  45364  ltmulneg  45403  rexabslelem  45429  supminfrnmpt  45456  leneg2d  45459  leneg3d  45468  supminfxr  45475  climliminflimsupd  45816  liminfreuzlem  45817  liminfltlem  45819  stoweidlem1  46016  stoweidlem7  46022  stoweidlem13  46028  stoweidlem23  46038  stoweidlem34  46049  stoweidlem42  46057  stoweidlem47  46062  stirlinglem6  46094  stirlinglem10  46098  fourierdlem24  46146  fourierdlem39  46161  fourierdlem40  46162  fourierdlem43  46165  fourierdlem44  46166  fourierdlem46  46167  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem58  46179  fourierdlem62  46183  fourierdlem72  46193  fourierdlem78  46199  fourierdlem83  46204  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209  fourierdlem92  46213  fourierdlem97  46218  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem109  46230  fourierdlem111  46232  fourierdlem112  46233  sqwvfoura  46243  etransclem23  46272  etransclem46  46295  hoicvr  46563  hoicvrrex  46571  smfinflem  46832  smfliminflem  46845  finfdm  46861  smfinfdmmbllem  46863  sigaradd  46881  sqrtnegnre  47319  proththd  47601  requad01  47608  requad1  47609  requad2  47610  dignn0flhalflem1  48536  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  line2ylem  48672  itscnhlc0yqe  48680  itsclquadb  48697  itscnhlinecirc02p  48706  amgmwlem  49321