Theorem renegcld 11566

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11446	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℝcr 11027  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  ltord2  11668  leord2  11669  eqord2  11670  possumd  11764  recgt0  11989  riotaneg  12123  negiso  12124  nn0negleid  12455  difgtsumgt  12456  nnnegz  12493  neglt  12927  prodge0rd  13016  modsub12d  13853  monoord2  13958  discr1  14164  discr  14165  recj  15049  reneg  15050  imcj  15057  imneg  15058  abslt  15240  absle  15241  o1lo1  15462  o1lo12  15463  icco1  15465  rlimrege0  15504  lo1sub  15556  iseraltlem2  15608  infcvgaux1i  15782  absefib  16125  efieq1re  16126  moddvds  16192  bitscmp  16367  bitsinv1lem  16370  mulgnegnn  19016  cnsubrg  21384  xrhmeo  24902  pjthlem1  25395  ivth2  25414  ovolshft  25470  shftmbl  25497  volsup2  25564  volivth  25566  mbfmulc2lem  25606  mbfposr  25611  mbfposb  25612  ismbf3d  25613  mbfmulc2  25622  mbfinf  25624  mbfi1fseqlem4  25677  mbfi1fseqlem5  25678  mbfi1fseqlem6  25679  mbfi1flimlem  25681  itg2monolem1  25709  iblposlem  25751  iblre  25753  itgreval  25756  itgneg  25763  i1fibl  25767  itgitg1  25768  itgle  25769  ibladd  25780  itgaddlem2  25783  iblabslem  25787  itgmulc2lem2  25792  itgmulc2  25793  bddiblnc  25801  dvferm2lem  25948  dvferm2  25949  rolle  25952  dvivth  25973  lhop2  25978  dvfsumge  25986  dvfsumlem2  25991  dvfsumlem2OLD  25992  dvfsum2  25999  coseq0negpitopi  26470  tanabsge  26473  tanord  26505  tanregt0  26506  abslogimle  26540  logcj  26573  argimgt0  26579  logdiv2  26584  logcnlem3  26611  logccv  26630  abscxpbnd  26721  logreclem  26730  asinlem3a  26838  asinneg  26854  atanlogsublem  26883  atantan  26891  atans2  26899  birthdaylem3  26921  cxplim  26940  amgmlem  26958  emcllem7  26970  zetacvg  26983  eldmgm  26990  lgamgulmlem2  26998  lgsneg  27290  lgsdilem  27293  lgseisenlem1  27344  pntpbnd1  27555  pntibndlem2  27560  padicabvcxp  27601  ostth3  27607  axsegconlem9  28979  nvabs  30728  pjhthlem1  31447  xlt2addrd  32818  expgt0b  32876  sgnmul  32895  oexpled  32907  ccfldextdgrr  33808  constrnegcl  33899  iconstr  33902  constrremulcl  33903  constrmulcl  33907  constrresqrtcl  33913  cos9thpiminplylem1  33918  xrge0iifcnv  34069  xrge0iifiso  34071  xrge0iifhom  34073  dya2ub  34406  signsply0  34687  fdvneggt  34736  fdvnegge  34738  climlec3  35907  poimirlem29  37819  itg2gt0cn  37845  ibladdnc  37847  itgaddnclem2  37849  iblabsnclem  37853  itgmulc2nclem2  37857  itgmulc2nc  37858  ftc1anclem5  37867  dvasin  37874  areacirclem1  37878  areacirclem4  37881  areacirclem5  37882  areacirc  37883  posbezout  42389  bcle2d  42468  aks6d1c7lem1  42469  oexpreposd  42614  3cubeslem4  42968  pellexlem6  43113  pell1234qrdich  43140  acongeq  43262  sqrtcval  43919  radcnvrat  44592  binomcxplemdvbinom  44631  binomcxplemnotnn0  44634  infnsuprnmpt  45531  fperiodmul  45589  supsubc  45635  ltmulneg  45673  rexabslelem  45699  supminfrnmpt  45726  leneg2d  45729  leneg3d  45738  supminfxr  45745  climliminflimsupd  46082  liminfreuzlem  46083  liminfltlem  46085  stoweidlem1  46282  stoweidlem7  46288  stoweidlem13  46294  stoweidlem23  46304  stoweidlem34  46315  stoweidlem42  46323  stoweidlem47  46328  stirlinglem6  46360  stirlinglem10  46364  fourierdlem24  46412  fourierdlem39  46427  fourierdlem40  46428  fourierdlem43  46431  fourierdlem44  46432  fourierdlem46  46433  fourierdlem48  46435  fourierdlem49  46436  fourierdlem58  46445  fourierdlem62  46449  fourierdlem72  46459  fourierdlem78  46465  fourierdlem83  46470  fourierdlem85  46472  fourierdlem88  46475  fourierdlem92  46479  fourierdlem97  46484  fourierdlem103  46490  fourierdlem104  46491  fourierdlem109  46496  fourierdlem111  46498  fourierdlem112  46499  sqwvfoura  46509  etransclem23  46538  etransclem46  46561  hoicvr  46829  hoicvrrex  46837  smfinflem  47098  smfliminflem  47111  finfdm  47127  smfinfdmmbllem  47129  sigaradd  47147  squeezedltsq  47169  sqrtnegnre  47590  proththd  47897  requad01  47904  requad1  47905  requad2  47906  dignn0flhalflem1  48898  eenglngeehlnmlem1  49020  eenglngeehlnmlem2  49021  line2ylem  49034  itscnhlc0yqe  49042  itsclquadb  49059  itscnhlinecirc02p  49068  amgmwlem  50084