Theorem renegcld 11544

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℝcr 11005  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  ltord2  11646  leord2  11647  eqord2  11648  possumd  11742  recgt0  11967  riotaneg  12101  negiso  12102  nn0negleid  12433  difgtsumgt  12434  nnnegz  12471  neglt  12910  prodge0rd  12999  modsub12d  13835  monoord2  13940  discr1  14146  discr  14147  recj  15031  reneg  15032  imcj  15039  imneg  15040  abslt  15222  absle  15223  o1lo1  15444  o1lo12  15445  icco1  15447  rlimrege0  15486  lo1sub  15538  iseraltlem2  15590  infcvgaux1i  15764  absefib  16107  efieq1re  16108  moddvds  16174  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  mulgnegnn  18997  cnsubrg  21364  xrhmeo  24871  pjthlem1  25364  ivth2  25383  ovolshft  25439  shftmbl  25466  volsup2  25533  volivth  25535  mbfmulc2lem  25575  mbfposr  25580  mbfposb  25581  ismbf3d  25582  mbfmulc2  25591  mbfinf  25593  mbfi1fseqlem4  25646  mbfi1fseqlem5  25647  mbfi1fseqlem6  25648  mbfi1flimlem  25650  itg2monolem1  25678  iblposlem  25720  iblre  25722  itgreval  25725  itgneg  25732  i1fibl  25736  itgitg1  25737  itgle  25738  ibladd  25749  itgaddlem2  25752  iblabslem  25756  itgmulc2lem2  25761  itgmulc2  25762  bddiblnc  25770  dvferm2lem  25917  dvferm2  25918  rolle  25921  dvivth  25942  lhop2  25947  dvfsumge  25955  dvfsumlem2  25960  dvfsumlem2OLD  25961  dvfsum2  25968  coseq0negpitopi  26439  tanabsge  26442  tanord  26474  tanregt0  26475  abslogimle  26509  logcj  26542  argimgt0  26548  logdiv2  26553  logcnlem3  26580  logccv  26599  abscxpbnd  26690  logreclem  26699  asinlem3a  26807  asinneg  26823  atanlogsublem  26852  atantan  26860  atans2  26868  birthdaylem3  26890  cxplim  26909  amgmlem  26927  emcllem7  26939  zetacvg  26952  eldmgm  26959  lgamgulmlem2  26967  lgsneg  27259  lgsdilem  27262  lgseisenlem1  27313  pntpbnd1  27524  pntibndlem2  27529  padicabvcxp  27570  ostth3  27576  axsegconlem9  28903  nvabs  30652  pjhthlem1  31371  xlt2addrd  32742  expgt0b  32799  sgnmul  32818  oexpled  32830  ccfldextdgrr  33685  constrnegcl  33776  iconstr  33779  constrremulcl  33780  constrmulcl  33784  constrresqrtcl  33790  cos9thpiminplylem1  33795  xrge0iifcnv  33946  xrge0iifiso  33948  xrge0iifhom  33950  dya2ub  34283  signsply0  34564  fdvneggt  34613  fdvnegge  34615  climlec3  35778  poimirlem29  37688  itg2gt0cn  37714  ibladdnc  37716  itgaddnclem2  37718  iblabsnclem  37722  itgmulc2nclem2  37726  itgmulc2nc  37727  ftc1anclem5  37736  dvasin  37743  areacirclem1  37747  areacirclem4  37750  areacirclem5  37751  areacirc  37752  posbezout  42192  bcle2d  42271  aks6d1c7lem1  42272  oexpreposd  42414  3cubeslem4  42781  pellexlem6  42926  pell1234qrdich  42953  acongeq  43075  sqrtcval  43733  radcnvrat  44406  binomcxplemdvbinom  44445  binomcxplemnotnn0  44448  infnsuprnmpt  45346  fperiodmul  45404  supsubc  45451  ltmulneg  45489  rexabslelem  45515  supminfrnmpt  45542  leneg2d  45545  leneg3d  45554  supminfxr  45561  climliminflimsupd  45898  liminfreuzlem  45899  liminfltlem  45901  stoweidlem1  46098  stoweidlem7  46104  stoweidlem13  46110  stoweidlem23  46120  stoweidlem34  46131  stoweidlem42  46139  stoweidlem47  46144  stirlinglem6  46176  stirlinglem10  46180  fourierdlem24  46228  fourierdlem39  46243  fourierdlem40  46244  fourierdlem43  46247  fourierdlem44  46248  fourierdlem46  46249  fourierdlem48  46251  fourierdlem49  46252  fourierdlem58  46261  fourierdlem62  46265  fourierdlem72  46275  fourierdlem78  46281  fourierdlem83  46286  fourierdlem85  46288  fourierdlem88  46291  fourierdlem92  46295  fourierdlem97  46300  fourierdlem103  46306  fourierdlem104  46307  fourierdlem109  46312  fourierdlem111  46314  fourierdlem112  46315  sqwvfoura  46325  etransclem23  46354  etransclem46  46377  hoicvr  46645  hoicvrrex  46653  smfinflem  46914  smfliminflem  46927  finfdm  46943  smfinfdmmbllem  46945  sigaradd  46963  squeezedltsq  46985  sqrtnegnre  47406  proththd  47713  requad01  47720  requad1  47721  requad2  47722  dignn0flhalflem1  48715  eenglngeehlnmlem1  48837  eenglngeehlnmlem2  48838  line2ylem  48851  itscnhlc0yqe  48859  itsclquadb  48876  itscnhlinecirc02p  48885  amgmwlem  49902