Theorem renegcld 11411

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ℝcr 10879  -cneg 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by:  ltord2  11513  leord2  11514  eqord2  11515  possumd  11609  recgt0  11830  riotaneg  11963  negiso  11964  nn0negleid  12294  difgtsumgt  12295  nnnegz  12331  prodge0rd  12846  modsub12d  13657  monoord2  13763  discr1  13963  discr  13964  recj  14844  reneg  14845  imcj  14852  imneg  14853  abslt  15035  absle  15036  o1lo1  15255  o1lo12  15256  icco1  15258  rlimrege0  15297  lo1sub  15349  iseraltlem2  15403  infcvgaux1i  15578  absefib  15916  efieq1re  15917  moddvds  15983  bitscmp  16154  bitsinv1lem  16157  mulgnegnn  18723  cnsubrg  20667  xrhmeo  24118  pjthlem1  24610  ivth2  24628  ovolshft  24684  shftmbl  24711  volsup2  24778  volivth  24780  mbfmulc2lem  24820  mbfposr  24825  mbfposb  24826  ismbf3d  24827  mbfmulc2  24836  mbfinf  24838  mbfi1fseqlem4  24892  mbfi1fseqlem5  24893  mbfi1fseqlem6  24894  mbfi1flimlem  24896  itg2monolem1  24924  iblposlem  24965  iblre  24967  itgreval  24970  itgneg  24977  i1fibl  24981  itgitg1  24982  itgle  24983  ibladd  24994  itgaddlem2  24997  iblabslem  25001  itgmulc2lem2  25006  itgmulc2  25007  bddiblnc  25015  dvferm2lem  25159  dvferm2  25160  rolle  25163  dvivth  25183  lhop2  25188  dvfsumge  25195  dvfsumlem2  25200  dvfsum2  25207  coseq0negpitopi  25669  tanabsge  25672  tanord  25703  tanregt0  25704  abslogimle  25738  logcj  25770  argimgt0  25776  logdiv2  25781  logcnlem3  25808  logccv  25827  abscxpbnd  25915  logreclem  25921  asinlem3a  26029  asinneg  26045  atanlogsublem  26074  atantan  26082  atans2  26090  birthdaylem3  26112  cxplim  26130  amgmlem  26148  emcllem7  26160  zetacvg  26173  eldmgm  26180  lgamgulmlem2  26188  lgsneg  26478  lgsdilem  26481  lgseisenlem1  26532  pntpbnd1  26743  pntibndlem2  26748  padicabvcxp  26789  ostth3  26795  axsegconlem9  27302  nvabs  29043  pjhthlem1  29762  xlt2addrd  31090  ccfldextdgrr  31751  xrge0iifcnv  31892  xrge0iifiso  31894  xrge0iifhom  31896  dya2ub  32246  sgnmul  32518  signsply0  32539  fdvneggt  32589  fdvnegge  32591  climlec3  33708  poimirlem29  35815  itg2gt0cn  35841  ibladdnc  35843  itgaddnclem2  35845  iblabsnclem  35849  itgmulc2nclem2  35853  itgmulc2nc  35854  ftc1anclem5  35863  dvasin  35870  areacirclem1  35874  areacirclem4  35877  areacirclem5  35878  areacirc  35879  oexpreposd  40328  3cubeslem4  40518  pellexlem6  40663  pell1234qrdich  40690  acongeq  40812  sqrtcval  41256  radcnvrat  41939  binomcxplemdvbinom  41978  binomcxplemnotnn0  41981  infnsuprnmpt  42803  neglt  42830  fperiodmul  42850  supsubc  42899  ltmulneg  42939  rexabslelem  42965  supminfrnmpt  42992  leneg2d  42995  leneg3d  43004  supminfxr  43011  climliminflimsupd  43349  liminfreuzlem  43350  liminfltlem  43352  stoweidlem1  43549  stoweidlem7  43555  stoweidlem13  43561  stoweidlem23  43571  stoweidlem34  43582  stoweidlem42  43590  stoweidlem47  43595  stirlinglem6  43627  stirlinglem10  43631  fourierdlem24  43679  fourierdlem39  43694  fourierdlem40  43695  fourierdlem43  43698  fourierdlem44  43699  fourierdlem46  43700  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem58  43712  fourierdlem62  43716  fourierdlem72  43726  fourierdlem78  43732  fourierdlem83  43737  fourierdlem85  43739  fourierdlem88  43742  fourierdlem92  43746  fourierdlem97  43751  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  fourierdlem109  43763  fourierdlem111  43765  fourierdlem112  43766  sqwvfoura  43776  etransclem23  43805  etransclem46  43828  hoicvr  44093  hoicvrrex  44101  smfinflem  44361  smfliminflem  44374  sigaradd  44393  sqrtnegnre  44810  proththd  45077  requad01  45084  requad1  45085  requad2  45086  dignn0flhalflem1  45972  eenglngeehlnmlem1  46094  eenglngeehlnmlem2  46095  line2ylem  46108  itscnhlc0yqe  46116  itsclquadb  46133  itscnhlinecirc02p  46142  amgmwlem  46517