Theorem renegcld 11717

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℝcr 11183  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  ltord2  11819  leord2  11820  eqord2  11821  possumd  11915  recgt0  12140  riotaneg  12274  negiso  12275  nn0negleid  12605  difgtsumgt  12606  nnnegz  12642  prodge0rd  13164  modsub12d  13979  monoord2  14084  discr1  14288  discr  14289  recj  15173  reneg  15174  imcj  15181  imneg  15182  abslt  15363  absle  15364  o1lo1  15583  o1lo12  15584  icco1  15586  rlimrege0  15625  lo1sub  15677  iseraltlem2  15731  infcvgaux1i  15905  absefib  16246  efieq1re  16247  moddvds  16313  bitscmp  16484  bitsinv1lem  16487  mulgnegnn  19124  cnsubrg  21468  xrhmeo  24996  pjthlem1  25490  ivth2  25509  ovolshft  25565  shftmbl  25592  volsup2  25659  volivth  25661  mbfmulc2lem  25701  mbfposr  25706  mbfposb  25707  ismbf3d  25708  mbfmulc2  25717  mbfinf  25719  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  mbfi1flimlem  25777  itg2monolem1  25805  iblposlem  25847  iblre  25849  itgreval  25852  itgneg  25859  i1fibl  25863  itgitg1  25864  itgle  25865  ibladd  25876  itgaddlem2  25879  iblabslem  25883  itgmulc2lem2  25888  itgmulc2  25889  bddiblnc  25897  dvferm2lem  26044  dvferm2  26045  rolle  26048  dvivth  26069  lhop2  26074  dvfsumge  26082  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsum2  26095  coseq0negpitopi  26563  tanabsge  26566  tanord  26598  tanregt0  26599  abslogimle  26633  logcj  26666  argimgt0  26672  logdiv2  26677  logcnlem3  26704  logccv  26723  abscxpbnd  26814  logreclem  26823  asinlem3a  26931  asinneg  26947  atanlogsublem  26976  atantan  26984  atans2  26992  birthdaylem3  27014  cxplim  27033  amgmlem  27051  emcllem7  27063  zetacvg  27076  eldmgm  27083  lgamgulmlem2  27091  lgsneg  27383  lgsdilem  27386  lgseisenlem1  27437  pntpbnd1  27648  pntibndlem2  27653  padicabvcxp  27694  ostth3  27700  axsegconlem9  28958  nvabs  30704  pjhthlem1  31423  xlt2addrd  32765  expgt0b  32820  ccfldextdgrr  33682  xrge0iifcnv  33879  xrge0iifiso  33881  xrge0iifhom  33883  dya2ub  34235  sgnmul  34507  signsply0  34528  fdvneggt  34577  fdvnegge  34579  climlec3  35696  poimirlem29  37609  itg2gt0cn  37635  ibladdnc  37637  itgaddnclem2  37639  iblabsnclem  37643  itgmulc2nclem2  37647  itgmulc2nc  37648  ftc1anclem5  37657  dvasin  37664  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  areacirclem5  37672  areacirc  37673  posbezout  42057  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  oexpreposd  42309  3cubeslem4  42645  pellexlem6  42790  pell1234qrdich  42817  acongeq  42940  sqrtcval  43603  radcnvrat  44283  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemnotnn0  44325  infnsuprnmpt  45159  neglt  45199  fperiodmul  45219  supsubc  45268  ltmulneg  45307  rexabslelem  45333  supminfrnmpt  45360  leneg2d  45363  leneg3d  45372  supminfxr  45379  climliminflimsupd  45722  liminfreuzlem  45723  liminfltlem  45725  stoweidlem1  45922  stoweidlem7  45928  stoweidlem13  45934  stoweidlem23  45944  stoweidlem34  45955  stoweidlem42  45963  stoweidlem47  45968  stirlinglem6  46000  stirlinglem10  46004  fourierdlem24  46052  fourierdlem39  46067  fourierdlem40  46068  fourierdlem43  46071  fourierdlem44  46072  fourierdlem46  46073  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem58  46085  fourierdlem62  46089  fourierdlem72  46099  fourierdlem78  46105  fourierdlem83  46110  fourierdlem85  46112  fourierdlem88  46115  fourierdlem92  46119  fourierdlem97  46124  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem109  46136  fourierdlem111  46138  fourierdlem112  46139  sqwvfoura  46149  etransclem23  46178  etransclem46  46201  hoicvr  46469  hoicvrrex  46477  smfinflem  46738  smfliminflem  46751  finfdm  46767  smfinfdmmbllem  46769  sigaradd  46787  sqrtnegnre  47222  proththd  47488  requad01  47495  requad1  47496  requad2  47497  dignn0flhalflem1  48349  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  line2ylem  48485  itscnhlc0yqe  48493  itsclquadb  48510  itscnhlinecirc02p  48519  amgmwlem  48896