Theorem renegcld 11612

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℝcr 11074  -cneg 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  ltord2  11714  leord2  11715  eqord2  11716  possumd  11810  recgt0  12035  riotaneg  12169  negiso  12170  nn0negleid  12501  difgtsumgt  12502  nnnegz  12539  neglt  12978  prodge0rd  13067  modsub12d  13900  monoord2  14005  discr1  14211  discr  14212  recj  15097  reneg  15098  imcj  15105  imneg  15106  abslt  15288  absle  15289  o1lo1  15510  o1lo12  15511  icco1  15513  rlimrege0  15552  lo1sub  15604  iseraltlem2  15656  infcvgaux1i  15830  absefib  16173  efieq1re  16174  moddvds  16240  bitscmp  16415  bitsinv1lem  16418  mulgnegnn  19023  cnsubrg  21351  xrhmeo  24851  pjthlem1  25344  ivth2  25363  ovolshft  25419  shftmbl  25446  volsup2  25513  volivth  25515  mbfmulc2lem  25555  mbfposr  25560  mbfposb  25561  ismbf3d  25562  mbfmulc2  25571  mbfinf  25573  mbfi1fseqlem4  25626  mbfi1fseqlem5  25627  mbfi1fseqlem6  25628  mbfi1flimlem  25630  itg2monolem1  25658  iblposlem  25700  iblre  25702  itgreval  25705  itgneg  25712  i1fibl  25716  itgitg1  25717  itgle  25718  ibladd  25729  itgaddlem2  25732  iblabslem  25736  itgmulc2lem2  25741  itgmulc2  25742  bddiblnc  25750  dvferm2lem  25897  dvferm2  25898  rolle  25901  dvivth  25922  lhop2  25927  dvfsumge  25935  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  dvfsum2  25948  coseq0negpitopi  26419  tanabsge  26422  tanord  26454  tanregt0  26455  abslogimle  26489  logcj  26522  argimgt0  26528  logdiv2  26533  logcnlem3  26560  logccv  26579  abscxpbnd  26670  logreclem  26679  asinlem3a  26787  asinneg  26803  atanlogsublem  26832  atantan  26840  atans2  26848  birthdaylem3  26870  cxplim  26889  amgmlem  26907  emcllem7  26919  zetacvg  26932  eldmgm  26939  lgamgulmlem2  26947  lgsneg  27239  lgsdilem  27242  lgseisenlem1  27293  pntpbnd1  27504  pntibndlem2  27509  padicabvcxp  27550  ostth3  27556  axsegconlem9  28859  nvabs  30608  pjhthlem1  31327  xlt2addrd  32689  expgt0b  32748  sgnmul  32767  oexpled  32779  ccfldextdgrr  33674  constrnegcl  33760  iconstr  33763  constrremulcl  33764  constrmulcl  33768  constrresqrtcl  33774  cos9thpiminplylem1  33779  xrge0iifcnv  33930  xrge0iifiso  33932  xrge0iifhom  33934  dya2ub  34268  signsply0  34549  fdvneggt  34598  fdvnegge  34600  climlec3  35728  poimirlem29  37650  itg2gt0cn  37676  ibladdnc  37678  itgaddnclem2  37680  iblabsnclem  37684  itgmulc2nclem2  37688  itgmulc2nc  37689  ftc1anclem5  37698  dvasin  37705  areacirclem1  37709  areacirclem4  37712  areacirclem5  37713  areacirc  37714  posbezout  42095  bcle2d  42174  aks6d1c7lem1  42175  oexpreposd  42317  3cubeslem4  42684  pellexlem6  42829  pell1234qrdich  42856  acongeq  42979  sqrtcval  43637  radcnvrat  44310  binomcxplemdvbinom  44349  binomcxplemnotnn0  44352  infnsuprnmpt  45251  fperiodmul  45309  supsubc  45356  ltmulneg  45395  rexabslelem  45421  supminfrnmpt  45448  leneg2d  45451  leneg3d  45460  supminfxr  45467  climliminflimsupd  45806  liminfreuzlem  45807  liminfltlem  45809  stoweidlem1  46006  stoweidlem7  46012  stoweidlem13  46018  stoweidlem23  46028  stoweidlem34  46039  stoweidlem42  46047  stoweidlem47  46052  stirlinglem6  46084  stirlinglem10  46088  fourierdlem24  46136  fourierdlem39  46151  fourierdlem40  46152  fourierdlem43  46155  fourierdlem44  46156  fourierdlem46  46157  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem58  46169  fourierdlem62  46173  fourierdlem72  46183  fourierdlem78  46189  fourierdlem83  46194  fourierdlem85  46196  fourierdlem88  46199  fourierdlem92  46203  fourierdlem97  46208  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem109  46220  fourierdlem111  46222  fourierdlem112  46223  sqwvfoura  46233  etransclem23  46262  etransclem46  46285  hoicvr  46553  hoicvrrex  46561  smfinflem  46822  smfliminflem  46835  finfdm  46851  smfinfdmmbllem  46853  sigaradd  46871  squeezedltsq  46894  sqrtnegnre  47312  proththd  47619  requad01  47626  requad1  47627  requad2  47628  dignn0flhalflem1  48608  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  line2ylem  48744  itscnhlc0yqe  48752  itsclquadb  48769  itscnhlinecirc02p  48778  amgmwlem  49795