Theorem renegcld 11583

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11463	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℝcr 11045  -cneg 11384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-sub 11385  df-neg 11386

This theorem is referenced by:  ltord2  11685  leord2  11686  eqord2  11687  possumd  11781  recgt0  12006  riotaneg  12140  negiso  12141  nn0negleid  12472  difgtsumgt  12473  nnnegz  12510  neglt  12949  prodge0rd  13038  modsub12d  13871  monoord2  13976  discr1  14182  discr  14183  recj  15067  reneg  15068  imcj  15075  imneg  15076  abslt  15258  absle  15259  o1lo1  15480  o1lo12  15481  icco1  15483  rlimrege0  15522  lo1sub  15574  iseraltlem2  15626  infcvgaux1i  15800  absefib  16143  efieq1re  16144  moddvds  16210  bitscmp  16385  bitsinv1lem  16388  mulgnegnn  18999  cnsubrg  21370  xrhmeo  24878  pjthlem1  25371  ivth2  25390  ovolshft  25446  shftmbl  25473  volsup2  25540  volivth  25542  mbfmulc2lem  25582  mbfposr  25587  mbfposb  25588  ismbf3d  25589  mbfmulc2  25598  mbfinf  25600  mbfi1fseqlem4  25653  mbfi1fseqlem5  25654  mbfi1fseqlem6  25655  mbfi1flimlem  25657  itg2monolem1  25685  iblposlem  25727  iblre  25729  itgreval  25732  itgneg  25739  i1fibl  25743  itgitg1  25744  itgle  25745  ibladd  25756  itgaddlem2  25759  iblabslem  25763  itgmulc2lem2  25768  itgmulc2  25769  bddiblnc  25777  dvferm2lem  25924  dvferm2  25925  rolle  25928  dvivth  25949  lhop2  25954  dvfsumge  25962  dvfsumlem2  25967  dvfsumlem2OLD  25968  dvfsum2  25975  coseq0negpitopi  26446  tanabsge  26449  tanord  26481  tanregt0  26482  abslogimle  26516  logcj  26549  argimgt0  26555  logdiv2  26560  logcnlem3  26587  logccv  26606  abscxpbnd  26697  logreclem  26706  asinlem3a  26814  asinneg  26830  atanlogsublem  26859  atantan  26867  atans2  26875  birthdaylem3  26897  cxplim  26916  amgmlem  26934  emcllem7  26946  zetacvg  26959  eldmgm  26966  lgamgulmlem2  26974  lgsneg  27266  lgsdilem  27269  lgseisenlem1  27320  pntpbnd1  27531  pntibndlem2  27536  padicabvcxp  27577  ostth3  27583  axsegconlem9  28906  nvabs  30652  pjhthlem1  31371  xlt2addrd  32733  expgt0b  32792  sgnmul  32811  oexpled  32823  ccfldextdgrr  33661  constrnegcl  33747  iconstr  33750  constrremulcl  33751  constrmulcl  33755  constrresqrtcl  33761  cos9thpiminplylem1  33766  xrge0iifcnv  33917  xrge0iifiso  33919  xrge0iifhom  33921  dya2ub  34255  signsply0  34536  fdvneggt  34585  fdvnegge  34587  climlec3  35715  poimirlem29  37637  itg2gt0cn  37663  ibladdnc  37665  itgaddnclem2  37667  iblabsnclem  37671  itgmulc2nclem2  37675  itgmulc2nc  37676  ftc1anclem5  37685  dvasin  37692  areacirclem1  37696  areacirclem4  37699  areacirclem5  37700  areacirc  37701  posbezout  42082  bcle2d  42161  aks6d1c7lem1  42162  oexpreposd  42304  3cubeslem4  42671  pellexlem6  42816  pell1234qrdich  42843  acongeq  42966  sqrtcval  43624  radcnvrat  44297  binomcxplemdvbinom  44336  binomcxplemnotnn0  44339  infnsuprnmpt  45238  fperiodmul  45296  supsubc  45343  ltmulneg  45382  rexabslelem  45408  supminfrnmpt  45435  leneg2d  45438  leneg3d  45447  supminfxr  45454  climliminflimsupd  45793  liminfreuzlem  45794  liminfltlem  45796  stoweidlem1  45993  stoweidlem7  45999  stoweidlem13  46005  stoweidlem23  46015  stoweidlem34  46026  stoweidlem42  46034  stoweidlem47  46039  stirlinglem6  46071  stirlinglem10  46075  fourierdlem24  46123  fourierdlem39  46138  fourierdlem40  46139  fourierdlem43  46142  fourierdlem44  46143  fourierdlem46  46144  fourierdlem48  46146  fourierdlem49  46147  fourierdlem58  46156  fourierdlem62  46160  fourierdlem72  46170  fourierdlem78  46176  fourierdlem83  46181  fourierdlem85  46183  fourierdlem88  46186  fourierdlem92  46190  fourierdlem97  46195  fourierdlem103  46201  fourierdlem104  46202  fourierdlem109  46207  fourierdlem111  46209  fourierdlem112  46210  sqwvfoura  46220  etransclem23  46249  etransclem46  46272  hoicvr  46540  hoicvrrex  46548  smfinflem  46809  smfliminflem  46822  finfdm  46838  smfinfdmmbllem  46840  sigaradd  46858  squeezedltsq  46881  sqrtnegnre  47302  proththd  47609  requad01  47616  requad1  47617  requad2  47618  dignn0flhalflem1  48598  eenglngeehlnmlem1  48720  eenglngeehlnmlem2  48721  line2ylem  48734  itscnhlc0yqe  48742  itsclquadb  48759  itscnhlinecirc02p  48768  amgmwlem  49785