Theorem renegcld 10788

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 10672	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ℝcr 10258  -cneg 10593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-sub 10594  df-neg 10595

This theorem is referenced by:  ltord2  10888  leord2  10889  eqord2  10890  possumd  10984  recgt0  11204  prodge0OLD  11207  riotaneg  11339  negiso  11340  nn0negleid  11679  difgtsumgt  11680  nnnegz  11714  prodge0rd  12228  modsub12d  13029  monoord2  13133  discr1  13301  discr  13302  recj  14248  reneg  14249  imcj  14256  imneg  14257  abslt  14438  absle  14439  o1lo1  14652  o1lo12  14653  icco1  14655  rlimrege0  14694  lo1sub  14745  iseraltlem2  14797  infcvgaux1i  14970  absefib  15307  efieq1re  15308  moddvds  15375  bitscmp  15540  bitsinv1lem  15543  mulgnegnn  17912  cnsubrg  20173  xrhmeo  23122  pjthlem1  23612  ivth2  23628  ovolshft  23684  shftmbl  23711  volsup2  23778  volivth  23780  mbfmulc2lem  23820  mbfposr  23825  mbfposb  23826  ismbf3d  23827  mbfmulc2  23836  mbfinf  23838  mbfi1fseqlem4  23891  mbfi1fseqlem5  23892  mbfi1fseqlem6  23893  mbfi1flimlem  23895  itg2monolem1  23923  iblposlem  23964  iblre  23966  itgreval  23969  itgneg  23976  i1fibl  23980  itgitg1  23981  itgle  23982  ibladd  23993  itgaddlem2  23996  iblabslem  24000  itgmulc2lem2  24005  itgmulc2  24006  dvferm2lem  24155  dvferm2  24156  rolle  24159  dvivth  24179  lhop2  24184  dvfsumge  24191  dvfsumlem2  24196  dvfsum2  24203  coseq0negpitopi  24662  tanabsge  24665  tanord  24691  tanregt0  24692  abslogimle  24726  logcj  24758  argimgt0  24764  logdiv2  24769  logcnlem3  24796  dvloglem  24800  logccv  24815  abscxpbnd  24903  logreclem  24909  asinlem3a  25017  asinneg  25033  atanlogsublem  25062  atantan  25070  atans2  25078  birthdaylem3  25100  cxplim  25118  amgmlem  25136  emcllem7  25148  zetacvg  25161  eldmgm  25168  lgamgulmlem2  25176  lgsneg  25466  lgsdilem  25469  lgseisenlem1  25520  pntpbnd1  25695  pntibndlem2  25700  padicabvcxp  25741  ostth3  25747  axsegconlem9  26231  nvabs  28078  pjhthlem1  28801  xlt2addrd  30066  xrge0iifcnv  30520  xrge0iifiso  30522  xrge0iifhom  30524  dya2ub  30873  sgnmul  31146  signsply0  31171  fdvneggt  31223  fdvnegge  31225  climlec3  32157  poimirlem29  33977  itg2gt0cn  34003  ibladdnc  34005  itgaddnclem2  34007  iblabsnclem  34011  itgmulc2nclem2  34015  itgmulc2nc  34016  bddiblnc  34018  ftc1anclem5  34027  dvasin  34034  areacirclem1  34038  areacirclem4  34041  areacirclem5  34042  areacirc  34043  oexpreposd  38063  pellexlem6  38237  pell1234qrdich  38264  acongeq  38388  radcnvrat  39348  binomcxplemdvbinom  39387  binomcxplemnotnn0  39390  infnsuprnmpt  40259  neglt  40289  fperiodmul  40310  supsubc  40360  ltmulneg  40404  rexabslelem  40434  supminfrnmpt  40461  leneg2d  40465  leneg3d  40475  supminfxr  40482  climliminflimsupd  40822  liminfreuzlem  40823  liminfltlem  40825  stoweidlem1  41006  stoweidlem7  41012  stoweidlem13  41018  stoweidlem23  41028  stoweidlem34  41039  stoweidlem42  41047  stoweidlem47  41052  stirlinglem6  41084  stirlinglem10  41088  fourierdlem24  41136  fourierdlem39  41151  fourierdlem40  41152  fourierdlem43  41155  fourierdlem44  41156  fourierdlem46  41157  fourierdlem48  41159  fourierdlem49  41160  fourierdlem58  41169  fourierdlem62  41173  fourierdlem72  41183  fourierdlem78  41189  fourierdlem83  41194  fourierdlem85  41196  fourierdlem88  41199  fourierdlem92  41203  fourierdlem97  41208  fourierdlem103  41214  fourierdlem104  41215  fourierdlem109  41220  fourierdlem111  41222  fourierdlem112  41223  sqwvfoura  41233  etransclem23  41262  etransclem46  41285  hoicvr  41550  hoicvrrex  41558  smfinflem  41811  smfliminflem  41824  sigaradd  41843  proththd  42375  dignn0flhalflem1  43270  eenglngeehlnmlem1  43301  eenglngeehlnmlem2  43302  line2ylem  43313  itsclc0lem1  43318  amgmwlem  43454