Theorem renegcld 11332

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 11214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℝcr 10801  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  ltord2  11434  leord2  11435  eqord2  11436  possumd  11530  recgt0  11751  riotaneg  11884  negiso  11885  nn0negleid  12215  difgtsumgt  12216  nnnegz  12252  prodge0rd  12766  modsub12d  13576  monoord2  13682  discr1  13882  discr  13883  recj  14763  reneg  14764  imcj  14771  imneg  14772  abslt  14954  absle  14955  o1lo1  15174  o1lo12  15175  icco1  15177  rlimrege0  15216  lo1sub  15268  iseraltlem2  15322  infcvgaux1i  15497  absefib  15835  efieq1re  15836  moddvds  15902  bitscmp  16073  bitsinv1lem  16076  mulgnegnn  18629  cnsubrg  20570  xrhmeo  24015  pjthlem1  24506  ivth2  24524  ovolshft  24580  shftmbl  24607  volsup2  24674  volivth  24676  mbfmulc2lem  24716  mbfposr  24721  mbfposb  24722  ismbf3d  24723  mbfmulc2  24732  mbfinf  24734  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1fseqlem5  24789  mbfi1fseqlem6  24790  mbfi1flimlem  24792  itg2monolem1  24820  iblposlem  24861  iblre  24863  itgreval  24866  itgneg  24873  i1fibl  24877  itgitg1  24878  itgle  24879  ibladd  24890  itgaddlem2  24893  iblabslem  24897  itgmulc2lem2  24902  itgmulc2  24903  bddiblnc  24911  dvferm2lem  25055  dvferm2  25056  rolle  25059  dvivth  25079  lhop2  25084  dvfsumge  25091  dvfsumlem2  25096  dvfsum2  25103  coseq0negpitopi  25565  tanabsge  25568  tanord  25599  tanregt0  25600  abslogimle  25634  logcj  25666  argimgt0  25672  logdiv2  25677  logcnlem3  25704  logccv  25723  abscxpbnd  25811  logreclem  25817  asinlem3a  25925  asinneg  25941  atanlogsublem  25970  atantan  25978  atans2  25986  birthdaylem3  26008  cxplim  26026  amgmlem  26044  emcllem7  26056  zetacvg  26069  eldmgm  26076  lgamgulmlem2  26084  lgsneg  26374  lgsdilem  26377  lgseisenlem1  26428  pntpbnd1  26639  pntibndlem2  26644  padicabvcxp  26685  ostth3  26691  axsegconlem9  27196  nvabs  28935  pjhthlem1  29654  xlt2addrd  30983  ccfldextdgrr  31644  xrge0iifcnv  31785  xrge0iifiso  31787  xrge0iifhom  31789  dya2ub  32137  sgnmul  32409  signsply0  32430  fdvneggt  32480  fdvnegge  32482  climlec3  33605  poimirlem29  35733  itg2gt0cn  35759  ibladdnc  35761  itgaddnclem2  35763  iblabsnclem  35767  itgmulc2nclem2  35771  itgmulc2nc  35772  ftc1anclem5  35781  dvasin  35788  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  areacirclem5  35796  areacirc  35797  oexpreposd  40242  3cubeslem4  40427  pellexlem6  40572  pell1234qrdich  40599  acongeq  40721  sqrtcval  41138  radcnvrat  41821  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemnotnn0  41863  infnsuprnmpt  42685  neglt  42712  fperiodmul  42733  supsubc  42782  ltmulneg  42822  rexabslelem  42848  supminfrnmpt  42875  leneg2d  42878  leneg3d  42887  supminfxr  42894  climliminflimsupd  43232  liminfreuzlem  43233  liminfltlem  43235  stoweidlem1  43432  stoweidlem7  43438  stoweidlem13  43444  stoweidlem23  43454  stoweidlem34  43465  stoweidlem42  43473  stoweidlem47  43478  stirlinglem6  43510  stirlinglem10  43514  fourierdlem24  43562  fourierdlem39  43577  fourierdlem40  43578  fourierdlem43  43581  fourierdlem44  43582  fourierdlem46  43583  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem58  43595  fourierdlem62  43599  fourierdlem72  43609  fourierdlem78  43615  fourierdlem83  43620  fourierdlem85  43622  fourierdlem88  43625  fourierdlem92  43629  fourierdlem97  43634  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem109  43646  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  sqwvfoura  43659  etransclem23  43688  etransclem46  43711  hoicvr  43976  hoicvrrex  43984  smfinflem  44237  smfliminflem  44250  sigaradd  44269  sqrtnegnre  44687  proththd  44954  requad01  44961  requad1  44962  requad2  44963  dignn0flhalflem1  45849  eenglngeehlnmlem1  45971  eenglngeehlnmlem2  45972  line2ylem  45985  itscnhlc0yqe  45993  itsclquadb  46010  itscnhlinecirc02p  46019  amgmwlem  46392