Theorem elii2 25076

Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elii2	⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1))

Proof of Theorem elii2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc01 13494	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
2	1	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4		halfre 12458	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		letric 11311	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ (1 / 2) ∨ (1 / 2) ≤ 𝑋))
6	2, 4, 5	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝑋 ≤ (1 / 2) ∨ (1 / 2) ≤ 𝑋))
7	6	orcanai 1018	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
8	1	simp3bi 1165	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ≤ 1)
9	8	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ≤ 1)
10		1re 11209	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	4, 10	elicc2i 13440	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
12	3, 7, 9, 11	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  2c2 12296  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  phtpycc  25131  copco  25158  pcohtpylem  25159  pcopt  25162  pcopt2  25163  pcoass  25164  pcorevlem  25166