MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pilem2 25811
Description: Lemma for pire 25815, pigt2lt4 25813 and sinpi 25814. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem2.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pilem2.3 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem2.4 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
Assertion
Ref Expression
pilem2 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pi 15955 . . . 4 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
2 inss1 4188 . . . . . . 7 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3 rpssre 12922 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
42, 3sstri 3953 . . . . . 6 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6 0re 11157 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
7 elinel1 4155 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
87rpge0d 12961 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
98rgen 3066 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10 breq1 5108 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
1110ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
1211rspcev 3581 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
136, 9, 12mp2an 690 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
15 2re 12227 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
16 pilem2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1716rpred 12957 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
18 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
1915, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20 pilem2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
21 elioore 13294 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24 4re 12237 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26 eliooord 13323 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2827simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 4)
29 2t2e4 12317 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
3015a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 2)
3427simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 < 𝐴)
3531, 30, 22, 33, 34lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3622, 35elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
37 pilem2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38 pilem1 25810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
3936, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
4039ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
41 infrecl 12137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
424, 13, 41mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44 pilem1 25810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
45 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 letric 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
4815, 46, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
4948ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
5045ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
51 rpgt0 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
53 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
54 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
55 elioc2 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2)))
5654, 15, 55mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2))
5750, 52, 53, 56syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
58 sin02gt0 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
6059gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
6160ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6249, 61syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6362necon4bd 2963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
6463expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
6544, 64biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
6665ralrimiv 3142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
67 infregelb 12139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
685, 40, 14, 30, 67syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
6966, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ))
70 pilem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
71 pilem1 25810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
7216, 70, 71sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
73 infrelb 12140 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
745, 14, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
7530, 43, 17, 69, 74letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
7615, 32pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 lemul2 12008 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
7930, 17, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
8075, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
8129, 80eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
8222, 25, 19, 28, 81ltletrd 11315 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < (2 · 𝐵))
8322, 19posdifd 11742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
8482, 83mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
8523, 84elrpd 12954 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
8619recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
8722recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
88 sinsub 16050 . . . . . . . 8 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
8986, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
9017recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
91 sin2t 16059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9370oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
9490coscld 16013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
9594mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
9693, 95eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
9796oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
98 2t0e0 12322 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 0) = 0
9997, 98eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
10092, 99eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
101100oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
10287coscld 16013 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
103102mul02d 11353 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
104101, 103eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
10537oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
10686coscld 16013 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107106mul01d 11354 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
108105, 107eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
109104, 108oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
110 0m0e0 12273 . . . . . . . 8 (0 − 0) = 0
111109, 110eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
11289, 111eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
113 pilem1 25810 . . . . . 6 (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
11485, 112, 113sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
115 infrelb 12140 . . . . 5 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1165, 14, 114, 115syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1171, 116eqbrtrid 5140 . . 3 (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1181, 43eqeltrid 2842 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
119 leaddsub 11631 . . . 4 ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
120118, 22, 19, 119syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121117, 120mpbird 256 . 2 (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
122118, 22readdcld 11184 . . 3 (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
123 ledivmul 12031 . . 3 (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
124122, 17, 77, 123syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125121, 124mpbird 256 1 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  ccnv 5632  cima 5636  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  +crp 12915  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  sincsin 15946  cosccos 15947  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955
This theorem is referenced by:  pilem3  25812
  Copyright terms: Public domain W3C validator