Theorem pilem2 26668

Description: Lemma for pire 26672, pigt2lt4 26670 and sinpi 26671. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pilem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pilem2.3	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem2.4	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
pilem2	⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pi 16150	. . . 4 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
2		inss1 4189	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3		rpssre 13042	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3947	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6		0re 11227	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		elinel1 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8	7	rpge0d 13082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
9	8	rgen 3083	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10		breq1 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
11	10	ralbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
12	11	rspcev 3583	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
13	6, 9, 12	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
15		2re 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		pilem2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18		remulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	15, 17, 18	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20		pilem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
21		elioore 13420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 11659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24		4re 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26		eliooord 13450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
27	20, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
28	27	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 4)
29		2t2e4 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
30	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31		0red 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32		2pos 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
34	27	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝐴)
35	31, 30, 22, 33, 34	lttrd 11388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
36	22, 35	elrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
37		pilem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38		pilem1 26667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
39	36, 37, 38	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
40	39	ne0d 4295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
41		infrecl 12214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42	4, 13, 41	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44		pilem1 26667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
45		rpre 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		letric 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
48	15, 46, 47	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
49	48	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≤ 2))
50	45	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
51		rpgt0 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
52	51	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
54		0xr 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ℝ*
55		elioc2 13454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
56	54, 15, 55	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
57	50, 52, 53, 56	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
58		sin02gt0 16272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
60	59	gt0ne0d 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
61	60	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
62	49, 61	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
63	62	necon4bd 2980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
64	63	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
65	44, 64	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
66	65	ralrimiv 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
67		infregelb 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
68	5, 40, 14, 30, 67	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
69	66, 68	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
70		pilem2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
71		pilem1 26667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
72	16, 70, 71	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
73		infrelb 12217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
74	5, 14, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
75	30, 43, 17, 69, 74	letrd 11384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
76	15, 32	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 12085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
79	30, 17, 77, 78	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
80	75, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
81	29, 80	eqbrtrrid 5149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
82	22, 25, 19, 28, 81	ltletrd 11387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2 · 𝐵))
83	22, 19	posdifd 11818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
84	82, 83	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
85	23, 84	elrpd 13075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
86	19	recnd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
87	22	recnd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
88		sinsub 16248	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
89	86, 87, 88	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
90	17	recnd 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91		sin2t 16257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
92	90, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
93	70	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
94	90	coscld 16211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
95	94	mul02d 11425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
96	93, 95	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
97	96	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
98		2t0e0 12428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 0) = 0
99	97, 98	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
100	92, 99	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
101	100	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
102	87	coscld 16211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
103	102	mul02d 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
104	101, 103	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
105	37	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
106	86	coscld 16211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107	106	mul01d 11426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
108	105, 107	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
109	104, 108	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
110		0m0e0 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 0) = 0
111	109, 110	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
112	89, 111	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
113		pilem1 26667	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
114	85, 112, 113	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
115		infrelb 12217	. . . . 5 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
116	5, 14, 114, 115	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
117	1, 116	eqbrtrid 5148	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
118	1, 43	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
119		leaddsub 11707	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
120	118, 22, 19, 119	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121	117, 120	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
122	118, 22	readdcld 11255	. . 3 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
123		ledivmul 12108	. . 3 ⊢ (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
124	122, 17, 77, 123	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125	121, 124	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  infcinf 9408  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117   + caddc 11120   · cmul 11122  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458   / cdiv 11888  2c2 12312  4c4 12314  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13390  (,]cioc 13391  sincsin 16141  cosccos 16142  πcpi 16144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-pi 16150

This theorem is used by:  pilem3  26669