MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pilem2 26496
Description: Lemma for pire 26500, pigt2lt4 26498 and sinpi 26499. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem2.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pilem2.3 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem2.4 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
Assertion
Ref Expression
pilem2 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pi 16108 . . . 4 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
2 inss1 4237 . . . . . . 7 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3 rpssre 13042 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
42, 3sstri 3993 . . . . . 6 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
7 elinel1 4201 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
87rpge0d 13081 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
98rgen 3063 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
1110ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
1211rspcev 3622 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
136, 9, 12mp2an 692 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
15 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
16 pilem2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1716rpred 13077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
18 remulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
1915, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20 pilem2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
21 elioore 13417 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24 4re 12350 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26 eliooord 13446 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2827simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 4)
29 2t2e4 12430 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
3015a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 2)
3427simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 < 𝐴)
3531, 30, 22, 33, 34lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3622, 35elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
37 pilem2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38 pilem1 26495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
3936, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
4039ne0d 4342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
41 infrecl 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
424, 13, 41mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44 pilem1 26495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
45 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 letric 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
4815, 46, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
4948ord 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
5045ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
51 rpgt0 13047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
5251ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
54 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
55 elioc2 13450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2)))
5654, 15, 55mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2))
5750, 52, 53, 56syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
58 sin02gt0 16228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
6059gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
6160ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6249, 61syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6362necon4bd 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
6463expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
6544, 64biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
6665ralrimiv 3145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
67 infregelb 12252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
685, 40, 14, 30, 67syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
6966, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ))
70 pilem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
71 pilem1 26495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
7216, 70, 71sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
73 infrelb 12253 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
745, 14, 72, 73syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
7530, 43, 17, 69, 74letrd 11418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
7615, 32pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 lemul2 12120 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
7930, 17, 77, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
8075, 79mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
8129, 80eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
8222, 25, 19, 28, 81ltletrd 11421 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < (2 · 𝐵))
8322, 19posdifd 11850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
8482, 83mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
8523, 84elrpd 13074 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
8619recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
8722recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
88 sinsub 16204 . . . . . . . 8 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
8986, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
9017recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
91 sin2t 16213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9370oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
9490coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
9594mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
9693, 95eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
9796oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
98 2t0e0 12435 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 0) = 0
9997, 98eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
10092, 99eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
101100oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
10287coscld 16167 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
103102mul02d 11459 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
104101, 103eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
10537oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
10686coscld 16167 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107106mul01d 11460 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
108105, 107eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
109104, 108oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
110 0m0e0 12386 . . . . . . . 8 (0 − 0) = 0
111109, 110eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
11289, 111eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
113 pilem1 26495 . . . . . 6 (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
11485, 112, 113sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
115 infrelb 12253 . . . . 5 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1165, 14, 114, 115syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1171, 116eqbrtrid 5178 . . 3 (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1181, 43eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
119 leaddsub 11739 . . . 4 ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
120118, 22, 19, 119syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121117, 120mpbird 257 . 2 (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
122118, 22readdcld 11290 . . 3 (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
123 ledivmul 12144 . . 3 (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
124122, 17, 77, 123syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125121, 124mpbird 257 1 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  +crp 13034  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108
This theorem is referenced by:  pilem3  26497
  Copyright terms: Public domain W3C validator