Theorem pilem2 26434

Description: Lemma for pire 26438, pigt2lt4 26436 and sinpi 26437. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pilem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pilem2.3	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem2.4	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
pilem2	⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pi 16052	. . . 4 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
2		inss1 4227	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3		rpssre 13016	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3986	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6		0re 11248	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		elinel1 4193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8	7	rpge0d 13055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
9	8	rgen 3052	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10		breq1 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
11	10	ralbidv 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
12	11	rspcev 3606	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
13	6, 9, 12	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
15		2re 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		pilem2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18		remulcl 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	15, 17, 18	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20		pilem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
21		elioore 13389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 11674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24		4re 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26		eliooord 13418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
28	27	simprd 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 4)
29		2t2e4 12409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
30	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31		0red 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32		2pos 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
34	27	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝐴)
35	31, 30, 22, 33, 34	lttrd 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
36	22, 35	elrpd 13048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
37		pilem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38		pilem1 26433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
39	36, 37, 38	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
40	39	ne0d 4335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
41		infrecl 12229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42	4, 13, 41	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44		pilem1 26433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
45		rpre 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		letric 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
48	15, 46, 47	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
49	48	ord 862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≤ 2))
50	45	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
51		rpgt0 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
52	51	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
53		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
54		0xr 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ℝ*
55		elioc2 13422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
56	54, 15, 55	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
57	50, 52, 53, 56	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
58		sin02gt0 16172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
60	59	gt0ne0d 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
61	60	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
62	49, 61	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
63	62	necon4bd 2949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
64	63	expimpd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
65	44, 64	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
66	65	ralrimiv 3134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
67		infregelb 12231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
68	5, 40, 14, 30, 67	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
69	66, 68	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
70		pilem2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
71		pilem1 26433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
72	16, 70, 71	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
73		infrelb 12232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
74	5, 14, 72, 73	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
75	30, 43, 17, 69, 74	letrd 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
76	15, 32	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 12100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
79	30, 17, 77, 78	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
80	75, 79	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
81	29, 80	eqbrtrrid 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
82	22, 25, 19, 28, 81	ltletrd 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2 · 𝐵))
83	22, 19	posdifd 11833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
84	82, 83	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
85	23, 84	elrpd 13048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
86	19	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
87	22	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
88		sinsub 16148	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
89	86, 87, 88	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
90	17	recnd 11274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91		sin2t 16157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
93	70	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
94	90	coscld 16111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
95	94	mul02d 11444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
96	93, 95	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
97	96	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
98		2t0e0 12414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 0) = 0
99	97, 98	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
100	92, 99	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
101	100	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
102	87	coscld 16111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
103	102	mul02d 11444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
104	101, 103	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
105	37	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
106	86	coscld 16111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107	106	mul01d 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
108	105, 107	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
109	104, 108	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
110		0m0e0 12365	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 0) = 0
111	109, 110	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
112	89, 111	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
113		pilem1 26433	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
114	85, 112, 113	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
115		infrelb 12232	. . . . 5 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
116	5, 14, 114, 115	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
117	1, 116	eqbrtrid 5184	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
118	1, 43	eqeltrid 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
119		leaddsub 11722	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
120	118, 22, 19, 119	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121	117, 120	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
122	118, 22	readdcld 11275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
123		ledivmul 12123	. . 3 ⊢ (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
124	122, 17, 77, 123	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125	121, 124	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  {csn 4630   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5677   “ cima 5681  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9466  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   · cmul 11145  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476   / cdiv 11903  2c2 12300  4c4 12302  ℝ⁺crp 13009  (,)cioo 13359  (,]cioc 13360  sincsin 16043  cosccos 16044  πcpi 16046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052

This theorem is referenced by:  pilem3  26435