Theorem pilem2 25344

Description: Lemma for pire 25348, pigt2lt4 25346 and sinpi 25347. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pilem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pilem2.3	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem2.4	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
pilem2	⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pi 15634	. . . 4 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
2		inss1 4143	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3		rpssre 12593	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3910	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6		0re 10835	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		elinel1 4109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8	7	rpge0d 12632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
9	8	rgen 3071	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10		breq1 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
11	10	ralbidv 3118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
12	11	rspcev 3537	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
13	6, 9, 12	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
15		2re 11904	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		pilem2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18		remulcl 10814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	15, 17, 18	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20		pilem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
21		elioore 12965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 11260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24		4re 11914	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26		eliooord 12994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
28	27	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 4)
29		2t2e4 11994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
30	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31		0red 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32		2pos 11933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
34	27	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝐴)
35	31, 30, 22, 33, 34	lttrd 10993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
36	22, 35	elrpd 12625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
37		pilem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38		pilem1 25343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
39	36, 37, 38	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
40	39	ne0d 4250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
41		infrecl 11814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42	4, 13, 41	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44		pilem1 25343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
45		rpre 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		letric 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
48	15, 46, 47	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
49	48	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≤ 2))
50	45	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
51		rpgt0 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
53		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
54		0xr 10880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ℝ*
55		elioc2 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
56	54, 15, 55	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
57	50, 52, 53, 56	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
58		sin02gt0 15753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
60	59	gt0ne0d 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
61	60	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
62	49, 61	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
63	62	necon4bd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
64	63	expimpd 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
65	44, 64	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
66	65	ralrimiv 3104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
67		infregelb 11816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
68	5, 40, 14, 30, 67	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
69	66, 68	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
70		pilem2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
71		pilem1 25343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
72	16, 70, 71	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
73		infrelb 11817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
74	5, 14, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
75	30, 43, 17, 69, 74	letrd 10989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
76	15, 32	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 11685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
79	30, 17, 77, 78	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
80	75, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
81	29, 80	eqbrtrrid 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
82	22, 25, 19, 28, 81	ltletrd 10992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2 · 𝐵))
83	22, 19	posdifd 11419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
84	82, 83	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
85	23, 84	elrpd 12625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
86	19	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
87	22	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
88		sinsub 15729	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
89	86, 87, 88	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
90	17	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91		sin2t 15738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
93	70	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
94	90	coscld 15692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
95	94	mul02d 11030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
96	93, 95	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
97	96	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
98		2t0e0 11999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 0) = 0
99	97, 98	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
100	92, 99	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
101	100	oveq1d 7228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
102	87	coscld 15692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
103	102	mul02d 11030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
104	101, 103	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
105	37	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
106	86	coscld 15692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107	106	mul01d 11031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
108	105, 107	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
109	104, 108	oveq12d 7231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
110		0m0e0 11950	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 0) = 0
111	109, 110	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
112	89, 111	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
113		pilem1 25343	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
114	85, 112, 113	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
115		infrelb 11817	. . . . 5 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
116	5, 14, 114, 115	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
117	1, 116	eqbrtrid 5088	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
118	1, 43	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
119		leaddsub 11308	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
120	118, 22, 19, 119	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121	117, 120	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
122	118, 22	readdcld 10862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
123		ledivmul 11708	. . 3 ⊢ (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
124	122, 17, 77, 123	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125	121, 124	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053  ^◡ccnv 5550   “ cima 5554  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  infcinf 9057  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   · cmul 10734  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  2c2 11885  4c4 11887  ℝ⁺crp 12586  (,)cioo 12935  (,]cioc 12936  sincsin 15625  cosccos 15626  πcpi 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634

This theorem is referenced by:  pilem3  25345