Theorem pilem2 26510

Description: Lemma for pire 26514, pigt2lt4 26512 and sinpi 26513. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pilem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pilem2.3	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem2.4	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
pilem2	⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pi 16104	. . . 4 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
2		inss1 4244	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3		rpssre 13039	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6		0re 11260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		elinel1 4210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8	7	rpge0d 13078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
9	8	rgen 3060	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10		breq1 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
11	10	ralbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
12	11	rspcev 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
13	6, 9, 12	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦)
15		2re 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		pilem2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18		remulcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	15, 17, 18	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20		pilem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (2(,)4))
21		elioore 13413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 11688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24		4re 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26		eliooord 13442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 4))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 4)
29		2t2e4 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
30	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32		2pos 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 2
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
34	27	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝐴)
35	31, 30, 22, 33, 34	lttrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
36	22, 35	elrpd 13071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
37		pilem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38		pilem1 26509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
39	36, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
40	39	ne0d 4347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
41		infrecl 12247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42	4, 13, 41	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44		pilem1 26509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
45		rpre 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		letric 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
48	15, 46, 47	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 2))
49	48	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≤ 2))
50	45	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
51		rpgt0 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
52	51	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
54		0xr 11305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ℝ*
55		elioc2 13446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2)))
56	54, 15, 55	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 2))
57	50, 52, 53, 56	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
58		sin02gt0 16224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
60	59	gt0ne0d 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
61	60	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
62	49, 61	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
63	62	necon4bd 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
64	63	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
65	44, 64	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
66	65	ralrimiv 3142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
67		infregelb 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
68	5, 40, 14, 30, 67	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
69	66, 68	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
70		pilem2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
71		pilem1 26509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
72	16, 70, 71	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
73		infrelb 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
74	5, 14, 72, 73	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
75	30, 43, 17, 69, 74	letrd 11415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
76	15, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78		lemul2 12117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
79	30, 17, 77, 78	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
80	75, 79	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
81	29, 80	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
82	22, 25, 19, 28, 81	ltletrd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2 · 𝐵))
83	22, 19	posdifd 11847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
84	82, 83	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
85	23, 84	elrpd 13071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
86	19	recnd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
87	22	recnd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
88		sinsub 16200	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
89	86, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
90	17	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
91		sin2t 16209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
93	70	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
94	90	coscld 16163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
95	94	mul02d 11456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
96	93, 95	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
97	96	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
98		2t0e0 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 0) = 0
99	97, 98	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
100	92, 99	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
101	100	oveq1d 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
102	87	coscld 16163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
103	102	mul02d 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
104	101, 103	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
105	37	oveq2d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
106	86	coscld 16163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107	106	mul01d 11457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
108	105, 107	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
109	104, 108	oveq12d 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
110		0m0e0 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 0) = 0
111	109, 110	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
112	89, 111	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
113		pilem1 26509	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
114	85, 112, 113	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
115		infrelb 12250	. . . . 5 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
116	5, 14, 114, 115	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
117	1, 116	eqbrtrid 5182	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
118	1, 43	eqeltrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
119		leaddsub 11736	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
120	118, 22, 19, 119	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121	117, 120	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
122	118, 22	readdcld 11287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
123		ledivmul 12141	. . 3 ⊢ (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
124	122, 17, 77, 123	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125	121, 124	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  infcinf 9478  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  4c4 12320  ℝ⁺crp 13031  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104

This theorem is referenced by:  pilem3  26511