MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pilem2 25691
Description: Lemma for pire 25695, pigt2lt4 25693 and sinpi 25694. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem2.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pilem2.3 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem2.4 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
Assertion
Ref Expression
pilem2 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pi 15858 . . . 4 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
2 inss1 4172 . . . . . . 7 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3 rpssre 12816 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
42, 3sstri 3939 . . . . . 6 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6 0re 11056 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
7 elinel1 4139 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
87rpge0d 12855 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
98rgen 3063 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10 breq1 5089 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
1110ralbidv 3170 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
1211rspcev 3569 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
136, 9, 12mp2an 689 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
15 2re 12126 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
16 pilem2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1716rpred 12851 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
18 remulcl 11035 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
1915, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20 pilem2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
21 elioore 13188 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11482 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24 4re 12136 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26 eliooord 13217 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2827simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 4)
29 2t2e4 12216 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
3015a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31 0red 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32 2pos 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 2)
3427simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 < 𝐴)
3531, 30, 22, 33, 34lttrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3622, 35elrpd 12848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
37 pilem2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38 pilem1 25690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
3936, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
4039ne0d 4279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
41 infrecl 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
424, 13, 41mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44 pilem1 25690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
45 rpre 12817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 letric 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
4815, 46, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
4948ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
5045ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
51 rpgt0 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
5251ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
53 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
54 0xr 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
55 elioc2 13221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2)))
5654, 15, 55mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2))
5750, 52, 53, 56syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
58 sin02gt0 15977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
6059gt0ne0d 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
6160ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6249, 61syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6362necon4bd 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
6463expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
6544, 64biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
6665ralrimiv 3138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
67 infregelb 12038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
685, 40, 14, 30, 67syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
6966, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ))
70 pilem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
71 pilem1 25690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
7216, 70, 71sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
73 infrelb 12039 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
745, 14, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
7530, 43, 17, 69, 74letrd 11211 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
7615, 32pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 lemul2 11907 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
7930, 17, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
8075, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
8129, 80eqbrtrrid 5122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
8222, 25, 19, 28, 81ltletrd 11214 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < (2 · 𝐵))
8322, 19posdifd 11641 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
8482, 83mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
8523, 84elrpd 12848 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
8619recnd 11082 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
8722recnd 11082 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
88 sinsub 15953 . . . . . . . 8 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
8986, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
9017recnd 11082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
91 sin2t 15962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9370oveq1d 7331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
9490coscld 15916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
9594mul02d 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
9693, 95eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
9796oveq2d 7332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
98 2t0e0 12221 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 0) = 0
9997, 98eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
10092, 99eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
101100oveq1d 7331 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
10287coscld 15916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
103102mul02d 11252 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
104101, 103eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
10537oveq2d 7332 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
10686coscld 15916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107106mul01d 11253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
108105, 107eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
109104, 108oveq12d 7334 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
110 0m0e0 12172 . . . . . . . 8 (0 − 0) = 0
111109, 110eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
11289, 111eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
113 pilem1 25690 . . . . . 6 (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
11485, 112, 113sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
115 infrelb 12039 . . . . 5 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1165, 14, 114, 115syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1171, 116eqbrtrid 5121 . . 3 (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1181, 43eqeltrid 2841 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
119 leaddsub 11530 . . . 4 ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
120118, 22, 19, 119syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121117, 120mpbird 256 . 2 (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
122118, 22readdcld 11083 . . 3 (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
123 ledivmul 11930 . . 3 (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
124122, 17, 77, 123syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125121, 124mpbird 256 1 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3895  wss 3896  c0 4266  {csn 4570   class class class wbr 5086  ccnv 5606  cima 5610  cfv 6465  (class class class)co 7316  infcinf 9276  cc 10948  cr 10949  0cc0 10950   + caddc 10953   · cmul 10955  *cxr 11087   < clt 11088  cle 11089  cmin 11284   / cdiv 11711  2c2 12107  4c4 12109  +crp 12809  (,)cioo 13158  (,]cioc 13159  sincsin 15849  cosccos 15850  πcpi 15852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-ioo 13162  df-ioc 13163  df-ico 13164  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-seq 13801  df-exp 13862  df-fac 14067  df-bc 14096  df-hash 14124  df-shft 14854  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-limsup 15256  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-ef 15853  df-sin 15855  df-cos 15856  df-pi 15858
This theorem is referenced by:  pilem3  25692
  Copyright terms: Public domain W3C validator