Theorem oddcomabszz 42968

Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddcomabszz.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5	⊢ (𝑥 = -𝑦 → 𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7	⊢ (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
oddcomabszz	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ)))
3		csbeq1 3877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴)
4	3	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴))
5		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
6	5	csbeq1d 3878	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)
7	4, 6	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 ↔ (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴))
8	2, 7	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)))
9		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)
10		nfcsb1v 3898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
11	10	nfel1 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
12	9, 11	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
13		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
14	13	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)))
15		csbeq1a 3888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
16	15	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)))
18		oddcomabszz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	12, 17, 18	chvarfv 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
21		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥0
23		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
24	22, 23, 10	nfbr 5166	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
25	21, 24	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
26		breq2 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
27	13, 26	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
28	15	breq2d 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
29	27, 28	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
30		oddcomabszz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
31	25, 29, 30	chvarfv 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
32	31	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
33	20, 32	absidd 15441	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
34		zre 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36		absid 15315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
37	35, 36	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
38	37	csbeq1d 3878	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
39	33, 38	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
40		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
41		eleq1 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)))
43		negex 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -𝑦 ∈ V
44		oddcomabszz.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → 𝐴 = 𝐶)
45	43, 44	csbie 3909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋-𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐶
46		negeq 11474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
47	46	csbeq1d 3878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋-𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
48	45, 47	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → 𝐶 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
49		vex 3463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
50		oddcomabszz.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
51	49, 50	csbie 3909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐵
52		csbeq1 3877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
53	51, 52	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → 𝐵 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
54	53	negeqd 11476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
55	48, 54	eqeq12d 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵 ↔ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
56	42, 55	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
57		oddcomabszz.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
58	40, 56, 57	chvarfv 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
60	34	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61		absnid 15317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
62	60, 61	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
63	62	csbeq1d 3878	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
64	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
65		znegcl 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67		nfcsb1v 3898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴
68	22, 23, 67	nfbr 5166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴
69	66, 68	nfim 1896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
70		negex 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -𝑎 ∈ V
71		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72		breq2 5123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
73	71, 72	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74		csbeq1a 3888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → 𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
75	74	breq2d 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
76	73, 75	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
77	69, 70, 76, 30	vtoclf 3543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
78	77	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
79	65, 78	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
80	58	breq2d 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ↔ 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
81	79, 80	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
82	34	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	82	le0neg1d 11808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
84	19	le0neg1d 11808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
85	81, 83, 84	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0))
86	85	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0)
87	64, 86	absnidd 15432	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
88	59, 63, 87	3eqtr4rd 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
89		0re 11237	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
90		letric 11335	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
91	89, 34, 90	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
92	91	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
93	39, 88, 92	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
94	8, 93	vtoclg 3533	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴))
95	94	anabsi7 671	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)
96		nfcvd 2899	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → Ⅎ𝑥𝐸)
97		oddcomabszz.6	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝐸)
98	96, 97	csbiegf 3907	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → ⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐸)
99	98	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘𝐸))
100	99	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘𝐸))
101		fvex 6889	. . . 4 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ V
102		oddcomabszz.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103	101, 102	csbie 3909	. . 3 ⊢ ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴 = 𝐹
104	103	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴 = 𝐹)
105	95, 100, 104	3eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⦋csb 3874   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  ℝcr 11128  0cc0 11129   ≤ cle 11270  -cneg 11467  ℤcz 12588  abscabs 15253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255

This theorem is referenced by:  rmyabs  42982