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Theorem oddcomabszz 41985
Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oddcomabszz.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
oddcomabszz ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2819 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
21anbi2d 627 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝐷 ∈ ℤ)))
3 csbeq1 3895 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝐷 / 𝑥𝐴)
43fveq2d 6894 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴))
5 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
65csbeq1d 3896 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷(abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
74, 6eqeq12d 2746 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 ↔ (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
82, 7imbi12d 343 . . . 4 (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴) ↔ ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)))
9 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ)
10 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴
1110nfel1 2917 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
129, 11nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
13 eleq1 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
1413anbi2d 627 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
15 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
1615eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)))
18 oddcomabszz.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvarfv 2231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
21 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 𝑥0
23 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 𝑥
2422, 23, 10nfbr 5194 . . . . . . . . . 10 𝑥0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴
2521, 24nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
26 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
2713, 263anbi23d 1437 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
2815breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴))
2927, 28imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)))
30 oddcomabszz.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
3125, 29, 30chvarfv 2231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
32313expa 1116 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
3320, 32absidd 15373 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = 𝑎 / 𝑥𝐴)
34 zre 12566 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
3534ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 absid 15247 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3735, 36sylancom 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3837csbeq1d 3896 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
3933, 38eqtr4d 2773 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
40 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
41 eleq1 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
4241anbi2d 627 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
43 negex 11462 . . . . . . . . . . . 12 -𝑦 ∈ V
44 oddcomabszz.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
4543, 44csbie 3928 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶
46 negeq 11456 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
4746csbeq1d 3896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎-𝑦 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
4845, 47eqtr3id 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐶 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
49 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
50 oddcomabszz.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
5149, 50csbie 3928 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐵
52 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5351, 52eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5453negeqd 11458 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5548, 54eqeq12d 2746 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵-𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴))
5642, 55imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)))
57 oddcomabszz.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
5840, 56, 57chvarfv 2231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5958adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6034ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61 absnid 15249 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6260, 61sylancom 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6362csbeq1d 3896 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6419adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
65 znegcl 12601 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑎 / 𝑥𝐴
6822, 23, 67nfbr 5194 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴
6966, 68nfim 1897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
70 negex 11462 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑎 ∈ V
71 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
7371, 723anbi23d 1437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
7574breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7673, 75imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)))
7769, 70, 76, 30vtoclf 3550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
78773expia 1119 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7965, 78sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8058breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8179, 80sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8234adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382le0neg1d 11789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
8419le0neg1d 11789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8581, 83, 843imtr4d 293 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0))
8685imp 405 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0)
8764, 86absnidd 15364 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = -𝑎 / 𝑥𝐴)
8859, 63, 873eqtr4rd 2781 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
89 0re 11220 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
90 letric 11318 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9189, 34, 90sylancr 585 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9291adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9339, 88, 92mpjaodan 955 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
948, 93vtoclg 3541 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
9594anabsi7 667 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
96 nfcvd 2902 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝑥𝐸)
97 oddcomabszz.6 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
9896, 97csbiegf 3926 . . . 4 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 / 𝑥𝐴 = 𝐸)
9998fveq2d 6894 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
10099adantl 480 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
101 fvex 6903 . . . 4 (abs‘𝐷) ∈ V
102 oddcomabszz.7 . . . 4 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103101, 102csbie 3928 . . 3 (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹
104103a1i 11 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹)
10595, 100, 1043eqtr3d 2778 1 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  csb 3892   class class class wbr 5147  cfv 6542  cr 11111  0cc0 11112  cle 11253  -cneg 11449  cz 12562  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  rmyabs  41999
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