Theorem oddcomabszz 39885

Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddcomabszz.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5	⊢ (𝑥 = -𝑦 → 𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7	⊢ (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
oddcomabszz	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
2	1	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ)))
3		csbeq1 3831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴)
4	3	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴))
5		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
6	5	csbeq1d 3832	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)
7	4, 6	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 ↔ (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴))
8	2, 7	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)))
9		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)
10		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
11	10	nfel1 2971	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
12	9, 11	nfim 1897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
13		eleq1 2877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
14	13	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)))
15		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
16	15	eleq1d 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
17	14, 16	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)))
18		oddcomabszz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	12, 17, 18	chvarfv 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
21		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥0
23		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
24	22, 23, 10	nfbr 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
25	21, 24	nfim 1897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
26		breq2 5034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
27	13, 26	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
28	15	breq2d 5042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
29	27, 28	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
30		oddcomabszz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
31	25, 29, 30	chvarfv 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
32	31	3expa 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
33	20, 32	absidd 14774	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
34		zre 11973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36		absid 14648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
37	35, 36	sylancom 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
38	37	csbeq1d 3832	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
39	33, 38	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
40		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
41		eleq1 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
42	41	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)))
43		negex 10873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -𝑦 ∈ V
44		oddcomabszz.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → 𝐴 = 𝐶)
45	43, 44	csbie 3863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋-𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐶
46		negeq 10867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
47	46	csbeq1d 3832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋-𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
48	45, 47	syl5eqr 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → 𝐶 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
49		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
50		oddcomabszz.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
51	49, 50	csbie 3863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐵
52		csbeq1 3831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
53	51, 52	syl5eqr 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → 𝐵 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
54	53	negeqd 10869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
55	48, 54	eqeq12d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵 ↔ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
56	42, 55	imbi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
57		oddcomabszz.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
58	40, 56, 57	chvarfv 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
59	58	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
60	34	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61		absnid 14650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
62	60, 61	sylancom 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
63	62	csbeq1d 3832	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
64	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
65		znegcl 12005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴
68	22, 23, 67	nfbr 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴
69	66, 68	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
70		negex 10873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -𝑎 ∈ V
71		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
73	71, 72	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → 𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
75	74	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
76	73, 75	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
77	69, 70, 76, 30	vtoclf 3506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
78	77	3expia 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
79	65, 78	sylan2 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
80	58	breq2d 5042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ↔ 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
81	79, 80	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
82	34	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	82	le0neg1d 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
84	19	le0neg1d 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
85	81, 83, 84	3imtr4d 297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0))
86	85	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0)
87	64, 86	absnidd 14765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
88	59, 63, 87	3eqtr4rd 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
89		0re 10632	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
90		letric 10729	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
91	89, 34, 90	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
92	91	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
93	39, 88, 92	mpjaodan 956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
94	8, 93	vtoclg 3515	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴))
95	94	anabsi7 670	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)
96		nfcvd 2956	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → Ⅎ𝑥𝐸)
97		oddcomabszz.6	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝐸)
98	96, 97	csbiegf 3861	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → ⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐸)
99	98	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘𝐸))
100	99	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘𝐸))
101		fvex 6658	. . . 4 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ V
102		oddcomabszz.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103	101, 102	csbie 3863	. . 3 ⊢ ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴 = 𝐹
104	103	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴 = 𝐹)
105	95, 100, 104	3eqtr3d 2841	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3828   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℝcr 10525  0cc0 10526   ≤ cle 10665  -cneg 10860  ℤcz 11969  abscabs 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by:  rmyabs  39899