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Theorem oddcomabszz 39425
Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oddcomabszz.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
oddcomabszz ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2905 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
21anbi2d 628 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝐷 ∈ ℤ)))
3 csbeq1 3890 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝐷 / 𝑥𝐴)
43fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴))
5 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
65csbeq1d 3891 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷(abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
74, 6eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 ↔ (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
82, 7imbi12d 346 . . . 4 (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴) ↔ ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)))
9 nfv 1908 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ)
10 nfcsb1v 3911 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴
1110nfel1 2999 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
129, 11nfim 1890 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
13 eleq1 2905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
1413anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
15 csbeq1a 3901 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
1615eleq1d 2902 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)))
18 oddcomabszz.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvar 2409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
21 nfv 1908 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑥0
23 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑥
2422, 23, 10nfbr 5110 . . . . . . . . . 10 𝑥0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴
2521, 24nfim 1890 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
26 breq2 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
2713, 263anbi23d 1432 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
2815breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴))
2927, 28imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)))
30 oddcomabszz.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
3125, 29, 30chvar 2409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
32313expa 1112 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
3320, 32absidd 14777 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = 𝑎 / 𝑥𝐴)
34 zre 11979 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
3534ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 absid 14651 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3735, 36sylancom 588 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3837csbeq1d 3891 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
3933, 38eqtr4d 2864 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
40 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
41 eleq1 2905 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
4241anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
43 negex 10878 . . . . . . . . . . . 12 -𝑦 ∈ V
44 oddcomabszz.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
4543, 44csbie 3922 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶
46 negeq 10872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
4746csbeq1d 3891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎-𝑦 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
4845, 47syl5eqr 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐶 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
49 vex 3503 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
50 oddcomabszz.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
5149, 50csbie 3922 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐵
52 csbeq1 3890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5351, 52syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5453negeqd 10874 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5548, 54eqeq12d 2842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵-𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴))
5642, 55imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)))
57 oddcomabszz.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
5840, 56, 57chvar 2409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5958adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6034ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61 absnid 14653 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6260, 61sylancom 588 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6362csbeq1d 3891 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6419adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
65 znegcl 12011 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67 nfcsb1v 3911 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑎 / 𝑥𝐴
6822, 23, 67nfbr 5110 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴
6966, 68nfim 1890 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
70 negex 10878 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑎 ∈ V
71 eleq1 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
7371, 723anbi23d 1432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74 csbeq1a 3901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
7574breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7673, 75imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)))
7769, 70, 76, 30vtoclf 3564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
78773expia 1115 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7965, 78sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8058breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8179, 80sylibd 240 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8234adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382le0neg1d 11205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
8419le0neg1d 11205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8581, 83, 843imtr4d 295 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0))
8685imp 407 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0)
8764, 86absnidd 14768 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = -𝑎 / 𝑥𝐴)
8859, 63, 873eqtr4rd 2872 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
89 0re 10637 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
90 letric 10734 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9189, 34, 90sylancr 587 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9291adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9339, 88, 92mpjaodan 954 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
948, 93vtoclg 3573 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
9594anabsi7 667 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
96 nfcvd 2983 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝑥𝐸)
97 oddcomabszz.6 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
9896, 97csbiegf 3920 . . . 4 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 / 𝑥𝐴 = 𝐸)
9998fveq2d 6673 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
10099adantl 482 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
101 fvex 6682 . . . 4 (abs‘𝐷) ∈ V
102 oddcomabszz.7 . . . 4 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103101, 102csbie 3922 . . 3 (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹
104103a1i 11 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹)
10595, 100, 1043eqtr3d 2869 1 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  csb 3887   class class class wbr 5063  cfv 6354  cr 10530  0cc0 10531  cle 10670  -cneg 10865  cz 11975  abscabs 14588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590
This theorem is referenced by:  rmyabs  39439
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