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Theorem oddcomabszz 41311
Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oddcomabszz.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
oddcomabszz ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝐷 ∈ ℤ)))
3 csbeq1 3859 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝐷 / 𝑥𝐴)
43fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴))
5 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
65csbeq1d 3860 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷(abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
74, 6eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 ↔ (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
82, 7imbi12d 345 . . . 4 (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴) ↔ ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)))
9 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ)
10 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴
1110nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
129, 11nfim 1900 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
13 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
15 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
1615eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)))
18 oddcomabszz.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
21 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑥0
23 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑥
2422, 23, 10nfbr 5153 . . . . . . . . . 10 𝑥0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴
2521, 24nfim 1900 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
26 breq2 5110 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
2713, 263anbi23d 1440 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
2815breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴))
2927, 28imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)))
30 oddcomabszz.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
3125, 29, 30chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
32313expa 1119 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
3320, 32absidd 15313 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = 𝑎 / 𝑥𝐴)
34 zre 12508 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
3534ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 absid 15187 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3735, 36sylancom 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3837csbeq1d 3860 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
3933, 38eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
40 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
41 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
4241anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
43 negex 11404 . . . . . . . . . . . 12 -𝑦 ∈ V
44 oddcomabszz.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
4543, 44csbie 3892 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶
46 negeq 11398 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
4746csbeq1d 3860 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎-𝑦 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
4845, 47eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐶 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
49 vex 3448 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
50 oddcomabszz.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
5149, 50csbie 3892 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐵
52 csbeq1 3859 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5351, 52eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5453negeqd 11400 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5548, 54eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵-𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴))
5642, 55imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)))
57 oddcomabszz.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
5840, 56, 57chvarfv 2234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5958adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6034ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61 absnid 15189 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6260, 61sylancom 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6362csbeq1d 3860 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6419adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
65 znegcl 12543 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑎 / 𝑥𝐴
6822, 23, 67nfbr 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴
6966, 68nfim 1900 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
70 negex 11404 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑎 ∈ V
71 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
7371, 723anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
7574breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7673, 75imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)))
7769, 70, 76, 30vtoclf 3515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
78773expia 1122 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7965, 78sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8058breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8179, 80sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8234adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382le0neg1d 11731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
8419le0neg1d 11731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8581, 83, 843imtr4d 294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0))
8685imp 408 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0)
8764, 86absnidd 15304 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = -𝑎 / 𝑥𝐴)
8859, 63, 873eqtr4rd 2784 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
89 0re 11162 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
90 letric 11260 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9189, 34, 90sylancr 588 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9291adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9339, 88, 92mpjaodan 958 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
948, 93vtoclg 3524 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
9594anabsi7 670 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
96 nfcvd 2905 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝑥𝐸)
97 oddcomabszz.6 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
9896, 97csbiegf 3890 . . . 4 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 / 𝑥𝐴 = 𝐸)
9998fveq2d 6847 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
10099adantl 483 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
101 fvex 6856 . . . 4 (abs‘𝐷) ∈ V
102 oddcomabszz.7 . . . 4 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103101, 102csbie 3892 . . 3 (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹
104103a1i 11 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹)
10595, 100, 1043eqtr3d 2781 1 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  csb 3856   class class class wbr 5106  cfv 6497  cr 11055  0cc0 11056  cle 11195  -cneg 11391  cz 12504  abscabs 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  rmyabs  41325
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