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Theorem oddcomabszz 40286
 Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oddcomabszz.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
oddcomabszz ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2839 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
21anbi2d 631 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝐷 ∈ ℤ)))
3 csbeq1 3810 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝐷 / 𝑥𝐴)
43fveq2d 6666 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴))
5 fveq2 6662 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
65csbeq1d 3811 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷(abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
74, 6eqeq12d 2774 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 ↔ (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
82, 7imbi12d 348 . . . 4 (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴) ↔ ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)))
9 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ)
10 nfcsb1v 3831 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴
1110nfel1 2935 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
129, 11nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
13 eleq1 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
1413anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
15 csbeq1a 3821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
1615eleq1d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)))
18 oddcomabszz.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvarfv 2240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
21 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22 nfcv 2919 . . . . . . . . . . 11 𝑥0
23 nfcv 2919 . . . . . . . . . . 11 𝑥
2422, 23, 10nfbr 5082 . . . . . . . . . 10 𝑥0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴
2521, 24nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
26 breq2 5039 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
2713, 263anbi23d 1436 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
2815breq2d 5047 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴))
2927, 28imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)))
30 oddcomabszz.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
3125, 29, 30chvarfv 2240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
32313expa 1115 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
3320, 32absidd 14835 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = 𝑎 / 𝑥𝐴)
34 zre 12029 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
3534ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 absid 14709 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3735, 36sylancom 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3837csbeq1d 3811 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
3933, 38eqtr4d 2796 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
40 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
41 eleq1 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
4241anbi2d 631 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
43 negex 10927 . . . . . . . . . . . 12 -𝑦 ∈ V
44 oddcomabszz.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
4543, 44csbie 3842 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶
46 negeq 10921 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
4746csbeq1d 3811 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎-𝑦 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
4845, 47syl5eqr 2807 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐶 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
49 vex 3413 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
50 oddcomabszz.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
5149, 50csbie 3842 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐵
52 csbeq1 3810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5351, 52syl5eqr 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5453negeqd 10923 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5548, 54eqeq12d 2774 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵-𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴))
5642, 55imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)))
57 oddcomabszz.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
5840, 56, 57chvarfv 2240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5958adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6034ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61 absnid 14711 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6260, 61sylancom 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6362csbeq1d 3811 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6419adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
65 znegcl 12061 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67 nfcsb1v 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑎 / 𝑥𝐴
6822, 23, 67nfbr 5082 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴
6966, 68nfim 1897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
70 negex 10927 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑎 ∈ V
71 eleq1 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72 breq2 5039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
7371, 723anbi23d 1436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74 csbeq1a 3821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
7574breq2d 5047 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7673, 75imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)))
7769, 70, 76, 30vtoclf 3478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
78773expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7965, 78sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8058breq2d 5047 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8179, 80sylibd 242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8234adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382le0neg1d 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
8419le0neg1d 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8581, 83, 843imtr4d 297 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0))
8685imp 410 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0)
8764, 86absnidd 14826 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = -𝑎 / 𝑥𝐴)
8859, 63, 873eqtr4rd 2804 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
89 0re 10686 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
90 letric 10783 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9189, 34, 90sylancr 590 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9291adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9339, 88, 92mpjaodan 956 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
948, 93vtoclg 3487 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
9594anabsi7 670 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
96 nfcvd 2920 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝑥𝐸)
97 oddcomabszz.6 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
9896, 97csbiegf 3840 . . . 4 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 / 𝑥𝐴 = 𝐸)
9998fveq2d 6666 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
10099adantl 485 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
101 fvex 6675 . . . 4 (abs‘𝐷) ∈ V
102 oddcomabszz.7 . . . 4 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103101, 102csbie 3842 . . 3 (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹
104103a1i 11 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹)
10595, 100, 1043eqtr3d 2801 1 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3807   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  ℝcr 10579  0cc0 10580   ≤ cle 10719  -cneg 10914  ℤcz 12025  abscabs 14646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648 This theorem is referenced by:  rmyabs  40300
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