MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsdsreval 20827
Description: The metric of the extended real number structure coincides with the real number metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem xrsdsreval
StepHypRef Expression
1 rexr 11197 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 11197 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrsds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
43xrsdsval 20826 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
51, 2, 4syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
6 rexsub 13144 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵𝐴))
76ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵𝐴))
87adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵𝐴))
9 abssuble0 15205 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐵𝐴))
1093expa 1118 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐵𝐴))
118, 10eqtr4d 2779 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (abs‘(𝐴𝐵)))
12 rexsub 13144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴𝐵))
1312adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴𝐵))
14 letric 11251 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
1514orcanai 1001 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
16 abssubge0 15204 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
17163com12 1123 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
18173expa 1118 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
1915, 18syldan 591 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
2013, 19eqtr4d 2779 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
2111, 20ifeqda 4520 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (abs‘(𝐴𝐵)))
225, 21eqtrd 2776 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4484   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  cr 11046  *cxr 11184  cle 11186  cmin 11381  -𝑒cxne 13022   +𝑒 cxad 13023  abscabs 15111  distcds 17134  *𝑠cxrs 17374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-fz 13417  df-seq 13899  df-exp 13960  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-struct 17011  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-xrs 17376
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  20829  metrtri  23694  xrsxmet  24156  xrsdsre  24157
  Copyright terms: Public domain W3C validator