Theorem xrsdsreval 21408

Description: The metric of the extended real number structure coincides with the real number metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem xrsdsreval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11310	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrsds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
4	3	xrsdsval 21407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
5	1, 2, 4	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
6		rexsub 13266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
7	6	ancoms 457	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
8	7	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
9		abssuble0 15333	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
10	9	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
11	8, 10	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
12		rexsub 13266	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
13	12	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
14		letric 11364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
15	14	orcanai 1000	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
16		abssubge0 15332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
17	16	3com12 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
18	17	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
19	15, 18	syldan 589	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	13, 19	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
21	11, 20	ifeqda 4569	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
22	5, 21	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4533   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  ℝ^*cxr 11297   ≤ cle 11299   − cmin 11494  -_𝑒cxne 13143   +_𝑒 cxad 13144  abscabs 15239  distcds 17275  ℝ^*_𝑠cxrs 17515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-xrs 17517

This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  21410  metrtri  24354  xrsxmet  24816  xrsdsre  24817