MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elz2 12607
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 12604 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2 nn0p1nn 12542 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
32adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4 1nn 12254 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6 recn 11229 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 ax-1cn 11197 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
9 pncan 11497 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1110eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12 rspceov 7467 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
133, 5, 11, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
144a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
156adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16 negsub 11539 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
178, 15, 16sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19 nnnn0addcl 12533 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
204, 18, 19sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
2117, 20eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22 nncan 11520 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
238, 15, 22sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
2423eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25 rspceov 7467 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2614, 21, 24, 25syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2713, 26jaodan 956 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
28 nnre 12250 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29 nnre 12250 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30 resubcl 11555 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3128, 29, 30syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
32 letric 11345 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
3329, 28, 32syl2anr 596 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
34 nnnn0 12510 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
35 nnnn0 12510 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
36 nn0sub 12553 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
3734, 35, 36syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
38 nn0sub 12553 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
3935, 34, 38syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
40 nncn 12251 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
41 nncn 12251 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
42 negsubdi2 11550 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4340, 41, 42syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4443eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
4539, 44bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
4637, 45orbi12d 917 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑥𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
4733, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
4831, 47jca 511 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
49 eleq1 2817 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
50 eleq1 2817 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
51 negeq 11483 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥𝑦) → -𝑁 = -(𝑥𝑦))
5251eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
5350, 52orbi12d 917 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
5449, 53anbi12d 631 . . . . 5 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))))
5548, 54syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
5655rexlimivv 3196 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5727, 56impbii 208 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
581, 57bitri 275 1 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3067   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  1c1 11140   + caddc 11142  cle 11280  cmin 11475  -cneg 11476  cn 12243  0cn0 12503  cz 12589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590
This theorem is referenced by:  dfz2  12608  zaddcl  12633
  Copyright terms: Public domain W3C validator