Theorem elz2 12608

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12605	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		nn0p1nn 12542	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	2	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4		1nn 12243	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6		recn 11189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11157	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		pncan 11462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	10	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12		rspceov 7460	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
14	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
15	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negsub 11505	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
17	8, 15, 16	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19		nnnn0addcl 12533	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
20	4, 18, 19	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
21	17, 20	eqeltrrd 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22		nncan 11486	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
23	8, 15, 22	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
24	23	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25		rspceov 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
27	13, 26	jaodan 972	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
28		nnre 12239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29		nnre 12239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30		resubcl 11521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
31	28, 29, 30	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
32		letric 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
33	29, 28, 32	syl2anr 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
34		nnnn0 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
35		nnnn0 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
36		nn0sub 12553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
37	34, 35, 36	syl2anr 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
38		nn0sub 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
39	35, 34, 38	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
40		nncn 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
41		nncn 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
42		negsubdi2 11516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
43	40, 41, 42	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
44	43	eleq1d 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
45	39, 44	bitr4d 285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
46	37, 45	orbi12d 931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
47	33, 46	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
48	31, 47	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
49		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
50		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
51		negeq 11448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → -𝑁 = -(𝑥 − 𝑦))
52	51	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
53	50, 52	orbi12d 931	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
54	49, 53	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))))
55	48, 54	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
56	55	rexlimivv 3213	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
57	27, 56	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
58	1, 57	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102   ≤ cle 11243   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591

This theorem is referenced by:  dfz2  12609  zaddcl  12633