MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elz2 11597
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 11595 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2 nn0p1nn 11535 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
32adantl 467 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4 1nn 11234 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6 recn 10229 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 ax-1cn 10197 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
9 pncan 10490 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
107, 8, 9sylancl 568 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1110eqcomd 2777 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12 rspceov 6838 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
133, 5, 11, 12syl3anc 1476 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
144a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
156adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16 negsub 10532 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
178, 15, 16sylancr 569 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19 nnnn0addcl 11526 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
204, 18, 19sylancr 569 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
2117, 20eqeltrrd 2851 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22 nncan 10513 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
238, 15, 22sylancr 569 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
2423eqcomd 2777 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25 rspceov 6838 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2614, 21, 24, 25syl3anc 1476 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2713, 26jaodan 932 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
28 nnre 11230 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29 nnre 11230 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30 resubcl 10548 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3128, 29, 30syl2an 577 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
32 letric 10340 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
3329, 28, 32syl2anr 578 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
34 nnnn0 11502 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
35 nnnn0 11502 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
36 nn0sub 11546 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
3734, 35, 36syl2anr 578 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
38 nn0sub 11546 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
3935, 34, 38syl2an 577 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
40 nncn 11231 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
41 nncn 11231 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
42 negsubdi2 10543 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4340, 41, 42syl2an 577 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4443eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
4539, 44bitr4d 271 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
4637, 45orbi12d 896 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑥𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
4733, 46mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
4831, 47jca 497 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
49 eleq1 2838 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
50 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
51 negeq 10476 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥𝑦) → -𝑁 = -(𝑥𝑦))
5251eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
5350, 52orbi12d 896 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
5449, 53anbi12d 610 . . . . 5 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))))
5548, 54syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
5655rexlimivv 3184 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5727, 56impbii 199 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
581, 57bitri 264 1 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  wo 828   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  1c1 10140   + caddc 10142  cle 10278  cmin 10469  -cneg 10470  cn 11223  0cn0 11495  cz 11580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-n0 11496  df-z 11581
This theorem is referenced by:  dfz2  11598  zaddcl  11620
  Copyright terms: Public domain W3C validator