Theorem elz2 12613

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12610	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2		nn0p1nn 12547	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4		1nn 12258	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6		recn 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		ax-1cn 11194	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		pncan 11495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
11	10	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12		rspceov 7461	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
14	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
15	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negsub 11538	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
17	8, 15, 16	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19		nnnn0addcl 12538	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
20	4, 18, 19	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
21	17, 20	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22		nncan 11519	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
23	8, 15, 22	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
24	23	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25		rspceov 7461	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
27	13, 26	jaodan 959	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
28		nnre 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29		nnre 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30		resubcl 11554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
31	28, 29, 30	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
32		letric 11342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
33	29, 28, 32	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦))
34		nnnn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
35		nnnn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
36		nn0sub 12558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
37	34, 35, 36	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
38		nn0sub 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
39	35, 34, 38	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
40		nncn 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
41		nncn 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
42		negsubdi2 11549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
43	40, 41, 42	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑥))
44	43	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ0))
45	39, 44	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
46	37, 45	orbi12d 918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
47	33, 46	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
48	31, 47	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
49		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
50		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
51		negeq 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → -𝑁 = -(𝑥 − 𝑦))
52	51	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))
53	50, 52	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)))
54	49, 53	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0))))
55	48, 54	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
56	55	rexlimivv 3188	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
57	27, 56	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))
58	1, 57	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥 − 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   class class class wbr 5123  (class class class)co 7412  ℂcc 11134  ℝcr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   ≤ cle 11277   − cmin 11473  -cneg 11474  ℕcn 12247  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-n0 12509  df-z 12596

This theorem is referenced by:  dfz2  12614  zaddcl  12639