Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37829 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
4 | | cdlemc1.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | cdlemc1.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37754 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | simp2 1138 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
9 | | cdlemc1.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | 4, 9 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
11 | 2, 7, 8, 10 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) β π΅) |
12 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π») |
13 | | cdlemc1.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | 4, 13 | lhpbase 38464 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β π΅) |
15 | 12, 14 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
16 | | cdlemc1.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | 4, 16 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β¨ π) β§ π) β π΅) |
18 | 2, 11, 15, 17 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΅) |
19 | 4, 9 | latjcom 18337 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ ((π β¨ π) β§ π) β π΅) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π)) |
20 | 2, 7, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π)) |
21 | | cdlemc1.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
22 | 4, 21, 9 | latlej1 18338 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
23 | 2, 7, 8, 22 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
24 | 4, 21, 9, 16, 5 | atmod2i1 38327 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ (π β¨ π)) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
25 | 1, 3, 11, 15, 23, 24 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
26 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
27 | 21, 9, 26, 5, 13 | lhpjat1 38486 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
28 | 27 | 3adant2 1132 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
29 | 28 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ))) |
30 | | hlol 37826 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
31 | 1, 30 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β OL) |
32 | 4, 16, 26 | olm11 37692 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π) β π΅) β ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π)) |
33 | 31, 11, 32 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π)) |
34 | 29, 33 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = (π β¨ π)) |
35 | 20, 25, 34 | 3eqtrd 2781 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = (π β¨ π)) |