Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20j Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme20j 39847
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114. 𝐷, 𝐹, π‘Œ, 𝐺 represent s2, f(s), t2, f(t). We show s2 β‰  t2. (Contributed by NM, 18-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme19.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme19.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme19.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme19.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme19.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme19.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme19.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
cdleme19.d 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
cdleme19.y π‘Œ = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
cdleme20.v 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme20j ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐷 β‰  π‘Œ)

Proof of Theorem cdleme20j
StepHypRef Expression
1 simp33 1208 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
2 simp11l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simp22l 1289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
4 simp21l 1287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 cdleme19.j . . . . . . . . . . . 12 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdleme19.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
85, 6, 7hlatjcl 38895 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
92, 4, 3, 8syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp11r 1282 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
11 cdleme19.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
125, 11lhpbase 39527 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 cdleme19.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1514, 6, 7hlatlej2 38904 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆))
162, 4, 3, 15syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆))
17 cdleme19.m . . . . . . . . . . 11 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
185, 14, 6, 17, 7atmod2i1 39390 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆)) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (π‘Š ∨ 𝑆)))
192, 3, 9, 13, 16, 18syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (π‘Š ∨ 𝑆)))
20 simp22 1204 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
21 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
2214, 6, 21, 7, 11lhpjat1 39549 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑆) = (1.β€˜πΎ))
232, 10, 20, 22syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (π‘Š ∨ 𝑆) = (1.β€˜πΎ))
2423oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (π‘Š ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (1.β€˜πΎ)))
25 hlol 38889 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
262, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
275, 17, 21olm11 38755 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑅 ∨ 𝑆))
2826, 9, 27syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑅 ∨ 𝑆))
2919, 24, 283eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
3029adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
31 cdleme19.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
32 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
33 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))
34 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
35 simp31 1206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇))
36 simp321 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
37 simp322 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3836, 37jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
39 simp323 1322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
40 cdleme19.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
41 cdleme19.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
42 cdleme19.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
43 cdleme19.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘Œ = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
44 cdleme20.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
4514, 6, 17, 7, 11, 40, 41, 42, 31, 43, 44cdleme20d 39841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ (𝐷 ∨ π‘Œ)) = 𝑉)
4632, 20, 33, 34, 35, 38, 39, 45syl133anc 1390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ (𝐷 ∨ π‘Œ)) = 𝑉)
472hllatd 38892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
48 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
49 simp13l 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5014, 6, 17, 7, 11, 40, 41, 5cdleme1b 39755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
512, 10, 48, 49, 3, 50syl23anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simp23l 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
5314, 6, 17, 7, 11, 40, 42, 5cdleme1b 39755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
542, 10, 48, 49, 52, 53syl23anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
555, 6latjcl 18430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5647, 51, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
57 simp22r 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)
5814, 6, 17, 7, 11, 31cdlemeda 39827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐷 ∈ 𝐴)
592, 10, 3, 57, 4, 39, 36, 58syl223anc 1393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐷 ∈ 𝐴)
60 simp23r 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)
6114, 6, 17, 7, 11, 43cdlemeda 39827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
622, 10, 52, 60, 4, 39, 37, 61syl223anc 1393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
635, 6, 7hlatjcl 38895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝐷 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
642, 59, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐷 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
655, 14, 17latmle2 18456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐷 ∨ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ (𝐷 ∨ π‘Œ)) ≀ (𝐷 ∨ π‘Œ))
6647, 56, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ∧ (𝐷 ∨ π‘Œ)) ≀ (𝐷 ∨ π‘Œ))
6746, 66eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑉 ≀ (𝐷 ∨ π‘Œ))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ 𝑉 ≀ (𝐷 ∨ π‘Œ))
696, 7hlatjidm 38897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ (𝐷 ∨ 𝐷) = 𝐷)
702, 59, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐷 ∨ 𝐷) = 𝐷)
71 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 = π‘Œ β†’ (𝐷 ∨ 𝐷) = (𝐷 ∨ π‘Œ))
7270, 71sylan9req 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ 𝐷 = (𝐷 ∨ π‘Œ))
7368, 72breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ 𝑉 ≀ 𝐷)
74 hlatl 38888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
752, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
76 simp31r 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
7714, 6, 17, 7, 11, 44lhpat2 39574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
782, 10, 3, 57, 52, 76, 77syl222anc 1383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
7914, 7atcmp 38839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ≀ 𝐷 ↔ 𝑉 = 𝐷))
8075, 78, 59, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑉 ≀ 𝐷 ↔ 𝑉 = 𝐷))
8180adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ (𝑉 ≀ 𝐷 ↔ 𝑉 = 𝐷))
8273, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ 𝑉 = 𝐷)
8382, 44eqtr3di 2780 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ 𝐷 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
8431, 83eqtr3id 2779 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
855, 6, 7hlatjcl 38895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
862, 3, 52, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
875, 14, 17latmle1 18455 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
8847, 86, 13, 87syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
8988adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
9084, 89eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
9114, 6, 7hlatlej1 38903 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
922, 3, 52, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
9392adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
945, 17latmcl 18431 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9547, 9, 13, 94syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
965, 7atbase 38817 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
973, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
985, 14, 6latjle12 18441 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
9947, 95, 97, 86, 98syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
10099adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ ((((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
10190, 93, 100mpbi2and 710 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
10230, 101eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
1035, 7atbase 38817 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1044, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1055, 14, 6latjle12 18441 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
10647, 104, 97, 86, 105syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
107106adantr 479 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
108102, 107mpbird 256 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ (𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
109108simpld 493 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝐷 = π‘Œ) β†’ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
110109ex 411 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐷 = π‘Œ β†’ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
111110necon3bd 2944 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ 𝐷 β‰  π‘Œ))
1121, 111mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐷 β‰  π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  1.cp1 18415  Latclat 18422  OLcol 38702  Atomscatm 38791  AtLatcal 38792  HLchlt 38878  LHypclh 39513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517
This theorem is referenced by:  cdleme20l2  39850
  Copyright terms: Public domain W3C validator