Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | | trljat.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | trljat.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | | trljat.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
5 | | trljat.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
6 | 2, 3, 4, 5 | ltrnat 38606 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
7 | 6 | 3adant3r 1182 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β π΄) |
8 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
9 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
10 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
11 | 10, 3 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
12 | 9, 11 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
13 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | | simp2 1138 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β π) |
15 | 10, 4, 5 | ltrncl 38591 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
16 | 13, 14, 12, 15 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
17 | | trljat.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
18 | 10, 17 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
19 | 8, 12, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) |
20 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π») |
21 | 10, 4 | lhpbase 38464 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 10, 2, 17 | latlej2 18339 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
24 | 8, 12, 16, 23 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
25 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
26 | 10, 2, 17, 25, 3 | atmod2i1 38327 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (πΉβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π) β¨ (πΉβπ)) = ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)(π β¨ (πΉβπ)))) |
27 | 1, 7, 19, 22, 24, 26 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π) β¨ (πΉβπ)) = ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)(π β¨ (πΉβπ)))) |
28 | 2, 3, 4, 5 | ltrnel 38605 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
29 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
30 | 2, 17, 29, 3, 4 | lhpjat1 38486 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) β (π β¨ (πΉβπ)) = (1.βπΎ)) |
31 | 1, 20, 28, 30 | syl21anc 837 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (πΉβπ)) = (1.βπΎ)) |
32 | 31 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)(π β¨ (πΉβπ))) = ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)(1.βπΎ))) |
33 | | hlol 37826 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
34 | 1, 33 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β OL) |
35 | 10, 25, 29 | olm11 37692 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ (πΉβπ)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)(1.βπΎ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
36 | 34, 19, 35 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)(1.βπΎ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
37 | 27, 32, 36 | 3eqtrrd 2782 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (πΉβπ)) = (((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π) β¨ (πΉβπ))) |
38 | | trljat.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
39 | 2, 17, 25, 3, 4, 5,
38 | trlval2 38629 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΉ) = ((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π)) |
40 | 39 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π
βπΉ) β¨ (πΉβπ)) = (((π β¨ (πΉβπ))(meetβπΎ)π) β¨ (πΉβπ))) |
41 | 10, 4, 5, 38 | trlcl 38630 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
42 | 13, 14, 41 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
43 | 10, 17 | latjcom 18337 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
βπΉ) β (BaseβπΎ) β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) β ((π
βπΉ) β¨ (πΉβπ)) = ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ))) |
44 | 8, 42, 16, 43 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π
βπΉ) β¨ (πΉβπ)) = ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ))) |
45 | 37, 40, 44 | 3eqtr2rd 2784 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |