Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme19.d |
. . 3
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
2 | | cdleme19.y |
. . 3
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
3 | 1, 2 | oveq12i 7370 |
. 2
β’ (π· β¨ π) = (((π
β¨ π) β§ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) |
4 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
5 | | simp21l 1291 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
6 | | simp22l 1293 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
7 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
8 | | cdleme19.j |
. . . . . . . . . 10
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdleme19.a |
. . . . . . . . . 10
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | 7, 8, 9 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | 4, 5, 6, 10 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
12 | | simp1r 1199 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
13 | | cdleme19.h |
. . . . . . . . . 10
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | 7, 13 | lhpbase 38507 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 12, 14 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | | cdleme19.l |
. . . . . . . . . 10
β’ β€ =
(leβπΎ) |
17 | 16, 8, 9 | hlatlej1 37883 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β π
β€ (π
β¨ π)) |
18 | 4, 5, 6, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π
β¨ π)) |
19 | | cdleme19.m |
. . . . . . . . 9
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
20 | 7, 16, 8, 19, 9 | atmod2i1 38370 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π
β€ (π
β¨ π)) β (((π
β¨ π) β§ π) β¨ π
) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π
))) |
21 | 4, 5, 11, 15, 18, 20 | syl131anc 1384 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π
β¨ π) β§ π) β¨ π
) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π
))) |
22 | | simp21 1207 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
23 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
24 | 16, 8, 23, 9, 13 | lhpjat1 38529 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β (π β¨ π
) = (1.βπΎ)) |
25 | 4, 12, 22, 24 | syl21anc 837 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π
) = (1.βπΎ)) |
26 | 25 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π
)) = ((π
β¨ π) β§ (1.βπΎ))) |
27 | | hlol 37869 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
28 | 4, 27 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β OL) |
29 | 7, 19, 23 | olm11 37735 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β OL β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π
β¨ π)) |
30 | 28, 11, 29 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (1.βπΎ)) = (π
β¨ π)) |
31 | 21, 26, 30 | 3eqtrrd 2778 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) = (((π
β¨ π) β§ π) β¨ π
)) |
32 | 31 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β¨ π) = ((((π
β¨ π) β§ π) β¨ π
) β¨ π)) |
33 | | simp22r 1294 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
34 | | simp3r 1203 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
35 | | simp3l 1202 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
36 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’ ((π
β¨ π) β§ π) = ((π
β¨ π) β§ π) |
37 | 16, 8, 19, 9, 13, 36 | cdlemeda 38807 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) β π΄) |
38 | 4, 12, 6, 33, 5, 34, 35, 37 | syl223anc 1397 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) β π΄) |
39 | | simp23 1209 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
40 | 8, 9 | hlatjass 37878 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (((π
β¨ π) β§ π) β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π
β¨ π) β§ π) β¨ π
) β¨ π) = (((π
β¨ π) β§ π) β¨ (π
β¨ π))) |
41 | 4, 38, 5, 39, 40 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((((π
β¨ π) β§ π) β¨ π
) β¨ π) = (((π
β¨ π) β§ π) β¨ (π
β¨ π))) |
42 | 32, 41 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β¨ π) = (((π
β¨ π) β§ π) β¨ (π
β¨ π))) |
43 | 42 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π
β¨ π) β¨ π) β§ π) = ((((π
β¨ π) β§ π) β¨ (π
β¨ π)) β§ π)) |
44 | 7, 8, 9 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
45 | 4, 5, 39, 44 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
46 | 4 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
47 | 7, 16, 19 | latmle2 18359 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ π) β€ π) |
48 | 46, 11, 15, 47 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) β€ π) |
49 | 7, 16, 8, 19, 9 | atmod1i1 38366 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (((π
β¨ π) β§ π) β π΄ β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ ((π
β¨ π) β§ π) β€ π) β (((π
β¨ π) β§ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = ((((π
β¨ π) β§ π) β¨ (π
β¨ π)) β§ π)) |
50 | 4, 38, 45, 15, 48, 49 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π
β¨ π) β§ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) = ((((π
β¨ π) β§ π) β¨ (π
β¨ π)) β§ π)) |
51 | 43, 50 | eqtr4d 2776 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π
β¨ π) β¨ π) β§ π) = (((π
β¨ π) β§ π) β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
52 | 3, 51 | eqtr4id 2792 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π· β¨ π) = (((π
β¨ π) β¨ π) β§ π)) |