Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpjat2 37144
 Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unit. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l = (le‘𝐾)
lhpjat.j = (join‘𝐾)
lhpjat.u 1 = (1.‘𝐾)
lhpjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpjat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpjat2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 1 )

Proof of Theorem lhpjat2
StepHypRef Expression
1 hllat 36486 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21ad2antrr 724 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lhpjat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 36412 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
65ad2antrl 726 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7 lhpjat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
83, 7lhpbase 37121 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
98ad2antlr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
10 lhpjat.j . . . 4 = (join‘𝐾)
113, 10latjcom 17661 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑊) = (𝑊 𝑃))
122, 6, 9, 11syl3anc 1365 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (𝑊 𝑃))
13 lhpjat.l . . 3 = (le‘𝐾)
14 lhpjat.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
1513, 10, 14, 4, 7lhpjat1 37143 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑊 𝑃) = 1 )
1612, 15eqtrd 2854 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 1 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  1.cp1 17640  Latclat 17647  Atomscatm 36386  HLchlt 36473  LHypclh 37107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-lhyp 37111 This theorem is referenced by:  lhpmcvr3  37148  cdleme0cp  37337  cdleme0cq  37338  cdleme1  37350  cdleme4  37361  cdleme5  37363  cdleme8  37373  cdleme9  37376  cdleme10  37377  cdleme22e  37467  cdleme22eALTN  37468  cdleme35b  37573  cdleme35e  37576  cdleme42a  37594  trlcoabs2N  37845  cdlemi1  37941  cdlemk4  37957  dia2dimlem1  38187  cdlemn10  38329  dihglbcpreN  38423
 Copyright terms: Public domain W3C validator