MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcvg 23270
Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmcvg.3 (𝜑𝑃𝑈)
lmcvg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmcvg.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcvg.6 (𝜑𝑈𝐽)
Assertion
Ref Expression
lmcvg (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmcvg
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcvg.3 . 2 (𝜑𝑃𝑈)
2 eleq2 2830 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (𝑃𝑢𝑃𝑈))
3 eleq2 2830 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
43rexralbidv 3223 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
52, 4imbi12d 344 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑃𝑈 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)))
6 lmcvg.5 . . . . . 6 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
7 lmrcl 23239 . . . . . . . . 9 (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐽 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
9 toptopon2 22924 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
108, 9sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 lmcvg.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 lmcvg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1310, 11, 12lmbr2 23267 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
146, 13mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1514simp3d 1145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1716ralimi 3083 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1817reximi 3084 . . . . . 6 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1918imim2i 16 . . . . 5 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2019ralimi 3083 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2115, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
22 lmcvg.6 . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
235, 21, 22rspcdva 3623 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑈 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
241, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  cz 12613  cuz 12878  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  𝑡clm 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-top 22900  df-topon 22917  df-lm 23237
This theorem is referenced by:  lmmo  23388  1stccnp  23470  1stckgenlem  23561  iscmet3lem2  25326
  Copyright terms: Public domain W3C validator