Theorem lmcvg 23205

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmcvg.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑈)
lmcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcvg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcvg.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑈)
2		eleq2 2824	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ 𝑃 ∈ 𝑈))
3		eleq2 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
4	3	rexralbidv 3211	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
5	2, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑈 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)))
6		lmcvg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
7		lmrcl 23174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 → 𝐽 ∈ Top)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
9		toptopon2 22861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		lmcvg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12		lmcvg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	lmbr2 23202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
14	6, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
15	14	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
17	16	ralimi 3074	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
18	17	reximi 3075	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
19	18	imim2i 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
20	19	ralimi 3074	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
21	15, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
22		lmcvg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
23	5, 21, 22	rspcdva 3607	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑈 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_pm cpm 8846  ℂcc 11132  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  Topctop 22836  TopOnctopon 22853  ⇝_𝑡clm 23169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-top 22837  df-topon 22854  df-lm 23172

This theorem is referenced by:  lmmo  23323  1stccnp  23405  1stckgenlem  23496  iscmet3lem2  25249