Theorem lmcvg 23487

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmcvg.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑈)
lmcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmcvg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcvg.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑈)
2		eleq2 2849	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ 𝑃 ∈ 𝑈))
3		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
4	3	rexralbidv 3228	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
5	2, 4	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ 𝑈 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)))
6		lmcvg.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
7		lmrcl 23456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 → 𝐽 ∈ Top)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
9		toptopon2 23143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
10	8, 9	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		lmcvg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12		lmcvg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	lmbr2 23484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
14	6, 13	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
15	14	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
17	16	ralimi 3099	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
18	17	reximi 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)
19	18	imim2i 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
20	19	ralimi 3099	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
21	15, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
22		lmcvg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
23	5, 21, 22	rspcdva 3577	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑈 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈))
24	1, 23	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_pm cpm 8827  ℂcc 11122  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  Topctop 23118  TopOnctopon 23135  ⇝_𝑡clm 23451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-neg 11468  df-z 12616  df-uz 12888  df-top 23119  df-topon 23136  df-lm 23454

This theorem is used by:  lmmo  23605  1stccnp  23688  1stckgenlem  23779  iscmet3lem2  25520