MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcvg 22766
Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcvg.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmcvg.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
lmcvg.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmcvg.5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
lmcvg.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
lmcvg (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝐹   𝑗,𝐽,π‘˜   𝑃,𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜   π‘ˆ,𝑗,π‘˜   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem lmcvg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcvg.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
2 eleq2 2823 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ↔ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
3 eleq2 2823 . . . . 5 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ))
43rexralbidv 3221 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ))
52, 4imbi12d 345 . . 3 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ)))
6 lmcvg.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
7 lmrcl 22735 . . . . . . . . 9 (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 β†’ 𝐽 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 toptopon2 22420 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
108, 9sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
11 lmcvg.1 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
12 lmcvg.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1310, 11, 12lmbr2 22763 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝐽 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
146, 13mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝐽 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
1514simp3d 1145 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
1716ralimi 3084 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
1817reximi 3085 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
1918imim2i 16 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
2019ralimi 3084 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
2115, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
22 lmcvg.6 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
235, 21, 22rspcdva 3614 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ))
241, 23mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-top 22396  df-topon 22413  df-lm 22733
This theorem is referenced by:  lmmo  22884  1stccnp  22966  1stckgenlem  23057  iscmet3lem2  24809
  Copyright terms: Public domain W3C validator