MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmo 22754
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
lmmo.5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡)
Assertion
Ref Expression
lmmo (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 655 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)))
2 nnuz 12814 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐴 ∈ π‘₯)
4 1zzd 12542 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ 1 ∈ β„€)
5 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
65adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
7 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
82, 3, 4, 6, 7lmcvg 22636 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯)
98ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯))
10 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑦)
11 1zzd 12542 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 1 ∈ β„€)
12 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡)
14 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
152, 10, 11, 13, 14lmcvg 22636 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)
1615ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
179, 16anim12d 610 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)))
182rexanuz2 15243 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
19 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
20 uzid 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
21 ne0i 4298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ…)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ…)
23 r19.2z 4456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
24 elin 3930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
25 n0i 4297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2624, 25sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2726rexlimivw 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2922, 28sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
3029rexlimiva 3141 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
3118, 30sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
3217, 31syl6 35 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
331, 32biimtrid 241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3433expdimp 454 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
35 imnan 401 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ Β¬ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3634, 35sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ Β¬ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
37 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3836, 37sylnibr 329 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3938anassrs 469 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
4039nrexdv 3143 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
4140nrexdv 3143 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
42 lmmo.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
43 haustop 22705 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Top)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
45 toptopon2 22290 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
4644, 45sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
47 lmcl 22671 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
4846, 5, 47syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
49 lmcl 22671 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡) β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽)
5046, 12, 49syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽)
51 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5251hausnei 22702 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 β‰  𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
53523exp2 1355 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)))))
5442, 48, 50, 53syl3c 66 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)))
5554necon1bd 2958 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ 𝐴 = 𝐡))
5641, 55mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  1c1 11060  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  β‡π‘‘clm 22600  Hauscha 22682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-z 12508  df-uz 12772  df-top 22266  df-topon 22283  df-lm 22603  df-haus 22689
This theorem is referenced by:  lmfun  22755  occllem  30294  nlelchi  31052  hmopidmchi  31142  xlimuni  44184
  Copyright terms: Public domain W3C validator