MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmo 22883
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
lmmo.5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡)
Assertion
Ref Expression
lmmo (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 654 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)))
2 nnuz 12864 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐴 ∈ π‘₯)
4 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ 1 ∈ β„€)
5 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
65adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
7 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
82, 3, 4, 6, 7lmcvg 22765 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯)
98ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯))
10 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑦)
11 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 1 ∈ β„€)
12 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
152, 10, 11, 13, 14lmcvg 22765 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)
1615ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
179, 16anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)))
182rexanuz2 15295 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
19 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
20 uzid 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
21 ne0i 4334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ…)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ…)
23 r19.2z 4494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
24 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦))
25 n0i 4333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯ ∩ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2624, 25sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2726rexlimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
2922, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
3029rexlimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
3118, 30sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
3217, 31syl6 35 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
331, 32biimtrid 241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3433expdimp 453 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
35 imnan 400 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) β†’ Β¬ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ Β¬ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3634, 35sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ Β¬ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
37 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ ((𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3836, 37sylnibr 328 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
3938anassrs 468 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
4039nrexdv 3149 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
4140nrexdv 3149 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
42 lmmo.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
43 haustop 22834 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus β†’ 𝐽 ∈ Top)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
45 toptopon2 22419 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
4644, 45sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
47 lmcl 22800 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
4846, 5, 47syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
49 lmcl 22800 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐡) β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽)
5046, 12, 49syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽)
51 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5251hausnei 22831 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 β‰  𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
53523exp2 1354 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐡 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)))))
5442, 48, 50, 53syl3c 66 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)))
5554necon1bd 2958 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘₯ ∧ 𝐡 ∈ 𝑦 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ 𝐴 = 𝐡))
5641, 55mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  1c1 11110  β„•cn 12211  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  β‡π‘‘clm 22729  Hauscha 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-z 12558  df-uz 12822  df-top 22395  df-topon 22412  df-lm 22732  df-haus 22818
This theorem is referenced by:  lmfun  22884  occllem  30551  nlelchi  31309  hmopidmchi  31399  xlimuni  44559
  Copyright terms: Public domain W3C validator