Theorem lmmo 22531

Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmo.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
lmmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lmmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)))
2		nnuz 12621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		simprr 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
4		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5		lmmo.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
7		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
8	2, 3, 4, 6, 7	lmcvg 22413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥)
9	8	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥))
10		simprr 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ 𝑦)
11		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12		lmmo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
14		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
15	2, 10, 11, 13, 14	lmcvg 22413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)
16	15	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
17	9, 16	anim12d 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)))
18	2	rexanuz2 15061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
19		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20		uzid 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
21		ne0i 4268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
23		r19.2z 4425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
24		elin 3903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
25		n0i 4267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
26	24, 25	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
27	26	rexlimivw 3211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	22, 28	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30	29	rexlimiva 3210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
31	18, 30	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
32	17, 31	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
33	1, 32	syl5bi 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
34	33	expdimp 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
35		imnan 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
36	34, 35	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
37		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
38	36, 37	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
39	38	anassrs 468	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
40	39	nrexdv 3198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
41	40	nrexdv 3198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
42		lmmo.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
43		haustop 22482	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
45		toptopon2 22067	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
46	44, 45	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
47		lmcl 22448	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
48	46, 5, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
49		lmcl 22448	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
50	46, 12, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
51		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	51	hausnei 22479	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
53	52	3exp2 1353	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐵 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))))
54	42, 48, 50, 53	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))
55	54	necon1bd 2961	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
56	41, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  1c1 10872  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  ⇝_𝑡clm 22377  Hauscha 22459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320  df-uz 12583  df-top 22043  df-topon 22060  df-lm 22380  df-haus 22466

This theorem is referenced by:  lmfun  22532  occllem  29665  nlelchi  30423  hmopidmchi  30513  xlimuni  43394