Theorem lmmo 22884

Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmo.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
lmmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lmmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)))
2		nnuz 12865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
4		1zzd 12593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5		lmmo.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
6	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
7		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
8	2, 3, 4, 6, 7	lmcvg 22766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥)
9	8	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥))
10		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ 𝑦)
11		1zzd 12593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12		lmmo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
13	12	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
14		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
15	2, 10, 11, 13, 14	lmcvg 22766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)
16	15	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
17	9, 16	anim12d 610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)))
18	2	rexanuz2 15296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
19		nnz 12579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20		uzid 12837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
21		ne0i 4335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
23		r19.2z 4495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
24		elin 3965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
25		n0i 4334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
26	24, 25	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
27	26	rexlimivw 3152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	22, 28	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30	29	rexlimiva 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
31	18, 30	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
32	17, 31	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
33	1, 32	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
34	33	expdimp 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
35		imnan 401	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
36	34, 35	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
37		df-3an 1090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
38	36, 37	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
39	38	anassrs 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
40	39	nrexdv 3150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
41	40	nrexdv 3150	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
42		lmmo.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
43		haustop 22835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
45		toptopon2 22420	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
46	44, 45	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
47		lmcl 22801	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
48	46, 5, 47	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
49		lmcl 22801	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
50	46, 12, 49	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
51		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	51	hausnei 22832	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
53	52	3exp2 1355	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐵 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))))
54	42, 48, 50, 53	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))
55	54	necon1bd 2959	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
56	41, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  1c1 11111  ℕcn 12212  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  ⇝_𝑡clm 22730  Hauscha 22812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559  df-uz 12823  df-top 22396  df-topon 22413  df-lm 22733  df-haus 22819

This theorem is referenced by:  lmfun  22885  occllem  30556  nlelchi  31314  hmopidmchi  31404  xlimuni  44569