Theorem lmmo 23404

Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmo.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
lmmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lmmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)))
2		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
4		1zzd 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5		lmmo.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
7		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
8	2, 3, 4, 6, 7	lmcvg 23286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥)
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥))
10		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ 𝑦)
11		1zzd 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12		lmmo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
14		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
15	2, 10, 11, 13, 14	lmcvg 23286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
17	9, 16	anim12d 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)))
18	2	rexanuz2 15385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
19		nnz 12632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20		uzid 12891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
21		ne0i 4347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
23		r19.2z 4501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
24		elin 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
25		n0i 4346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
26	24, 25	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
27	26	rexlimivw 3149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	22, 28	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30	29	rexlimiva 3145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
31	18, 30	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
32	17, 31	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
33	1, 32	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
34	33	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
35		imnan 399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
36	34, 35	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
37		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
38	36, 37	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
39	38	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
40	39	nrexdv 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
41	40	nrexdv 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
42		lmmo.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
43		haustop 23355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
45		toptopon2 22940	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
46	44, 45	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
47		lmcl 23321	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
48	46, 5, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
49		lmcl 23321	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
50	46, 12, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
51		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	51	hausnei 23352	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
53	52	3exp2 1353	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐵 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))))
54	42, 48, 50, 53	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))
55	54	necon1bd 2956	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
56	41, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  1c1 11154  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  ⇝_𝑡clm 23250  Hauscha 23332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877  df-top 22916  df-topon 22933  df-lm 23253  df-haus 23339

This theorem is referenced by:  lmfun  23405  occllem  31332  nlelchi  32090  hmopidmchi  32180  xlimuni  45809