MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmo 23388
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
lmmo.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmmo (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 656 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐽𝑦𝐽) ∧ (𝐴𝑥𝐵𝑦)) ↔ ((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)))
2 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝐴𝑥)
4 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
7 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝑥𝐽)
82, 3, 4, 6, 7lmcvg 23270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥)
98ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐽𝐴𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
10 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝐵𝑦)
11 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
14 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝑦𝐽)
152, 10, 11, 13, 14lmcvg 23270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦)
1615ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝐵𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
179, 16anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦)))
182rexanuz2 15388 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
19 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20 uzid 12893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
21 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
23 r19.2z 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
24 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥𝑦) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
25 n0i 4340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2624, 25sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2726rexlimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2922, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3029rexlimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3118, 30sylbir 235 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3217, 31syl6 35 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
331, 32biimtrid 242 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝑦𝐽) ∧ (𝐴𝑥𝐵𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
3433expdimp 452 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐴𝑥𝐵𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
35 imnan 399 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥𝐵𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3634, 35sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ¬ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
37 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3836, 37sylnibr 329 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ¬ (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3938anassrs 467 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐽) ∧ 𝑦𝐽) → ¬ (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
4039nrexdv 3149 . . 3 ((𝜑𝑥𝐽) → ¬ ∃𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
4140nrexdv 3149 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
42 lmmo.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
43 haustop 23339 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
45 toptopon2 22924 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4644, 45sylib 218 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
47 lmcl 23305 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴) → 𝐴 𝐽)
4846, 5, 47syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐴 𝐽)
49 lmcl 23305 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵) → 𝐵 𝐽)
5046, 12, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐵 𝐽)
51 eqid 2737 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
5251hausnei 23336 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 𝐽𝐵 𝐽𝐴𝐵)) → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
53523exp2 1355 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 𝐽 → (𝐵 𝐽 → (𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅)))))
5442, 48, 50, 53syl3c 66 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅)))
5554necon1bd 2958 . 2 (𝜑 → (¬ ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
5641, 55mpd 15 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  c0 4333   cuni 4907   class class class wbr 5143  cfv 6561  1c1 11156  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  𝑡clm 23234  Hauscha 23316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-top 22900  df-topon 22917  df-lm 23237  df-haus 23323
This theorem is referenced by:  lmfun  23389  occllem  31322  nlelchi  32080  hmopidmchi  32170  xlimuni  45868
  Copyright terms: Public domain W3C validator