MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmo 21980
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
lmmo.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmmo (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 654 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐽𝑦𝐽) ∧ (𝐴𝑥𝐵𝑦)) ↔ ((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)))
2 nnuz 12273 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝐴𝑥)
4 1zzd 12005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
65adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
7 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝑥𝐽)
82, 3, 4, 6, 7lmcvg 21862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥)
98ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐽𝐴𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
10 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝐵𝑦)
11 1zzd 12005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
1312adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝑦𝐽)
152, 10, 11, 13, 14lmcvg 21862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦)
1615ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝐵𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
179, 16anim12d 610 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦)))
182rexanuz2 14701 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
19 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20 uzid 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
21 ne0i 4298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
23 r19.2z 4438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
24 elin 4167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥𝑦) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
25 n0i 4297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2624, 25sylbir 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2726rexlimivw 3280 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2922, 28sylan 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3029rexlimiva 3279 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3118, 30sylbir 237 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3217, 31syl6 35 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
331, 32syl5bi 244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝑦𝐽) ∧ (𝐴𝑥𝐵𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
3433expdimp 455 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐴𝑥𝐵𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
35 imnan 402 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥𝐵𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3634, 35sylib 220 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ¬ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
37 df-3an 1084 . . . . . 6 ((𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3836, 37sylnibr 331 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ¬ (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3938anassrs 470 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐽) ∧ 𝑦𝐽) → ¬ (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
4039nrexdv 3268 . . 3 ((𝜑𝑥𝐽) → ¬ ∃𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
4140nrexdv 3268 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
42 lmmo.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
43 haustop 21931 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
45 toptopon2 21518 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4644, 45sylib 220 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
47 lmcl 21897 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴) → 𝐴 𝐽)
4846, 5, 47syl2anc 586 . . . 4 (𝜑𝐴 𝐽)
49 lmcl 21897 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵) → 𝐵 𝐽)
5046, 12, 49syl2anc 586 . . . 4 (𝜑𝐵 𝐽)
51 eqid 2819 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
5251hausnei 21928 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 𝐽𝐵 𝐽𝐴𝐵)) → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
53523exp2 1349 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 𝐽 → (𝐵 𝐽 → (𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅)))))
5442, 48, 50, 53syl3c 66 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅)))
5554necon1bd 3032 . 2 (𝜑 → (¬ ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
5641, 55mpd 15 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  cin 3933  c0 4289   cuni 4830   class class class wbr 5057  cfv 6348  1c1 10530  cn 11630  cz 11973  cuz 12235  Topctop 21493  TopOnctopon 21510  𝑡clm 21826  Hauscha 21908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-z 11974  df-uz 12236  df-top 21494  df-topon 21511  df-lm 21829  df-haus 21915
This theorem is referenced by:  lmfun  21981  occllem  29072  nlelchi  29830  hmopidmchi  29920  xlimuni  42123
  Copyright terms: Public domain W3C validator