Theorem lmmo 23283

Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmo.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
lmmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lmmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)))
2		nnuz 12895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
4		1zzd 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5		lmmo.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
7		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
8	2, 3, 4, 6, 7	lmcvg 23165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥)
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥))
10		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ 𝑦)
11		1zzd 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12		lmmo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
14		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
15	2, 10, 11, 13, 14	lmcvg 23165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
17	9, 16	anim12d 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)))
18	2	rexanuz2 15328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
19		nnz 12609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20		uzid 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
21		ne0i 4335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
23		r19.2z 4495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
24		elin 3963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
25		n0i 4334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
26	24, 25	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
27	26	rexlimivw 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	22, 28	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30	29	rexlimiva 3144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
31	18, 30	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
32	17, 31	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
33	1, 32	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
34	33	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
35		imnan 399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
36	34, 35	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
37		df-3an 1087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
38	36, 37	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
39	38	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
40	39	nrexdv 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
41	40	nrexdv 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
42		lmmo.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
43		haustop 23234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
45		toptopon2 22819	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
46	44, 45	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
47		lmcl 23200	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
48	46, 5, 47	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
49		lmcl 23200	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
50	46, 12, 49	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
51		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	51	hausnei 23231	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
53	52	3exp2 1352	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐵 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))))
54	42, 48, 50, 53	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))
55	54	necon1bd 2955	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
56	41, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∩ cin 3946  ∅c0 4323  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  1c1 11139  ℕcn 12242  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  Topctop 22794  TopOnctopon 22811  ⇝_𝑡clm 23129  Hauscha 23211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-z 12589  df-uz 12853  df-top 22795  df-topon 22812  df-lm 23132  df-haus 23218

This theorem is referenced by:  lmfun  23284  occllem  31112  nlelchi  31870  hmopidmchi  31960  xlimuni  45241