Theorem lmmo 23324

Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmo.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
lmmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lmmo	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)))
2		nnuz 12790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
4		1zzd 12522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5		lmmo.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴)
7		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
8	2, 3, 4, 6, 7	lmcvg 23206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥)
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥))
10		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ 𝑦)
11		1zzd 12522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12		lmmo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵)
14		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
15	2, 10, 11, 13, 14	lmcvg 23206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
17	9, 16	anim12d 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)))
18	2	rexanuz2 15273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
19		nnz 12509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20		uzid 12766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
21		ne0i 4293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
23		r19.2z 4452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
24		elin 3917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦))
25		n0i 4292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
26	24, 25	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
27	26	rexlimivw 3133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
29	22, 28	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
30	29	rexlimiva 3129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
31	18, 30	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
32	17, 31	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
33	1, 32	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
34	33	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
35		imnan 399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
36	34, 35	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
37		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
38	36, 37	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
39	38	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ¬ (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
40	39	nrexdv 3131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
41	40	nrexdv 3131	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
42		lmmo.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
43		haustop 23275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
45		toptopon2 22862	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
46	44, 45	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
47		lmcl 23241	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐴) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
48	46, 5, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
49		lmcl 23241	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝐵) → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
50	46, 12, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ 𝐽)
51		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	51	hausnei 23272	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
53	52	3exp2 1355	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐵 ∈ ∪ 𝐽 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))))
54	42, 48, 50, 53	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)))
55	54	necon1bd 2950	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝑦 ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
56	41, 55	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  1c1 11027  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  Topctop 22837  TopOnctopon 22854  ⇝_𝑡clm 23170  Hauscha 23252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-z 12489  df-uz 12752  df-top 22838  df-topon 22855  df-lm 23173  df-haus 23259

This theorem is referenced by:  lmfun  23325  occllem  31378  nlelchi  32136  hmopidmchi  32226  xlimuni  46093