Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnjatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnjatN 39141
Description: Given an atom in a line, there is another atom which when joined equals the line. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnjat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lnjat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lnjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lnjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lnjat.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lnjat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lnjatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐡,π‘ž   𝐾,π‘ž   ≀ ,π‘ž   𝑀,π‘ž   𝑁,π‘ž   𝑃,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hint:   ∨ (π‘ž)

Proof of Theorem lnjatN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simprl 768 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
4 lnjat.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 lnjat.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 lnjat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 lnjat.n . . . 4 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
8 lnjat.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
94, 5, 6, 7, 8lnatexN 39140 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
11 simp3l 1198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ π‘ž β‰  𝑃)
12 simp1l1 1263 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simp1l2 1264 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 simp1rl 1235 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
15 simp1l3 1265 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
16 simp2 1134 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
1711necomd 2988 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ž)
18 simp1rr 1236 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
19 simp3r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ π‘ž ≀ 𝑋)
20 lnjat.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
214, 5, 20, 6, 7, 8lneq2at 39139 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  π‘ž) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž))
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21syl332anc 1398 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž))
2311, 22jca 511 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))
24233exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))))
2524reximdvai 3157 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž))))
2610, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18266  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  Linesclines 38855  pmapcpmap 38858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-lines 38862  df-pmap 38865
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator