Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnjatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnjatN 36908
Description: Given an atom in a line, there is another atom which when joined equals the line. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lnjat.l = (le‘𝐾)
lnjat.j = (join‘𝐾)
lnjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lnjat.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
lnjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lnjatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑀,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem lnjatN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1186 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1187 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐵)
3 simprl 769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑁)
4 lnjat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lnjat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 lnjat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 lnjat.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
8 lnjat.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
94, 5, 6, 7, 8lnatexN 36907 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑀𝑋) ∈ 𝑁) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞 𝑋))
101, 2, 3, 9syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞 𝑋))
11 simp3l 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑞𝑃)
12 simp1l1 1261 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp1l2 1262 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑋𝐵)
14 simp1rl 1233 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑁)
15 simp1l3 1263 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑃𝐴)
16 simp2 1132 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑞𝐴)
1711necomd 3069 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑃𝑞)
18 simp1rr 1234 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑃 𝑋)
19 simp3r 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑞 𝑋)
20 lnjat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
214, 5, 20, 6, 7, 8lneq2at 36906 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑀𝑋) ∈ 𝑁) ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑃𝑞) ∧ (𝑃 𝑋𝑞 𝑋)) → 𝑋 = (𝑃 𝑞))
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21syl332anc 1396 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑋 = (𝑃 𝑞))
2311, 22jca 514 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))
24233exp 1114 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → (𝑞𝐴 → ((𝑞𝑃𝑞 𝑋) → (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))))
2524reximdvai 3270 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞))))
2610, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  wrex 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36391  HLchlt 36478  Linesclines 36622  pmapcpmap 36625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-lines 36629  df-pmap 36632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator