Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnjatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnjatN 39427
Description: Given an atom in a line, there is another atom which when joined equals the line. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lnjat.l = (le‘𝐾)
lnjat.j = (join‘𝐾)
lnjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lnjat.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
lnjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lnjatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑀,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem lnjatN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐵)
3 simprl 769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑁)
4 lnjat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lnjat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 lnjat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 lnjat.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
8 lnjat.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
94, 5, 6, 7, 8lnatexN 39426 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑀𝑋) ∈ 𝑁) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞 𝑋))
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞 𝑋))
11 simp3l 1198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑞𝑃)
12 simp1l1 1263 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp1l2 1264 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑋𝐵)
14 simp1rl 1235 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑁)
15 simp1l3 1265 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑃𝐴)
16 simp2 1134 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑞𝐴)
1711necomd 2985 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑃𝑞)
18 simp1rr 1236 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑃 𝑋)
19 simp3r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑞 𝑋)
20 lnjat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
214, 5, 20, 6, 7, 8lneq2at 39425 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑀𝑋) ∈ 𝑁) ∧ (𝑃𝐴𝑞𝐴𝑃𝑞) ∧ (𝑃 𝑋𝑞 𝑋)) → 𝑋 = (𝑃 𝑞))
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21syl332anc 1398 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → 𝑋 = (𝑃 𝑞))
2311, 22jca 510 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞 𝑋)) → (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))
24233exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → (𝑞𝐴 → ((𝑞𝑃𝑞 𝑋) → (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))))
2524reximdvai 3154 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞))))
2610, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁𝑃 𝑋)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  lecple 17268  joincjn 18331  Atomscatm 38909  HLchlt 38996  Linesclines 39141  pmapcpmap 39144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38822  df-ol 38824  df-oml 38825  df-covers 38912  df-ats 38913  df-atl 38944  df-cvlat 38968  df-hlat 38997  df-lines 39148  df-pmap 39151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator