Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
3 | | simprl 770 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β (πβπ) β π) |
4 | | lnjat.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | lnjat.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | lnjat.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | lnjat.n |
. . . 4
β’ π = (LinesβπΎ) |
8 | | lnjat.m |
. . . 4
β’ π = (pmapβπΎ) |
9 | 4, 5, 6, 7, 8 | lnatexN 38650 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ (πβπ) β π) β βπ β π΄ (π β π β§ π β€ π)) |
10 | 1, 2, 3, 9 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ π β€ π)) |
11 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β π) |
12 | | simp1l1 1267 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β πΎ β HL) |
13 | | simp1l2 1268 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
14 | | simp1rl 1239 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β (πβπ) β π) |
15 | | simp1l3 1269 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β π΄) |
16 | | simp2 1138 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β π΄) |
17 | 11 | necomd 2997 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β π) |
18 | | simp1rr 1240 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
19 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
20 | | lnjat.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
21 | 4, 5, 20, 6, 7, 8 | lneq2at 38649 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ (πβπ) β π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β€ π β§ π β€ π)) β π = (π β¨ π)) |
22 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21 | syl332anc 1402 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β π = (π β¨ π)) |
23 | 11, 22 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β€ π)) β (π β π β§ π = (π β¨ π))) |
24 | 23 | 3exp 1120 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β (π β π΄ β ((π β π β§ π β€ π) β (π β π β§ π = (π β¨ π))))) |
25 | 24 | reximdvai 3166 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β (βπ β π΄ (π β π β§ π β€ π) β βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
26 | 10, 25 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ((πβπ) β π β§ π β€ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π))) |