Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnjatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnjatN 38651
Description: Given an atom in a line, there is another atom which when joined equals the line. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnjat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lnjat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lnjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lnjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lnjat.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lnjat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lnjatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐡,π‘ž   𝐾,π‘ž   ≀ ,π‘ž   𝑀,π‘ž   𝑁,π‘ž   𝑃,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hint:   ∨ (π‘ž)

Proof of Theorem lnjatN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
4 lnjat.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 lnjat.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 lnjat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 lnjat.n . . . 4 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
8 lnjat.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
94, 5, 6, 7, 8lnatexN 38650 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
101, 2, 3, 9syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
11 simp3l 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ π‘ž β‰  𝑃)
12 simp1l1 1267 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simp1l2 1268 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 simp1rl 1239 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
15 simp1l3 1269 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
16 simp2 1138 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
1711necomd 2997 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ž)
18 simp1rr 1240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
19 simp3r 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ π‘ž ≀ 𝑋)
20 lnjat.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
214, 5, 20, 6, 7, 8lneq2at 38649 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  π‘ž) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž))
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21syl332anc 1402 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž))
2311, 22jca 513 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))
24233exp 1120 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))))
2524reximdvai 3166 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž))))
2610, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ π‘ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  Linesclines 38365  pmapcpmap 38368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lines 38372  df-pmap 38375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator