Theorem bdophmi 32324

Description: The scalar product of a bounded linear operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophmi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)

Proof of Theorem bdophmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		bdopln 32153	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopmi 32292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp)
5	1	nmophmi 32323	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
6		abscl 15328	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7		nmopre 32162	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
9		remulcl 11184	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
10	6, 8, 9	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
11	5, 10	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
12		elbdop2 32163	. 2 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ))
13	4, 11, 12	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098   · cmul 11104  abscabs 15284   ·_op chot 31231  norm_opcnop 31237  LinOpclo 31239  BndLinOpcbo 31240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-hilex 31291  ax-hfvadd 31292  ax-hvcom 31293  ax-hvass 31294  ax-hv0cl 31295  ax-hvaddid 31296  ax-hfvmul 31297  ax-hvmulid 31298  ax-hvmulass 31299  ax-hvdistr1 31300  ax-hvdistr2 31301  ax-hvmul0 31302  ax-hfi 31371  ax-his1 31374  ax-his2 31375  ax-his3 31376  ax-his4 31377

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ablo 30837  df-vc 30851  df-nv 30884  df-va 30887  df-ba 30888  df-sm 30889  df-0v 30890  df-nmcv 30892  df-hnorm 31260  df-hba 31261  df-hvsub 31263  df-homul 32023  df-nmop 32131  df-lnop 32133  df-bdop 32134

This theorem is referenced by:  bdophdi  32389  nmoptri2i  32391