Theorem bdophmi 32066

Description: The scalar product of a bounded linear operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophmi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)

Proof of Theorem bdophmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31895	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopmi 32034	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp)
5	1	nmophmi 32065	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
6		abscl 15329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7		nmopre 31904	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
9		remulcl 11271	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
10	6, 8, 9	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
11	5, 10	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
12		elbdop2 31905	. 2 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ))
13	4, 11, 12	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℂcc 11184  ℝcr 11185   · cmul 11191  abscabs 15285   ·_op chot 30973  norm_opcnop 30979  LinOpclo 30981  BndLinOpcbo 30982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-hilex 31033  ax-hfvadd 31034  ax-hvcom 31035  ax-hvass 31036  ax-hv0cl 31037  ax-hvaddid 31038  ax-hfvmul 31039  ax-hvmulid 31040  ax-hvmulass 31041  ax-hvdistr1 31042  ax-hvdistr2 31043  ax-hvmul0 31044  ax-hfi 31113  ax-his1 31116  ax-his2 31117  ax-his3 31118  ax-his4 31119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-grpo 30527  df-gid 30528  df-ablo 30579  df-vc 30593  df-nv 30626  df-va 30629  df-ba 30630  df-sm 30631  df-0v 30632  df-nmcv 30634  df-hnorm 31002  df-hba 31003  df-hvsub 31005  df-homul 31765  df-nmop 31873  df-lnop 31875  df-bdop 31876

This theorem is referenced by:  bdophdi  32131  nmoptri2i  32133