HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdophmi 31836
Description: The scalar product of a bounded linear operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophmi (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)

Proof of Theorem bdophmi
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . 4 𝑇 ∈ BndLinOp
2 bdopln 31665 . . . 4 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43lnopmi 31804 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp)
51nmophmi 31835 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))
6 abscl 15252 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7 nmopre 31674 . . . . 5 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
81, 7ax-mp 5 . . . 4 (normop𝑇) ∈ ℝ
9 remulcl 11218 . . . 4 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
106, 8, 9sylancl 585 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
115, 10eqeltrd 2829 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
12 elbdop2 31675 . 2 ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ))
134, 11, 12sylanbrc 582 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099  cfv 6543  (class class class)co 7415  cc 11131  cr 11132   · cmul 11138  abscabs 15208   ·op chot 30743  normopcnop 30749  LinOpclo 30751  BndLinOpcbo 30752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-hilex 30803  ax-hfvadd 30804  ax-hvcom 30805  ax-hvass 30806  ax-hv0cl 30807  ax-hvaddid 30808  ax-hfvmul 30809  ax-hvmulid 30810  ax-hvmulass 30811  ax-hvdistr1 30812  ax-hvdistr2 30813  ax-hvmul0 30814  ax-hfi 30883  ax-his1 30886  ax-his2 30887  ax-his3 30888  ax-his4 30889
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-grpo 30297  df-gid 30298  df-ablo 30349  df-vc 30363  df-nv 30396  df-va 30399  df-ba 30400  df-sm 30401  df-0v 30402  df-nmcv 30404  df-hnorm 30772  df-hba 30773  df-hvsub 30775  df-homul 31535  df-nmop 31643  df-lnop 31645  df-bdop 31646
This theorem is referenced by:  bdophdi  31901  nmoptri2i  31903
  Copyright terms: Public domain W3C validator