Theorem bdophmi 31978

Description: The scalar product of a bounded linear operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophmi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)

Proof of Theorem bdophmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31807	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopmi 31946	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp)
5	1	nmophmi 31977	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
6		abscl 15298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7		nmopre 31816	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
9		remulcl 11221	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
11	5, 10	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
12		elbdop2 31817	. 2 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ))
13	4, 11, 12	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  ℂcc 11134  ℝcr 11135   · cmul 11141  abscabs 15254   ·_op chot 30885  norm_opcnop 30891  LinOpclo 30893  BndLinOpcbo 30894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-hilex 30945  ax-hfvadd 30946  ax-hvcom 30947  ax-hvass 30948  ax-hv0cl 30949  ax-hvaddid 30950  ax-hfvmul 30951  ax-hvmulid 30952  ax-hvmulass 30953  ax-hvdistr1 30954  ax-hvdistr2 30955  ax-hvmul0 30956  ax-hfi 31025  ax-his1 31028  ax-his2 31029  ax-his3 31030  ax-his4 31031

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-rp 13016  df-seq 14024  df-exp 14084  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-grpo 30439  df-gid 30440  df-ablo 30491  df-vc 30505  df-nv 30538  df-va 30541  df-ba 30542  df-sm 30543  df-0v 30544  df-nmcv 30546  df-hnorm 30914  df-hba 30915  df-hvsub 30917  df-homul 31677  df-nmop 31785  df-lnop 31787  df-bdop 31788

This theorem is referenced by:  bdophdi  32043  nmoptri2i  32045