Theorem addsgt0d 27918

Description: The sum of two positive surreals is positive. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsgt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
addsgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addsgt0d	⊢ (𝜑 → 0s <s (𝐴 +s 𝐵))

Proof of Theorem addsgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sno 27746	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2		addsrid 27868	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ No → ( 0s +s 0s ) = 0s )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( 0s +s 0s ) = 0s
4	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
5		addsgt0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6		addsgt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
7		addsgt0d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
8		addsgt0d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐵)
9	4, 4, 5, 6, 7, 8	slt2addd 27917	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s +s 0s ) <s (𝐴 +s 𝐵))
10	3, 9	eqbrtrrid 5178	1 ⊢ (𝜑 → 0s <s (𝐴 +s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414   No csur 27560   <s cslt 27561   0_s c0s 27742   +_s cadds 27863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8680  df-no 27563  df-slt 27564  df-bday 27565  df-sle 27665  df-sslt 27701  df-scut 27703  df-0s 27744  df-made 27761  df-old 27762  df-left 27764  df-right 27765  df-norec2 27853  df-adds 27864

This theorem is referenced by:  nnaddscl  28199