Theorem addscld 27949

Description: Surreal numbers are closed under addition. Theorem 6(iii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addscut.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
addscut.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addscld	⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Proof of Theorem addscld

Dummy variables 𝑝 𝑙 𝑞 𝑚 𝑤 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscut.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
2		addscut.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )
3	1, 2	addscut 27947	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ ( L ‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ ( L ‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ ( R ‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))
4	3	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712  ∃wrex 3059   ∪ cun 3929  {csn 4606   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   No csur 27620   <<s csslt 27761   L cleft 27820   R cright 27821   +_s cadds 27928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-1o 8488  df-2o 8489  df-nadd 8686  df-no 27623  df-slt 27624  df-bday 27625  df-sslt 27762  df-scut 27764  df-0s 27805  df-made 27822  df-old 27823  df-left 27825  df-right 27826  df-norec2 27918  df-adds 27929

This theorem is referenced by:  addscl  27950  sleadd1  27958  sltadd2  27960  addsuniflem  27970  adds4d  27978  slt2addd  27982  addsbdaylem  27985  negsid  28009  addsubsassd  28047  addsubsd  28048  sltaddsubd  28057  slesubaddd  28059  subsubs4d  28060  addsubs4d  28066  mulsproplem5  28082  mulsproplem6  28083  mulsproplem7  28084  mulsproplem8  28085  mulsproplem9  28086  ssltmul1  28109  ssltmul2  28110  mulsuniflem  28111  addsdilem3  28115  addsdilem4  28116  addsdird  28119  mulsasslem3  28127  mulsunif2lem  28131  precsexlem8  28174  precsexlem9  28175  precsexlem11  28177  divsdird  28195  onaddscl  28222  onmulscl  28223  zscut  28329  nohalf  28343  halfcut  28352  addhalfcut  28355  pw2cut  28356  zs12bday  28360