Theorem addscld 27976

Description: Surreal numbers are closed under addition. Theorem 6(iii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcuts.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
addcuts.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addscld	⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Proof of Theorem addscld

Dummy variables 𝑝 𝑙 𝑞 𝑚 𝑤 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcuts.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
2		addcuts.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )
3	1, 2	addcuts 27974	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ ( L ‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ ( L ‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ ( R ‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))
4	3	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∃wrex 3060   ∪ cun 3899  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   No csur 27607   <<s cslts 27753   L cleft 27821   R cright 27822   +_s cadds 27955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-nadd 8594  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-0s 27803  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec2 27945  df-adds 27956

This theorem is referenced by:  addscl  27977  leadds1  27985  ltadds2  27987  addsuniflem  27997  adds4d  28005  lt2addsd  28009  addbdaylem  28013  negsid  28037  addsubsassd  28077  addsubsd  28078  ltaddsubsd  28087  lesubaddsd  28089  subsubs4d  28090  addsubs4d  28097  mulsproplem5  28116  mulsproplem6  28117  mulsproplem7  28118  mulsproplem8  28119  mulsproplem9  28120  sltmuls1  28143  sltmuls2  28144  mulsuniflem  28145  addsdilem3  28149  addsdilem4  28150  addsdird  28153  mulsasslem3  28161  mulsunif2lem  28165  precsexlem8  28210  precsexlem9  28211  precsexlem11  28213  divsdird  28231  onaddscl  28273  onmulscl  28274  zcuts  28403  twocut  28419  pw2divsdird  28444  pw2divsnegd  28445  avglts1d  28449  avglts2d  28450  halfcut  28454  addhalfcut  28455  pw2cut  28456  pw2cut2  28458  bdaypw2n0bndlem  28459  bdayfinbndlem1  28463  z12bdaylem1  28466  z12bdaylem2  28467  z12sge0  28479  elreno2  28491