Theorem addscld 28399

Description: Surreal numbers are closed under addition. Theorem 6(iii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcuts.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No)
addcuts.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
addscld	⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No)

Proof of Theorem addscld

Dummy variables 𝑝 𝑙 𝑞 𝑚 𝑤 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcuts.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No)
2		addcuts.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No)
3	1, 2	addcuts 28397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ (L‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ (L‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ (R‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ (R‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))
4	3	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Nocsur 28030   <<s cslts 28176  Lcleft 28244  Rcright 28245   +_s cadds 28378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8706  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-0s 28226  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249  df-right 28250  df-norec2 28368  df-adds 28379

This theorem is used by:  addscl  28400  leadds1  28408  ltadds2  28410  addsuniflem  28420  adds4d  28428  lt2addsd  28432  addbdaylem  28436  negsid  28460  addsubsassd  28500  addsubsd  28501  ltaddsubsd  28510  lesubaddsd  28512  subsubs4d  28513  addsubs4d  28520  mulsproplem5  28539  mulsproplem6  28540  mulsproplem7  28541  mulsproplem8  28542  mulsproplem9  28543  sltmuls1  28566  sltmuls2  28567  mulsuniflem  28568  addsdilem3  28572  addsdilem4  28573  addsdird  28576  mulsasslem3  28584  mulsunif2lem  28588  precsexlem8  28633  precsexlem9  28634  precsexlem11  28636  divsdird  28654  onaddscl  28696  onmulscl  28697  zcuts  28826  twocut  28842  pw2divsdird  28867  pw2divsnegd  28868  avglts1d  28872  avglts2d  28873  halfcut  28877  addhalfcut  28878  pw2cut  28879  pw2cut2  28881  bdaypw2n0bndlem  28882  bdayfinbndlem1  28886  z12bdaylem1  28889  z12bdaylem2  28890  z12sge0  28902  elreno2  28914