Theorem addscld 27847

Description: Surreal numbers are closed under addition. Theorem 6(iii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addscut.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
addscut.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addscld	⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Proof of Theorem addscld

Dummy variables 𝑝 𝑙 𝑞 𝑚 𝑤 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscut.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
2		addscut.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )
3	1, 2	addscut 27845	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ ( L ‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ ( L ‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ ( R ‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))
4	3	simp1d 1139	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  ∃wrex 3064   ∪ cun 3941  {csn 4623   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   No csur 27523   <<s csslt 27663   L cleft 27722   R cright 27723   +_s cadds 27826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-nadd 8664  df-no 27526  df-slt 27527  df-bday 27528  df-sslt 27664  df-scut 27666  df-0s 27707  df-made 27724  df-old 27725  df-left 27727  df-right 27728  df-norec2 27816  df-adds 27827

This theorem is referenced by:  addscl  27848  sleadd1  27856  sltadd2  27858  addsuniflem  27868  adds4d  27876  slt2addd  27880  negsid  27903  addsubsassd  27939  addsubsd  27940  sltaddsubd  27949  subsubs4d  27951  mulsproplem5  27970  mulsproplem6  27971  mulsproplem7  27972  mulsproplem8  27973  mulsproplem9  27974  ssltmul1  27997  ssltmul2  27998  mulsuniflem  27999  addsdilem3  28003  addsdilem4  28004  addsdird  28007  mulsasslem3  28015  mulsunif2lem  28019  precsexlem8  28062  precsexlem9  28063  precsexlem11  28065