Theorem addscld 28371

Description: Surreal numbers are closed under addition. Theorem 6(iii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcuts.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No)
addcuts.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
addscld	⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No)

Proof of Theorem addscld

Dummy variables 𝑝 𝑙 𝑞 𝑚 𝑤 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcuts.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No)
2		addcuts.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No)
3	1, 2	addcuts 28369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ (L‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ (L‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ (R‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ (R‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))
4	3	simp1d 1160	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∃wrex 3086   ∪ cun 4149  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   <<s cslts 28148  Lcleft 28216  Rcright 28217   +_s cadds 28350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-nadd 8678  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222  df-norec2 28340  df-adds 28351

This theorem is used by:  addscl  28372  leadds1  28380  ltadds2  28382  addsuniflem  28392  adds4d  28400  lt2addsd  28404  addbdaylem  28408  negsid  28432  addsubsassd  28472  addsubsd  28473  ltaddsubsd  28482  lesubaddsd  28484  subsubs4d  28485  addsubs4d  28492  mulsproplem5  28511  mulsproplem6  28512  mulsproplem7  28513  mulsproplem8  28514  mulsproplem9  28515  sltmuls1  28538  sltmuls2  28539  mulsuniflem  28540  addsdilem3  28544  addsdilem4  28545  addsdird  28548  mulsasslem3  28556  mulsunif2lem  28560  precsexlem8  28605  precsexlem9  28606  precsexlem11  28608  divsdird  28626  onaddscl  28668  onmulscl  28669  zcuts  28798  twocut  28814  pw2divsdird  28839  pw2divsnegd  28840  avglts1d  28844  avglts2d  28845  halfcut  28849  addhalfcut  28850  pw2cut  28851  pw2cut2  28853  bdaypw2n0bndlem  28854  bdayfinbndlem1  28858  z12bdaylem1  28861  z12bdaylem2  28862  z12sge0  28874  elreno2  28886