Theorem addscld 27910

Description: Surreal numbers are closed under addition. Theorem 6(iii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addscut.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
addscut.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addscld	⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Proof of Theorem addscld

Dummy variables 𝑝 𝑙 𝑞 𝑚 𝑤 𝑟 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscut.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
2		addscut.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No )
3	1, 2	addscut 27908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ ( L ‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ ( L ‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ ( R ‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))
4	3	simp1d 1142	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +s 𝑌) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   ∪ cun 3903  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   No csur 27567   <<s csslt 27709   L cleft 27773   R cright 27774   +_s cadds 27889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec2 27879  df-adds 27890

This theorem is referenced by:  addscl  27911  sleadd1  27919  sltadd2  27921  addsuniflem  27931  adds4d  27939  slt2addd  27943  addsbdaylem  27946  negsid  27970  addsubsassd  28008  addsubsd  28009  sltaddsubd  28018  slesubaddd  28020  subsubs4d  28021  addsubs4d  28027  mulsproplem5  28046  mulsproplem6  28047  mulsproplem7  28048  mulsproplem8  28049  mulsproplem9  28050  ssltmul1  28073  ssltmul2  28074  mulsuniflem  28075  addsdilem3  28079  addsdilem4  28080  addsdird  28083  mulsasslem3  28091  mulsunif2lem  28095  precsexlem8  28139  precsexlem9  28140  precsexlem11  28142  divsdird  28160  onaddscl  28197  onmulscl  28198  zscut  28318  twocut  28333  pw2divsdird  28358  pw2divsnegd  28359  avgslt1d  28362  avgslt2d  28363  halfcut  28364  addhalfcut  28365  pw2cut  28366  zs12ge0  28378  zs12bday  28379