Theorem lt2msq 12096

Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lt2msq	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem lt2msq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2msq1 12095	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))
2	1	3expia 1118	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
3	2	adantrr 714	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
5	4, 4	oveq12d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵)))
7		lt2msq1 12095	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
8	7	3expia 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
9	8	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
10	9	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
11	6, 10	orim12d 961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))))
12	11	con3d 152	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (¬ ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
13		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13, 13	remulcld 11241	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
15		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15, 15	remulcld 11241	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
17	14, 16	lttrid 11349	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))))
18	13, 15	lttrid 11349	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
19	12, 17, 18	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
20	3, 19	impbid 211	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   < clt 11245   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  le2msq  12111  lt2msqi  12123  lt2sq  14095