MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2msq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2msq 12123
Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))

Proof of Theorem lt2msq
StepHypRef Expression
1 lt2msq1 12122 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))
213expia 1119 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
32adantrr 716 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
4 id 22 . . . . . . 7 (๐ด = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)
54, 4oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต))
65a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต)))
7 lt2msq1 12122 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด))
873expia 1119 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
98adantrr 716 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
109ancoms 458 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
116, 10orim12d 963 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โˆจ (๐ต ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด))))
1211con3d 152 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (ยฌ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โˆจ (๐ต ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
13 simpll 766 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413, 13remulcld 11268 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
15 simprl 770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1615, 15remulcld 11268 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
1714, 16lttrid 11376 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โˆจ (๐ต ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด))))
1813, 15lttrid 11376 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
1912, 17, 183imtr4d 294 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต))
203, 19impbid 211 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„cr 11131  0cc0 11132   ยท cmul 11137   < clt 11272   โ‰ค cle 11273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471
This theorem is referenced by:  le2msq  12138  lt2msqi  12150  lt2sq  14123
  Copyright terms: Public domain W3C validator