Theorem ltdiv2 12033

Description: Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem ltdiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrec 12029	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / 𝐴)))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / 𝐴)))
3		gt0ne0 11606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
4		rereccl 11864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		gt0ne0 11606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
7		rereccl 11864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
8	6, 7	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9		ltmul2 11997	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
10	8, 9	syl3an2 1165	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
11	5, 10	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
12		recn 11119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
14		recn 11119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15, 3	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
17		recn 11119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 6	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
20		divrec 11816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
21	20	3expb 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
22	21	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
23		divrec 11816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
24	23	3expb 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
25	24	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
26	22, 25	breq12d 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
27	13, 16, 19, 26	syl3an 1161	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
28	27	3coml 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
29	11, 28	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))
30	29	3com12 1124	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))
31	2, 30	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  ltdiv2d  13000  sin01gt0  16148  sincos6thpi  26493  tanord1  26514  basellem1  27058  perfectlem2  27207  bposlem6  27266  dchrisum0flblem2  27486  pntpbnd1a  27562  pntlemr  27579  hgt750lem  34811  stoweidlem42  46488