MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv2 12049
Description: Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))

Proof of Theorem ltdiv2
StepHypRef Expression
1 ltrec 12045 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
213adant3 1133 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
3 gt0ne0 11628 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
4 rereccl 11881 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
53, 4syldan 592 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
6 gt0ne0 11628 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
7 rereccl 11881 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
86, 7syldan 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
9 ltmul2 12014 . . . . . 6 (((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
108, 9syl3an2 1165 . . . . 5 (((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
115, 10syl3an1 1164 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
12 recn 11149 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14 recn 11149 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615, 3jca 513 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
17 recn 11149 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918, 6jca 513 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
20 divrec 11837 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
21203expb 1121 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
22213adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
23 divrec 11837 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
24233expb 1121 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
25243adant2 1132 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
2622, 25breq12d 5122 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
2713, 16, 19, 26syl3an 1161 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
28273coml 1128 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
2911, 28bitr4d 282 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
30293com12 1124 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
312, 30bitrd 279 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   < clt 11197   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  ltdiv2d  12988  sin01gt0  16080  sincos6thpi  25895  tanord1  25916  basellem1  26453  perfectlem2  26601  bposlem6  26660  dchrisum0flblem2  26880  pntpbnd1a  26956  pntlemr  26973  hgt750lem  33328  stoweidlem42  44373
  Copyright terms: Public domain W3C validator