Theorem ltdiv2 12082

Description: Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem ltdiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrec 12078	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / 𝐴)))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < (1 / 𝐴)))
3		gt0ne0 11661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
4		rereccl 11914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		gt0ne0 11661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
7		rereccl 11914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
8	6, 7	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9		ltmul2 12047	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
10	8, 9	syl3an2 1164	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
11	5, 10	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
12		recn 11182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
14		recn 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15, 3	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
17		recn 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18, 6	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
20		divrec 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
21	20	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
22	21	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
23		divrec 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
24	23	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
25	24	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
26	22, 25	breq12d 5154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
27	13, 16, 19, 26	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
28	27	3coml 1127	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) < (𝐶 · (1 / 𝐴))))
29	11, 28	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))
30	29	3com12 1123	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) < (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))
31	2, 30	bitrd 278	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) < (𝐶 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  ℝcr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   · cmul 11097   < clt 11230   / cdiv 11853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854

This theorem is referenced by:  ltdiv2d  13021  sin01gt0  16115  sincos6thpi  25954  tanord1  25975  basellem1  26512  perfectlem2  26660  bposlem6  26719  dchrisum0flblem2  26939  pntpbnd1a  27015  pntlemr  27032  hgt750lem  33492  stoweidlem42  44529