MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv2 12099
Description: Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))

Proof of Theorem ltdiv2
StepHypRef Expression
1 ltrec 12095 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
213adant3 1132 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
3 gt0ne0 11678 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
4 rereccl 11931 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
53, 4syldan 591 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
6 gt0ne0 11678 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
7 rereccl 11931 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
86, 7syldan 591 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
9 ltmul2 12064 . . . . . 6 (((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
108, 9syl3an2 1164 . . . . 5 (((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
115, 10syl3an1 1163 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
12 recn 11199 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14 recn 11199 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615, 3jca 512 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
17 recn 11199 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918, 6jca 512 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
20 divrec 11887 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
21203expb 1120 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
22213adant3 1132 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
23 divrec 11887 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
24233expb 1120 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
25243adant2 1131 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
2622, 25breq12d 5161 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
2713, 16, 19, 26syl3an 1160 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
28273coml 1127 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) < (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
2911, 28bitr4d 281 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
30293com12 1123 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) < (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
312, 30bitrd 278 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11247   / cdiv 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by:  ltdiv2d  13038  sin01gt0  16132  sincos6thpi  26024  tanord1  26045  basellem1  26582  perfectlem2  26730  bposlem6  26789  dchrisum0flblem2  27009  pntpbnd1a  27085  pntlemr  27102  hgt750lem  33658  stoweidlem42  44748
  Copyright terms: Public domain W3C validator