MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2msq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2msq1 12094
Description: Lemma for lt2msq 12095. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))

Proof of Theorem lt2msq1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21, 1remulcld 11240 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
3 simp2 1134 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
43, 1remulcld 11240 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ)
53, 3remulcld 11240 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
6 simp1 1133 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7 simp3 1135 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
81, 3, 7ltled 11358 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
9 lemul1a 12064 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴))
101, 3, 6, 8, 9syl31anc 1370 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴))
11 0red 11213 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
12 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
1311, 1, 3, 12, 7lelttrd 11368 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
14 ltmul2 12061 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
151, 3, 3, 13, 14syl112anc 1371 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
167, 15mpbid 231 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))
172, 4, 5, 10, 16lelttrd 11368 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cr 11104  0cc0 11105   · cmul 11110   < clt 11244  cle 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443
This theorem is referenced by:  lt2msq  12095
  Copyright terms: Public domain W3C validator