Theorem lt2msq1 12017

Description: Lemma for lt2msq 12018. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lt2msq1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))

Proof of Theorem lt2msq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1, 1	remulcld 11153	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3, 1	remulcld 11153	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 3	remulcld 11153	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	1, 3, 7	ltled 11272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9		lemul1a 11986	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴))
10	1, 3, 6, 8, 9	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴))
11		0red 11126	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
12		simp1r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
13	11, 1, 3, 12, 7	lelttrd 11282	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
14		ltmul2 11983	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
15	1, 3, 3, 13, 14	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
16	7, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))
17	2, 4, 5, 10, 16	lelttrd 11282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358

This theorem is referenced by:  lt2msq  12018  squeezedltsq  47048