Theorem ltdiv23ii 11305

Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ
ltdiv23i.4	⊢ 0 < 𝐵
ltdiv23i.5	⊢ 0 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23ii	⊢ ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdiv23ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv23i.4	. 2 ⊢ 0 < 𝐵
2		ltdiv23i.5	. 2 ⊢ 0 < 𝐶
3		ltplus1.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		prodgt0.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		ltmul1.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6	3, 4, 5	ltdiv23i 11302	. 2 ⊢ ((0 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
7	1, 2, 6	mp2an 682	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272   < clt 10411   / cdiv 11032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033

This theorem is referenced by:  halflt1  11600