Theorem acos1half 40212

Description: The arccosine of 1 / 2 is π / 3. (Contributed by SN, 31-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
acos1half	⊢ (arccos‘(1 / 2)) = (π / 3)

Proof of Theorem acos1half

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos3rdpi 25718	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
2	1	simpri 487	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
3	2	fveq2i 6807	. 2 ⊢ (arccos‘(cos‘(π / 3))) = (arccos‘(1 / 2))
4		pire 25660	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
5		3re 12099	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3ne0 12125	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
7	4, 5, 6	redivcli 11788	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ
8	7	recni 11035	. . 3 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
9		rere 14878	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 3)) = (π / 3))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℜ‘(π / 3)) = (π / 3)
11	7	rexri 11079	. . . . 5 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ*
12		pipos 25662	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
13		3pos 12124	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
14	4, 5, 12, 13	divgt0ii 11938	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 3)
15		picn 25661	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
16	4, 12	gt0ne0ii 11557	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
17	15, 16	dividi 11754	. . . . . . 7 ⊢ (π / π) = 1
18		1lt3 12192	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
19	17, 18	eqbrtri 5102	. . . . . 6 ⊢ (π / π) < 3
20	4, 5, 4, 13, 12	ltdiv23ii 11948	. . . . . 6 ⊢ ((π / 3) < π ↔ (π / π) < 3)
21	19, 20	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (π / 3) < π
22		0xr 11068	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23	4	rexri 11079	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
24		elioo1 13165	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((π / 3) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 < (π / 3) ∧ (π / 3) < π)))
25	22, 23, 24	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 < (π / 3) ∧ (π / 3) < π))
26	11, 14, 21, 25	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ (0(,)π)
27	10, 26	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (ℜ‘(π / 3)) ∈ (0(,)π)
28		acoscos 26088	. . 3 ⊢ (((π / 3) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(π / 3)) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘(π / 3))) = (π / 3))
29	8, 27, 28	mp2an 690	. 2 ⊢ (arccos‘(cos‘(π / 3))) = (π / 3)
30	3, 29	eqtr3i 2766	1 ⊢ (arccos‘(1 / 2)) = (π / 3)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  ℝcr 10916  0cc0 10917  1c1 10918  ℝ^*cxr 11054   < clt 11055   / cdiv 11678  2c2 12074  3c3 12075  (,)cioo 13125  ℜcre 14853  √csqrt 14989  sincsin 15818  cosccos 15819  πcpi 15821  arccoscacos 26058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-ioc 13130  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-fac 14034  df-bc 14063  df-hash 14091  df-shft 14823  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-limsup 15225  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443  df-ef 15822  df-sin 15824  df-cos 15825  df-pi 15827  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-lp 22332  df-perf 22333  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-haus 22511  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cncf 24086  df-limc 25075  df-dv 25076  df-log 25757  df-asin 26060  df-acos 26061

This theorem is referenced by: (None)