Theorem acos1half 42328

Description: The arccosine of 1 / 2 is π / 3. (Contributed by SN, 31-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
acos1half	⊢ (arccos‘(1 / 2)) = (π / 3)

Proof of Theorem acos1half

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos3rdpi 26544	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
2	1	simpri 484	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
3	2	fveq2i 6904	. 2 ⊢ (arccos‘(cos‘(π / 3))) = (arccos‘(1 / 2))
4		pire 26486	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
5		3re 12344	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3ne0 12370	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
7	4, 5, 6	redivcli 12032	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ
8	7	recni 11278	. . 3 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
9		rere 15127	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 3)) = (π / 3))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℜ‘(π / 3)) = (π / 3)
11	7	rexri 11322	. . . . 5 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ*
12		pipos 26488	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
13		3pos 12369	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
14	4, 5, 12, 13	divgt0ii 12183	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 3)
15		picn 26487	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
16	4, 12	gt0ne0ii 11800	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
17	15, 16	dividi 11998	. . . . . . 7 ⊢ (π / π) = 1
18		1lt3 12437	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
19	17, 18	eqbrtri 5174	. . . . . 6 ⊢ (π / π) < 3
20	4, 5, 4, 13, 12	ltdiv23ii 12193	. . . . . 6 ⊢ ((π / 3) < π ↔ (π / π) < 3)
21	19, 20	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (π / 3) < π
22		0xr 11311	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23	4	rexri 11322	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ*
24		elioo1 13418	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((π / 3) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 < (π / 3) ∧ (π / 3) < π)))
25	22, 23, 24	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((π / 3) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 < (π / 3) ∧ (π / 3) < π))
26	11, 14, 21, 25	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ (0(,)π)
27	10, 26	eqeltri 2822	. . 3 ⊢ (ℜ‘(π / 3)) ∈ (0(,)π)
28		acoscos 26921	. . 3 ⊢ (((π / 3) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(π / 3)) ∈ (0(,)π)) → (arccos‘(cos‘(π / 3))) = (π / 3))
29	8, 27, 28	mp2an 690	. 2 ⊢ (arccos‘(cos‘(π / 3))) = (π / 3)
30	3, 29	eqtr3i 2756	1 ⊢ (arccos‘(1 / 2)) = (π / 3)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298   / cdiv 11921  2c2 12319  3c3 12320  (,)cioo 13378  ℜcre 15102  √csqrt 15238  sincsin 16065  cosccos 16066  πcpi 16068  arccoscacos 26891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-asin 26893  df-acos 26894

This theorem is referenced by: (None)