Theorem atanlogsublem 26265

Description: Lemma for atanlogsub 26266. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsublem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Proof of Theorem atanlogsublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11109	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-icn 11110	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
3		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom arctan)
4		atandm2 26227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
5	3, 4	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
6	5	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		mulcl 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		addcl 11133	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	1, 8, 9	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
12	10, 11	logcld 25926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		subcl 11400	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	1, 8, 13	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	5	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
16	14, 15	logcld 25926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17	12, 16	imsubd 15102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → i ∈ ℂ)
19	18, 6, 18	subdid 11611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = ((i · 𝐴) − (i · i)))
20		ixi 11784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) = -1
21	20	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) − -1)
22		subneg 11450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
23	8, 1, 22	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
24	21, 23	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) + 1))
25		addcom 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
26	8, 1, 25	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
27	19, 24, 26	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = (1 + (i · 𝐴)))
28	27	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
29		subcl 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
30	6, 2, 29	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
31		resub 15012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
32	6, 2, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
33		rei 15041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℜ‘i) = 0
34	33	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) − 0)
35	6	recld 15079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
37	36	subid1d 11501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − 0) = (ℜ‘𝐴))
38	34, 37	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
39	32, 38	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘𝐴))
40		gt0ne0 11620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
41	35, 40	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
42	39, 41	eqnetrd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0)
43		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘0))
44		re0 15037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘0) = 0
45	43, 44	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = 0)
46	45	necon3i 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0 → (𝐴 − i) ≠ 0)
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ≠ 0)
48		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
49		0re 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
50		ltle 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
51	49, 35, 50	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
53	52, 39	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i)))
54		logimul 25969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i))) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
55	30, 47, 53, 54	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
56	28, 55	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
57	56	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))))
58	30, 47	logcld 25926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ)
59		halfpire 25821	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
60	59	recni 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
61	2, 60	mulcli 11162	. . . . . . 7 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
62		imadd 15019	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
63	58, 61, 62	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
64		reim 14994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
65	60, 64	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
66		rere 15007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
67	59, 66	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
68	65, 67	eqtr3i 2766	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
69	68	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2))
70	63, 69	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
71	57, 70	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
72		addcl 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
73	6, 2, 72	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
74		mulcl 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
75	2, 73, 74	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
76		reim 14994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
78		readd 15011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
79	6, 2, 78	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
80	33	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) + 0)
81	36	addid1d 11355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
82	80, 81	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
83	79, 82	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘𝐴))
84	77, 83	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · (𝐴 + i))) = (ℜ‘𝐴))
85	48, 84	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
86		logneg2 25970	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i)))) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
87	75, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
88	18, 6, 18	adddid 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) + (i · i)))
89	20	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) + -1)
90		negsub 11449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
91	8, 1, 90	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
92	89, 91	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) − 1))
93	88, 92	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) − 1))
94	93	negeqd 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = -((i · 𝐴) − 1))
95		negsubdi2 11460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
96	8, 1, 95	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
97	94, 96	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = (1 − (i · 𝐴)))
98	97	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
99	83, 41	eqnetrd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0)
100		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘0))
101	100, 44	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = 0)
102	101	necon3i 2976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0 → (𝐴 + i) ≠ 0)
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ≠ 0)
104	73, 103	logcld 25926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ)
105	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (π / 2)) ∈ ℂ)
106		picn 25816	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
107	2, 106	mulcli 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · π) ∈ ℂ)
109	52, 83	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i)))
110		logimul 25969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i))) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
111	73, 103, 109, 110	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
112	111	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = (((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))) − (i · π)))
113	104, 105, 108, 112	assraddsubd 11569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
114	87, 98, 113	3eqtr3d 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
115	114	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))))
116	61, 107	subcli 11477	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ
117		imadd 15019	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
118	104, 116, 117	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
119		imsub 15020	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))))
120	61, 107, 119	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π)))
121		reim 14994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
122	106, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
123		pire 25815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
124		rere 15007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = π
126	122, 125	eqtr3i 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
127	68, 126	oveq12i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))) = ((π / 2) − π)
128	60	negcli 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
129	106, 60	negsubi 11479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
130		pidiv2halves 25824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
131	106, 60, 60, 130	subaddrii 11490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
132	129, 131	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
133	60, 106, 128, 132	subaddrii 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
134	120, 127, 133	3eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = -(π / 2)
135	134	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))
136	118, 135	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
137	115, 136	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
138	71, 137	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))))
139	58	imcld 15080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℝ)
140	139	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℂ)
141	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℂ)
142	104	imcld 15080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℂ)
144	128	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) ∈ ℂ)
145	140, 141, 143, 144	addsub4d 11559	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))))
146	60, 60	subnegi 11480	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
147	146, 130	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
148	147	oveq2i 7368	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)
149	145, 148	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
150	17, 138, 149	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
151	139, 142	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ)
152		readdcl 11134	. . . 4 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
153	151, 123, 152	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
154	123	renegcli 11462	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
155	154	recni 11169	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℂ
156	155, 106	negsubi 11479	. . . . 5 ⊢ (-π + -π) = (-π − π)
157	154	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
158	142	renegcld 11582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
159	30, 47	logimcld 25927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ≤ π))
160	159	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))))
161	73, 103	logimcld 25927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π))
162	161	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π)
163		leneg 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
164	142, 123, 163	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
165	162, 164	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
166	157, 157, 139, 158, 160, 165	ltleaddd 11776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
167	140, 143	negsubd 11518	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
168	166, 167	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
169	156, 168	eqbrtrrid 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
170	123	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
171	157, 170, 151	ltsubaddd 11751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ↔ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)))
172	169, 171	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
173		0red 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
174	6	imcld 15080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
175		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
177		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
178	174, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
179	174	ltm1d 12087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < (ℑ‘𝐴))
180	174	ltp1d 12085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
181	176, 174, 178, 179, 180	lttrd 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
182		ltdiv1 12019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴))) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
183	176, 178, 35, 48, 182	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
184	181, 183	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
185		imsub 15020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
186	6, 2, 185	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
187		imi 15042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘i) = 1
188	187	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1)
189	186, 188	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1))
190	189, 39	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) = (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)))
191		imadd 15019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
192	6, 2, 191	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
193	187	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1)
194	192, 193	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1))
195	194, 83	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))) = (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
196	184, 190, 195	3brtr4d 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) < ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
197		tanarg 25974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
198	30, 42, 197	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
199		tanarg 25974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
200	73, 99, 199	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
201	196, 198, 200	3brtr4d 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
202	48, 39	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 − i)))
203		argregt0 25965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 − i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
204	30, 202, 203	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
205	48, 83	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 + i)))
206		argregt0 25965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 + i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
207	73, 205, 206	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
208		tanord 25894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
209	204, 207, 208	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
210	201, 209	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
211	143	addid2d 11356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
212	210, 211	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
213	139, 142, 173	ltsubaddd 11751	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0 ↔ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
214	212, 213	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0)
215	151, 173, 170, 214	ltadd1dd 11766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < (0 + π))
216	106	addid2i 11343	. . . 4 ⊢ (0 + π) = π
217	215, 216	breqtrdi 5146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)
218	154	rexri 11213	. . . 4 ⊢ -π ∈ ℝ*
219	123	rexri 11213	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ*
220		elioo2 13305	. . . 4 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)))
221	218, 219, 220	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π))
222	153, 172, 217, 221	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π))
223	150, 222	eqeltrd 2838	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  (,)cioo 13264  ℜcre 14982  ℑcim 14983  tanctan 15948  πcpi 15949  logclog 25910  arctancatan 26214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-atan 26217

This theorem is referenced by:  atanlogsub  26266  atanbndlem  26275