Theorem atanlogsublem 26976

Description: Lemma for atanlogsub 26977. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsublem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Proof of Theorem atanlogsublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-icn 11243	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
3		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom arctan)
4		atandm2 26938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
5	3, 4	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
6	5	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		mulcl 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		addcl 11266	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	1, 8, 9	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
12	10, 11	logcld 26630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		subcl 11535	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	1, 8, 13	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15	5	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17	12, 16	imsubd 15266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → i ∈ ℂ)
19	18, 6, 18	subdid 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = ((i · 𝐴) − (i · i)))
20		ixi 11919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) = -1
21	20	oveq2i 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) − -1)
22		subneg 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
23	8, 1, 22	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
24	21, 23	eqtrid 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) + 1))
25		addcom 11476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
26	8, 1, 25	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
27	19, 24, 26	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = (1 + (i · 𝐴)))
28	27	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
29		subcl 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
30	6, 2, 29	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
31		resub 15176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
32	6, 2, 31	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
33		rei 15205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℜ‘i) = 0
34	33	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) − 0)
35	6	recld 15243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
37	36	subid1d 11636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − 0) = (ℜ‘𝐴))
38	34, 37	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
39	32, 38	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘𝐴))
40		gt0ne0 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
41	35, 40	sylancom 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
42	39, 41	eqnetrd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0)
43		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘0))
44		re0 15201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘0) = 0
45	43, 44	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = 0)
46	45	necon3i 2979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0 → (𝐴 − i) ≠ 0)
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ≠ 0)
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
49		0re 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
50		ltle 11378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
51	49, 35, 50	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
53	52, 39	breqtrrd 5194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i)))
54		logimul 26674	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i))) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
55	30, 47, 53, 54	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
56	28, 55	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
57	56	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))))
58	30, 47	logcld 26630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ)
59		halfpire 26524	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
60	59	recni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
61	2, 60	mulcli 11297	. . . . . . 7 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
62		imadd 15183	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
63	58, 61, 62	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
64		reim 15158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
65	60, 64	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
66		rere 15171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
67	59, 66	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
68	65, 67	eqtr3i 2770	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
69	68	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2))
70	63, 69	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
71	57, 70	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
72		addcl 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
73	6, 2, 72	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
74		mulcl 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
75	2, 73, 74	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
76		reim 15158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
78		readd 15175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
79	6, 2, 78	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
80	33	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) + 0)
81	36	addridd 11490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
82	80, 81	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
83	79, 82	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘𝐴))
84	77, 83	eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · (𝐴 + i))) = (ℜ‘𝐴))
85	48, 84	breqtrrd 5194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
86		logneg2 26675	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i)))) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
87	75, 85, 86	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
88	18, 6, 18	adddid 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) + (i · i)))
89	20	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) + -1)
90		negsub 11584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
91	8, 1, 90	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
92	89, 91	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) − 1))
93	88, 92	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) − 1))
94	93	negeqd 11530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = -((i · 𝐴) − 1))
95		negsubdi2 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
96	8, 1, 95	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
97	94, 96	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = (1 − (i · 𝐴)))
98	97	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
99	83, 41	eqnetrd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0)
100		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘0))
101	100, 44	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = 0)
102	101	necon3i 2979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0 → (𝐴 + i) ≠ 0)
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ≠ 0)
104	73, 103	logcld 26630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ)
105	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (π / 2)) ∈ ℂ)
106		picn 26519	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
107	2, 106	mulcli 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · π) ∈ ℂ)
109	52, 83	breqtrrd 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i)))
110		logimul 26674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i))) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
111	73, 103, 109, 110	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
112	111	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = (((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))) − (i · π)))
113	104, 105, 108, 112	assraddsubd 11704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
114	87, 98, 113	3eqtr3d 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
115	114	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))))
116	61, 107	subcli 11612	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ
117		imadd 15183	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
118	104, 116, 117	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
119		imsub 15184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))))
120	61, 107, 119	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π)))
121		reim 15158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
122	106, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
123		pire 26518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
124		rere 15171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = π
126	122, 125	eqtr3i 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
127	68, 126	oveq12i 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))) = ((π / 2) − π)
128	60	negcli 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
129	106, 60	negsubi 11614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
130		pidiv2halves 26527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
131	106, 60, 60, 130	subaddrii 11625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
132	129, 131	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
133	60, 106, 128, 132	subaddrii 11625	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
134	120, 127, 133	3eqtri 2772	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = -(π / 2)
135	134	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))
136	118, 135	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
137	115, 136	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
138	71, 137	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))))
139	58	imcld 15244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℝ)
140	139	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℂ)
141	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℂ)
142	104	imcld 15244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℂ)
144	128	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) ∈ ℂ)
145	140, 141, 143, 144	addsub4d 11694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))))
146	60, 60	subnegi 11615	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
147	146, 130	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
148	147	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)
149	145, 148	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
150	17, 138, 149	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
151	139, 142	resubcld 11718	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ)
152		readdcl 11267	. . . 4 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
153	151, 123, 152	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
154	123	renegcli 11597	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
155	154	recni 11304	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℂ
156	155, 106	negsubi 11614	. . . . 5 ⊢ (-π + -π) = (-π − π)
157	154	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
158	142	renegcld 11717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
159	30, 47	logimcld 26631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ≤ π))
160	159	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))))
161	73, 103	logimcld 26631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π))
162	161	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π)
163		leneg 11793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
164	142, 123, 163	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
165	162, 164	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
166	157, 157, 139, 158, 160, 165	ltleaddd 11911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
167	140, 143	negsubd 11653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
168	166, 167	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
169	156, 168	eqbrtrrid 5202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
170	123	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
171	157, 170, 151	ltsubaddd 11886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ↔ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)))
172	169, 171	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
173		0red 11293	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
174	6	imcld 15244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
175		peano2rem 11603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
177		peano2re 11463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
178	174, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
179	174	ltm1d 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < (ℑ‘𝐴))
180	174	ltp1d 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
181	176, 174, 178, 179, 180	lttrd 11451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
182		ltdiv1 12159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴))) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
183	176, 178, 35, 48, 182	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
184	181, 183	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
185		imsub 15184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
186	6, 2, 185	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
187		imi 15206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘i) = 1
188	187	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1)
189	186, 188	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1))
190	189, 39	oveq12d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) = (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)))
191		imadd 15183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
192	6, 2, 191	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
193	187	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1)
194	192, 193	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1))
195	194, 83	oveq12d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))) = (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
196	184, 190, 195	3brtr4d 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) < ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
197		tanarg 26679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
198	30, 42, 197	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
199		tanarg 26679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
200	73, 99, 199	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
201	196, 198, 200	3brtr4d 5198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
202	48, 39	breqtrrd 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 − i)))
203		argregt0 26670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 − i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
204	30, 202, 203	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
205	48, 83	breqtrrd 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 + i)))
206		argregt0 26670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 + i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
207	73, 205, 206	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
208		tanord 26598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
209	204, 207, 208	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
210	201, 209	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
211	143	addlidd 11491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
212	210, 211	breqtrrd 5194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
213	139, 142, 173	ltsubaddd 11886	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0 ↔ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
214	212, 213	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0)
215	151, 173, 170, 214	ltadd1dd 11901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < (0 + π))
216	106	addlidi 11478	. . . 4 ⊢ (0 + π) = π
217	215, 216	breqtrdi 5207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)
218	154	rexri 11348	. . . 4 ⊢ -π ∈ ℝ*
219	123	rexri 11348	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ*
220		elioo2 13448	. . . 4 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)))
221	218, 219, 220	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π))
222	153, 172, 217, 221	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π))
223	150, 222	eqeltrd 2844	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  (,)cioo 13407  ℜcre 15146  ℑcim 15147  tanctan 16113  πcpi 16114  logclog 26614  arctancatan 26925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-atan 26928

This theorem is referenced by:  atanlogsub  26977  atanbndlem  26986