Theorem atanlogsublem 27061

Description: Lemma for atanlogsub 27062. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogsublem	⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Proof of Theorem atanlogsublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11159	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-icn 11160	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
3		atandm2 27023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
4	3	birani 508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
5	4	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		mulcl 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7	2, 5, 6	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8		addcl 11183	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	4	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
11	9, 10	logcld 26716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
12		subcl 11457	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	1, 7, 12	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	4	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 26716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16	11, 15	imsubd 15270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
17	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → i ∈ ℂ)
18	17, 5, 17	subdid 11671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = ((i · 𝐴) − (i · i)))
19		ixi 11844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · i) = -1
20	19	oveq2i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) − -1)
21		subneg 11508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
22	7, 1, 21	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
23	20, 22	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) + 1))
24		addcom 11397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
25	7, 1, 24	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
26	18, 23, 25	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = (1 + (i · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
28		subcl 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
29	5, 2, 28	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
30		resub 15180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
31	5, 2, 30	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
32		rei 15209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℜ‘i) = 0
33	32	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) − 0)
34	5	recld 15247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
36	35	subid1d 11559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − 0) = (ℜ‘𝐴))
37	33, 36	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
38	31, 37	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘𝐴))
39		gt0ne0 11680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
40	34, 39	sylancom 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
41	38, 40	eqnetrd 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0)
42		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘0))
43		re0 15205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘0) = 0
44	42, 43	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = 0)
45	44	necon3i 2990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0 → (𝐴 − i) ≠ 0)
46	41, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ≠ 0)
47		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
48		0re 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		ltle 11299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
50	48, 34, 49	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
51	47, 50	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
52	51, 38	breqtrrd 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i)))
53		logimul 26760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i))) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
54	29, 46, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
55	27, 54	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
56	55	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))))
57	29, 46	logcld 26716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ)
58		halfpire 26610	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
59	58	recni 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
60	2, 59	mulcli 11217	. . . . . . 7 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
61		imadd 15187	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
62	57, 60, 61	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
63		reim 15162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
64	59, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
65		rere 15175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
66	58, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
67	64, 66	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
68	67	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2))
69	62, 68	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
70	56, 69	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
71		addcl 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
72	5, 2, 71	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
73		mulcl 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
74	2, 72, 73	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
75		reim 15162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
76	72, 75	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
77		readd 15179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
78	5, 2, 77	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
79	32	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) + 0)
80	35	addridd 11411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
81	79, 80	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
82	78, 81	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘𝐴))
83	76, 82	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · (𝐴 + i))) = (ℜ‘𝐴))
84	47, 83	breqtrrd 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
85		logneg2 26761	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i)))) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
86	74, 84, 85	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
87	17, 5, 17	adddid 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) + (i · i)))
88	19	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) + -1)
89		negsub 11507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
90	7, 1, 89	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
91	88, 90	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) − 1))
92	87, 91	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) − 1))
93	92	negeqd 11452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = -((i · 𝐴) − 1))
94		negsubdi2 11518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
95	7, 1, 94	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
96	93, 95	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = (1 − (i · 𝐴)))
97	96	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
98	82, 40	eqnetrd 3025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0)
99		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘0))
100	99, 43	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = 0)
101	100	necon3i 2990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0 → (𝐴 + i) ≠ 0)
102	98, 101	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ≠ 0)
103	72, 102	logcld 26716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ)
104	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (π / 2)) ∈ ℂ)
105		picn 26602	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
106	2, 105	mulcli 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · π) ∈ ℂ)
108	51, 82	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i)))
109		logimul 26760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i))) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
110	72, 102, 108, 109	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
111	110	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = (((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))) − (i · π)))
112	103, 104, 107, 111	assraddsubd 11629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
113	86, 97, 112	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
114	113	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))))
115	60, 106	subcli 11535	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ
116		imadd 15187	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
117	103, 115, 116	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
118		imsub 15188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))))
119	60, 106, 118	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π)))
120		reim 15162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
121	105, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
122		pire 26600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
123		rere 15175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ‘π) = π
125	121, 124	eqtr3i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
126	67, 125	oveq12i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))) = ((π / 2) − π)
127	59	negcli 11527	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
128	105, 59	negsubi 11537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
129		pidiv2halves 26613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
130	105, 59, 59, 129	subaddrii 11548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
131	128, 130	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
132	59, 105, 127, 131	subaddrii 11548	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
133	119, 126, 132	3eqtri 2790	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = -(π / 2)
134	133	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))
135	117, 134	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
136	114, 135	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
137	70, 136	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))))
138	57	imcld 15248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℝ)
139	138	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℂ)
140	59	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℂ)
141	103	imcld 15248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
142	141	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℂ)
143	127	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) ∈ ℂ)
144	139, 140, 142, 143	addsub4d 11617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))))
145	59, 59	subnegi 11538	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
146	145, 129	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
147	146	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)
148	144, 147	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
149	16, 137, 148	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
150	138, 141	resubcld 11643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ)
151		readdcl 11184	. . . 4 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
152	150, 122, 151	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
153	122	renegcli 11520	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
154	153	recni 11224	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℂ
155	154, 105	negsubi 11537	. . . . 5 ⊢ (-π + -π) = (-π − π)
156	153	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
157	141	renegcld 11642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
158	29, 46	logimcld 26717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ≤ π))
159	158	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))))
160	72, 102	logimcld 26717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π))
161	160	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π)
162		leneg 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
163	141, 122, 162	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
164	161, 163	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
165	156, 156, 138, 157, 159, 164	ltleaddd 11836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
166	139, 142	negsubd 11576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
167	165, 166	breqtrd 5138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
168	155, 167	eqbrtrrid 5148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
169	122	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
170	156, 169, 150	ltsubaddd 11811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ↔ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)))
171	168, 170	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
172		0red 11212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
173	5	imcld 15248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
174		peano2rem 11526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
175	173, 174	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
176		peano2re 11384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
177	173, 176	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
178	173	ltm1d 12148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < (ℑ‘𝐴))
179	173	ltp1d 12146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
180	175, 173, 177, 178, 179	lttrd 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
181		ltdiv1 12080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴))) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
182	175, 177, 34, 47, 181	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
183	180, 182	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
184		imsub 15188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
185	5, 2, 184	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
186		imi 15210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℑ‘i) = 1
187	186	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1)
188	185, 187	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1))
189	188, 38	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) = (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)))
190		imadd 15187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
191	5, 2, 190	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
192	186	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1)
193	191, 192	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1))
194	193, 82	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))) = (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
195	183, 189, 194	3brtr4d 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) < ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
196		tanarg 26765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
197	29, 41, 196	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
198		tanarg 26765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
199	72, 98, 198	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
200	195, 197, 199	3brtr4d 5144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
201	47, 38	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 − i)))
202		argregt0 26756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 − i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
203	29, 201, 202	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
204	47, 82	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 + i)))
205		argregt0 26756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 + i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
206	72, 204, 205	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
207		tanord 26684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
208	203, 206, 207	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
209	200, 208	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
210	142	addlidd 11412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
211	209, 210	breqtrrd 5140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
212	138, 141, 172	ltsubaddd 11811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0 ↔ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
213	211, 212	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0)
214	150, 172, 169, 213	ltadd1dd 11826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < (0 + π))
215	105	addlidi 11399	. . . 4 ⊢ (0 + π) = π
216	214, 215	breqtrdi 5153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)
217	153	rexri 11268	. . . 4 ⊢ -π ∈ ℝ*
218	122	rexri 11268	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ*
219		elioo2 13414	. . . 4 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)))
220	217, 218, 219	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π))
221	152, 171, 216, 220	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π))
222	149, 221	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  ici 11103   + caddc 11104   · cmul 11106  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11872  2c2 12296  (,)cioo 13373  ℜcre 15150  ℑcim 15151  tanctan 16120  πcpi 16121  logclog 26700  arctancatan 27010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-tan 16126  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26702  df-atan 27013

This theorem is referenced by:  atanlogsub  27062  atanbndlem  27071