Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones6 40605
Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones6.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones6.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones6.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
sticksstones6.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
sticksstones6.7 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
Assertion
Ref Expression
sticksstones6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   𝑖,𝑋,π‘₯   𝑖,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(π‘₯,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones6
StepHypRef Expression
1 sticksstones6.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
2 elfznn 13476 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•)
43nnred 12173 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5 fzfid 13884 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑋) ∈ Fin)
6 1zzd 12539 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ∈ β„€)
7 sticksstones6.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
87nn0zd 12530 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
98adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
109peano2zd 12615 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
11 elfznn 13476 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
1211adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
1312nnzd 12531 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
1412nnge1d 12206 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
1512nnred 12173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
169zred 12612 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
1710zred 12612 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
183adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
1918nnred 12173 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
20 elfzle2 13451 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
2120adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
22 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
231, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
2515, 19, 16, 21, 24letrd 11317 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝐾)
2616lep1d 12091 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
2715, 16, 17, 25, 26letrd 11317 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
286, 10, 13, 14, 27elfzd 13438 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29 sticksstones6.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
31 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
3230, 31ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3332adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3428, 33mpdan 686 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
355, 34fsumnn0cl 15626 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3635nn0red 12479 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
37 sticksstones6.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (1...𝐾))
38 elfznn 13476 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (1...𝐾) β†’ π‘Œ ∈ β„•)
3937, 38syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
4039nnred 12173 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
41 fzfid 13884 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) ∈ Fin)
42 1zzd 12539 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„€)
438adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
4443peano2zd 12615 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
45 elfzelz 13447 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
4645adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
47 1red 11161 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ ℝ)
484adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4948, 47readdcld 11189 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
5046zred 12612 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
51 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
524, 51readdcld 11189 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
533nnge1d 12206 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑋)
544ltp1d 12090 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 < (𝑋 + 1))
554, 52, 54ltled 11308 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 + 1))
5651, 4, 52, 53, 55letrd 11317 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
5756adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
58 elfzle1 13450 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
5958adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
6047, 49, 50, 57, 59letrd 11317 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
6140adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
6244zred 12612 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63 elfzle2 13451 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
6463adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
6543zred 12612 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
66 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ (1...𝐾) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6737, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6867adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6965lep1d 12091 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
7061, 65, 62, 68, 69letrd 11317 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ (𝐾 + 1))
7150, 61, 62, 64, 70letrd 11317 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
7242, 44, 46, 60, 71elfzd 13438 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7332adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
7472, 73mpdan 686 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
7574nn0red 12479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
7641, 75fsumrecl 15624 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
7736, 76readdcld 11189 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
78 sticksstones6.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
7974nn0ge0d 12481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘–))
8041, 75, 79fsumge0 15685 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))
8136, 76addge01d 11748 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
8280, 81mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
834, 36, 40, 77, 78, 82ltleaddd 11781 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) < (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
84 sticksstones6.7 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
8584a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–))))
86 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
8786oveq2d 7374 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑋))
8887sumeq1d 15591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–))
8986, 88oveq12d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
903nnnn0d 12478 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
9190, 35nn0addcld 12482 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
9285, 89, 1, 91fvmptd 6956 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
9392eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) = (πΉβ€˜π‘‹))
94 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ π‘₯ = π‘Œ)
9594oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (1...π‘₯) = (1...π‘Œ))
9695sumeq1d 15591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))
9794, 96oveq12d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
9839nnnn0d 12478 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
99 fzfid 13884 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...π‘Œ) ∈ Fin)
100 1zzd 12539 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„€)
1018adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
102101peano2zd 12615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
103 elfzelz 13447 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
104103adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
105 elfzle1 13450 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 1 ≀ 𝑖)
106105adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
107104zred 12612 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
10840adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
109102zred 12612 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
111110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
112101zred 12612 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
11367adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
114112lep1d 12091 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
115108, 112, 109, 113, 114letrd 11317 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ (𝐾 + 1))
116107, 108, 109, 111, 115letrd 11317 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
117100, 102, 104, 106, 116elfzd 13438 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
11832adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
119117, 118mpdan 686 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
12099, 119fsumnn0cl 15626 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
12198, 120nn0addcld 12482 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
12285, 97, 37, 121fvmptd 6956 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
123 fzdisj 13474 . . . . . . 7 (𝑋 < (𝑋 + 1) β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) = βˆ…)
12454, 123syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) = βˆ…)
125 1zzd 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
12698nn0zd 12530 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„€)
12790nn0zd 12530 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
1284, 40, 78ltled 11308 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
129125, 126, 127, 53, 128elfzd 13438 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...π‘Œ))
130 fzsplit 13473 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (1...π‘Œ) β†’ (1...π‘Œ) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)))
131129, 130syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1...π‘Œ) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)))
132119nn0red 12479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
133132recnd 11188 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
134124, 131, 99, 133fsumsplit 15631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
135134oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) = (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
136122, 135eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
137136eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
13883, 93, 1373brtr3d 5137 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ...cfz 13430  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  sticksstones8  40607
  Copyright terms: Public domain W3C validator