Theorem sticksstones6 42643

Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones6.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones6.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones6.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
sticksstones6.7	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
sticksstones6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑖,𝑋,𝑥   𝑖,𝑌,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones6.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
2		elfznn 13505	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12187	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		fzfid 13933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
6		1zzd 12556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
7		sticksstones6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	peano2zd 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11		elfznn 13505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℕ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
15	12	nnred 12187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
16	9	zred 12631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℝ)
17	10	zred 12631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
18	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elfzle2 13480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
22		elfzle2 13480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ 𝐾)
25	15, 19, 16, 21, 24	letrd 11301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
26	16	lep1d 12085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
27	15, 16, 17, 25, 26	letrd 11301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
28	6, 10, 13, 14, 27	elfzd 13467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29		sticksstones6.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
31		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
32	30, 31	ffvelcdmd 7033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
33	32	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
34	28, 33	mpdan 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
35	5, 34	fsumnn0cl 15696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12497	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
37		sticksstones6.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
38		elfznn 13505	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ∈ ℕ)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
40	39	nnred 12187	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41		fzfid 13933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...𝑌) ∈ Fin)
42		1zzd 12556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
43	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
44	43	peano2zd 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
45		elfzelz 13476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
46	45	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
47		1red 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℝ)
48	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
49	48, 47	readdcld 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
50	46	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
51		1red 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
52	4, 51	readdcld 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
53	3	nnge1d 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
54	4	ltp1d 12084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
55	4, 52, 54	ltled 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
56	51, 4, 52, 53, 55	letrd 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 1))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
58		elfzle1 13479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
59	58	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
60	47, 49, 50, 57, 59	letrd 11301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
61	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
62	44	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63		elfzle2 13480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
64	63	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
65	43	zred 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
66		elfzle2 13480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ≤ 𝐾)
67	37, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐾)
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
69	65	lep1d 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
70	61, 65, 62, 68, 69	letrd 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
71	50, 61, 62, 64, 70	letrd 11301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
72	42, 44, 46, 60, 71	elfzd 13467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
73	32	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
74	72, 73	mpdan 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
75	74	nn0red 12497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
76	41, 75	fsumrecl 15694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
77	36, 76	readdcld 11172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℝ)
78		sticksstones6.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
79	74	nn0ge0d 12499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 0 ≤ (𝐺‘𝑖))
80	41, 75, 79	fsumge0 15756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))
81	36, 76	addge01d 11736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
82	80, 81	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
83	4, 36, 40, 77, 78, 82	ltleaddd 11769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) < (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
84		sticksstones6.7	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
85	84	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
86		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
87	86	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
88	87	sumeq1d 15660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
89	86, 88	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
90	3	nnnn0d 12496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
91	90, 35	nn0addcld 12500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
92	85, 89, 1, 91	fvmptd 6950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
93	92	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) = (𝐹‘𝑋))
94		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
95	94	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (1...𝑥) = (1...𝑌))
96	95	sumeq1d 15660	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖))
97	94, 96	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
98	39	nnnn0d 12496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
99		fzfid 13933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) ∈ Fin)
100		1zzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
101	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
102	101	peano2zd 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
103		elfzelz 13476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
104	103	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
105		elfzle1 13479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 1 ≤ 𝑖)
106	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
107	104	zred 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
108	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
109	102	zred 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110		elfzle2 13480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
112	101	zred 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
113	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
114	112	lep1d 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
115	108, 112, 109, 113, 114	letrd 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
116	107, 108, 109, 111, 115	letrd 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
117	100, 102, 104, 106, 116	elfzd 13467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
118	32	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
119	117, 118	mpdan 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
120	99, 119	fsumnn0cl 15696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
121	98, 120	nn0addcld 12500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
122	85, 97, 37, 121	fvmptd 6950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
123		fzdisj 13503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
124	54, 123	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
125		1zzd 12556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
126	98	nn0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
127	90	nn0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
128	4, 40, 78	ltled 11292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
129	125, 126, 127, 53, 128	elfzd 13467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑌))
130		fzsplit 13502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑌) → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
131	129, 130	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
132	119	nn0red 12497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
133	132	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
134	124, 131, 99, 133	fsumsplit 15701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
135	134	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
136	122, 135	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
137	136	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))) = (𝐹‘𝑌))
138	83, 93, 137	3brtr3d 5110	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4268   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ...cfz 13459  Σcsu 15646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647

This theorem is referenced by:  sticksstones8  42645