Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones6 40962
Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones6.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones6.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones6.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
sticksstones6.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
sticksstones6.7 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
Assertion
Ref Expression
sticksstones6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   𝑖,𝑋,π‘₯   𝑖,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(π‘₯,𝑖)
Proof of Theorem sticksstones6
StepHypRef Expression
1 sticksstones6.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
2 elfznn 13529 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•)
43nnred 12226 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5 fzfid 13937 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑋) ∈ Fin)
6 1zzd 12592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ∈ β„€)
7 sticksstones6.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
87nn0zd 12583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
109peano2zd 12668 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
11 elfznn 13529 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
1312nnzd 12584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
1412nnge1d 12259 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
1512nnred 12226 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
169zred 12665 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
1710zred 12665 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
183adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
1918nnred 12226 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
20 elfzle2 13504 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
22 elfzle2 13504 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
231, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
2515, 19, 16, 21, 24letrd 11370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝐾)
2616lep1d 12144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
2715, 16, 17, 25, 26letrd 11370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
286, 10, 13, 14, 27elfzd 13491 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29 sticksstones6.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
31 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
3230, 31ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3332adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3428, 33mpdan 685 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
355, 34fsumnn0cl 15681 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3635nn0red 12532 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
37 sticksstones6.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (1...𝐾))
38 elfznn 13529 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (1...𝐾) β†’ π‘Œ ∈ β„•)
3937, 38syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
4039nnred 12226 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
41 fzfid 13937 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) ∈ Fin)
42 1zzd 12592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„€)
438adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
4443peano2zd 12668 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
45 elfzelz 13500 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
4645adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
47 1red 11214 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ ℝ)
484adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4948, 47readdcld 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
5046zred 12665 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
51 1red 11214 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
524, 51readdcld 11242 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
533nnge1d 12259 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑋)
544ltp1d 12143 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 < (𝑋 + 1))
554, 52, 54ltled 11361 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 + 1))
5651, 4, 52, 53, 55letrd 11370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
58 elfzle1 13503 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
5958adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
6047, 49, 50, 57, 59letrd 11370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
6140adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
6244zred 12665 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63 elfzle2 13504 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
6463adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
6543zred 12665 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
66 elfzle2 13504 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ (1...𝐾) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6737, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6867adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6965lep1d 12144 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
7061, 65, 62, 68, 69letrd 11370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ (𝐾 + 1))
7150, 61, 62, 64, 70letrd 11370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
7242, 44, 46, 60, 71elfzd 13491 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7332adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
7472, 73mpdan 685 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
7574nn0red 12532 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
7641, 75fsumrecl 15679 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
7736, 76readdcld 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
78 sticksstones6.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
7974nn0ge0d 12534 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘–))
8041, 75, 79fsumge0 15740 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))
8136, 76addge01d 11801 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
8280, 81mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
834, 36, 40, 77, 78, 82ltleaddd 11834 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) < (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
84 sticksstones6.7 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
8584a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–))))
86 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
8786oveq2d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑋))
8887sumeq1d 15646 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–))
8986, 88oveq12d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
903nnnn0d 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
9190, 35nn0addcld 12535 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
9285, 89, 1, 91fvmptd 7005 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
9392eqcomd 2738 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) = (πΉβ€˜π‘‹))
94 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ π‘₯ = π‘Œ)
9594oveq2d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (1...π‘₯) = (1...π‘Œ))
9695sumeq1d 15646 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))
9794, 96oveq12d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
9839nnnn0d 12531 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
99 fzfid 13937 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...π‘Œ) ∈ Fin)
100 1zzd 12592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„€)
1018adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
102101peano2zd 12668 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
103 elfzelz 13500 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
104103adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
105 elfzle1 13503 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 1 ≀ 𝑖)
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
107104zred 12665 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
10840adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
109102zred 12665 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110 elfzle2 13504 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
111110adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
112101zred 12665 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
11367adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
114112lep1d 12144 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
115108, 112, 109, 113, 114letrd 11370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ (𝐾 + 1))
116107, 108, 109, 111, 115letrd 11370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
117100, 102, 104, 106, 116elfzd 13491 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
11832adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
119117, 118mpdan 685 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
12099, 119fsumnn0cl 15681 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
12198, 120nn0addcld 12535 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
12285, 97, 37, 121fvmptd 7005 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
123 fzdisj 13527 . . . . . . 7 (𝑋 < (𝑋 + 1) β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) = βˆ…)
12454, 123syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) = βˆ…)
125 1zzd 12592 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
12698nn0zd 12583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„€)
12790nn0zd 12583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
1284, 40, 78ltled 11361 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
129125, 126, 127, 53, 128elfzd 13491 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...π‘Œ))
130 fzsplit 13526 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (1...π‘Œ) β†’ (1...π‘Œ) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)))
131129, 130syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1...π‘Œ) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)))
132119nn0red 12532 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
133132recnd 11241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
134124, 131, 99, 133fsumsplit 15686 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
135134oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) = (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
136122, 135eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
137136eqcomd 2738 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
13883, 93, 1373brtr3d 5179 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  ...cfz 13483  Ξ£csu 15631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632
This theorem is referenced by:  sticksstones8  40964
  Copyright terms: Public domain W3C validator