Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones6 40770
Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones6.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones6.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones6.3 (𝜑𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones6.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5 (𝜑𝑌 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6 (𝜑𝑋 < 𝑌)
sticksstones6.7 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)))
Assertion
Ref Expression
sticksstones6 (𝜑 → (𝐹𝑋) < (𝐹𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑖,𝑋,𝑥   𝑖,𝑌,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones6
StepHypRef Expression
1 sticksstones6.4 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝐾))
2 elfznn 13512 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
43nnred 12209 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fzfid 13920 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
6 1zzd 12575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
7 sticksstones6.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
87nn0zd 12566 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
109peano2zd 12651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11 elfznn 13512 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℕ)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℕ)
1312nnzd 12567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
1412nnge1d 12242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
1512nnred 12209 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
169zred 12648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℝ)
1710zred 12648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
183adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
1918nnred 12209 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
20 elfzle2 13487 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖𝑋)
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖𝑋)
22 elfzle2 13487 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋𝐾)
231, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐾)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋𝐾)
2515, 19, 16, 21, 24letrd 11353 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖𝐾)
2616lep1d 12127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
2715, 16, 17, 25, 26letrd 11353 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
286, 10, 13, 14, 27elfzd 13474 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29 sticksstones6.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
31 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
3230, 31ffvelcdmd 7072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
3332adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
3428, 33mpdan 685 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
355, 34fsumnn0cl 15664 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
3635nn0red 12515 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ∈ ℝ)
37 sticksstones6.5 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (1...𝐾))
38 elfznn 13512 . . . . 5 (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ∈ ℕ)
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
4039nnred 12209 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
41 fzfid 13920 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 + 1)...𝑌) ∈ Fin)
42 1zzd 12575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
438adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4443peano2zd 12651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
45 elfzelz 13483 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
4645adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
47 1red 11197 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℝ)
484adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4948, 47readdcld 11225 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
5046zred 12648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
51 1red 11197 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
524, 51readdcld 11225 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
533nnge1d 12242 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
544ltp1d 12126 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 < (𝑋 + 1))
554, 52, 54ltled 11344 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
5651, 4, 52, 53, 55letrd 11353 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 1))
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
58 elfzle1 13486 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
5958adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
6047, 49, 50, 57, 59letrd 11353 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
6140adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
6244zred 12648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63 elfzle2 13487 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖𝑌)
6463adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖𝑌)
6543zred 12648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
66 elfzle2 13487 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌𝐾)
6737, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝐾)
6867adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌𝐾)
6965lep1d 12127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
7061, 65, 62, 68, 69letrd 11353 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
7150, 61, 62, 64, 70letrd 11353 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
7242, 44, 46, 60, 71elfzd 13474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7332adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
7472, 73mpdan 685 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
7574nn0red 12515 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
7641, 75fsumrecl 15662 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖) ∈ ℝ)
7736, 76readdcld 11225 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
78 sticksstones6.6 . . 3 (𝜑𝑋 < 𝑌)
7974nn0ge0d 12517 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
8041, 75, 79fsumge0 15723 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖))
8136, 76addge01d 11784 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖))))
8280, 81mpbid 231 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖)))
834, 36, 40, 77, 78, 82ltleaddd 11817 . 2 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) < (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖))))
84 sticksstones6.7 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)))
8584a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖))))
86 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
8786oveq2d 7409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
8887sumeq1d 15629 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖))
8986, 88oveq12d 7411 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
903nnnn0d 12514 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
9190, 35nn0addcld 12518 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ∈ ℕ0)
9285, 89, 1, 91fvmptd 6991 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
9392eqcomd 2737 . 2 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) = (𝐹𝑋))
94 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
9594oveq2d 7409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (1...𝑥) = (1...𝑌))
9695sumeq1d 15629 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺𝑖))
9794, 96oveq12d 7411 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺𝑖)))
9839nnnn0d 12514 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℕ0)
99 fzfid 13920 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑌) ∈ Fin)
100 1zzd 12575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
1018adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
102101peano2zd 12651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
103 elfzelz 13483 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
104103adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
105 elfzle1 13486 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 1 ≤ 𝑖)
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
107104zred 12648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
10840adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
109102zred 12648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110 elfzle2 13487 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖𝑌)
111110adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖𝑌)
112101zred 12648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11367adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌𝐾)
114112lep1d 12127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
115108, 112, 109, 113, 114letrd 11353 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
116107, 108, 109, 111, 115letrd 11353 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
117100, 102, 104, 106, 116elfzd 13474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
11832adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
119117, 118mpdan 685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
12099, 119fsumnn0cl 15664 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
12198, 120nn0addcld 12518 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺𝑖)) ∈ ℕ0)
12285, 97, 37, 121fvmptd 6991 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑌) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺𝑖)))
123 fzdisj 13510 . . . . . . 7 (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
12454, 123syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
125 1zzd 12575 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12698nn0zd 12566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℤ)
12790nn0zd 12566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
1284, 40, 78ltled 11344 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑌)
129125, 126, 127, 53, 128elfzd 13474 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑌))
130 fzsplit 13509 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (1...𝑌) → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
131129, 130syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
132119nn0red 12515 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
133132recnd 11224 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
134124, 131, 99, 133fsumsplit 15669 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖)))
135134oveq2d 7409 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺𝑖)) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖))))
136122, 135eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑌) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖))))
137136eqcomd 2737 . 2 (𝜑 → (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺𝑖))) = (𝐹𝑌))
13883, 93, 1373brtr3d 5172 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) < (𝐹𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3942  cin 3943  c0 4318   class class class wbr 5141  cmpt 5224  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   < clt 11230  cle 11231  cn 12194  0cn0 12454  cz 12540  ...cfz 13466  Σcsu 15614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615
This theorem is referenced by:  sticksstones8  40772
  Copyright terms: Public domain W3C validator