Theorem sticksstones6 39776

Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones6.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones6.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones6.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
sticksstones6.7	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
sticksstones6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑖,𝑋,𝑥   𝑖,𝑌,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones6.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
2		elfznn 13106	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
4	3	nnred 11810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		fzfid 13511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
6		1zzd 12173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
7		sticksstones6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	peano2zd 12250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11		elfznn 13106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℕ)
12	11	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 11843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
15	12	nnred 11810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
16	9	zred 12247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℝ)
17	10	zred 12247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
18	3	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
19	18	nnred 11810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elfzle2 13081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
21	20	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
22		elfzle2 13081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
24	23	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ 𝐾)
25	15, 19, 16, 21, 24	letrd 10954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
26	16	lep1d 11728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
27	15, 16, 17, 25, 26	letrd 10954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
28	6, 10, 13, 14, 27	elfzd 13068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29		sticksstones6.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
30	29	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
31		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
32	30, 31	ffvelrnd 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
33	32	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
34	28, 33	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
35	5, 34	fsumnn0cl 15265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12116	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
37		sticksstones6.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
38		elfznn 13106	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ∈ ℕ)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
40	39	nnred 11810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41		fzfid 13511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...𝑌) ∈ Fin)
42		1zzd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
43	8	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
44	43	peano2zd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
45		elfzelz 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
46	45	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
47		1red 10799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℝ)
48	4	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
49	48, 47	readdcld 10827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
50	46	zred 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
51		1red 10799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
52	4, 51	readdcld 10827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
53	3	nnge1d 11843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
54	4	ltp1d 11727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
55	4, 52, 54	ltled 10945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
56	51, 4, 52, 53, 55	letrd 10954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 1))
57	56	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
58		elfzle1 13080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
59	58	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
60	47, 49, 50, 57, 59	letrd 10954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
61	40	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
62	44	zred 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63		elfzle2 13081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
64	63	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
65	43	zred 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
66		elfzle2 13081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ≤ 𝐾)
67	37, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐾)
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
69	65	lep1d 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
70	61, 65, 62, 68, 69	letrd 10954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
71	50, 61, 62, 64, 70	letrd 10954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
72	42, 44, 46, 60, 71	elfzd 13068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
73	32	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
74	72, 73	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
75	74	nn0red 12116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
76	41, 75	fsumrecl 15263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
77	36, 76	readdcld 10827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℝ)
78		sticksstones6.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
79	74	nn0ge0d 12118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 0 ≤ (𝐺‘𝑖))
80	41, 75, 79	fsumge0 15322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))
81	36, 76	addge01d 11385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
82	80, 81	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
83	4, 36, 40, 77, 78, 82	ltleaddd 11418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) < (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
84		sticksstones6.7	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
85	84	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
86		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
87	86	oveq2d 7207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
88	87	sumeq1d 15230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
89	86, 88	oveq12d 7209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
90	3	nnnn0d 12115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
91	90, 35	nn0addcld 12119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
92	85, 89, 1, 91	fvmptd 6803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
93	92	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) = (𝐹‘𝑋))
94		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
95	94	oveq2d 7207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (1...𝑥) = (1...𝑌))
96	95	sumeq1d 15230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖))
97	94, 96	oveq12d 7209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
98	39	nnnn0d 12115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
99		fzfid 13511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) ∈ Fin)
100		1zzd 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
101	8	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
102	101	peano2zd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
103		elfzelz 13077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
104	103	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
105		elfzle1 13080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 1 ≤ 𝑖)
106	105	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
107	104	zred 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
108	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
109	102	zred 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110		elfzle2 13081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
111	110	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
112	101	zred 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
113	67	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
114	112	lep1d 11728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
115	108, 112, 109, 113, 114	letrd 10954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
116	107, 108, 109, 111, 115	letrd 10954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
117	100, 102, 104, 106, 116	elfzd 13068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
118	32	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
119	117, 118	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
120	99, 119	fsumnn0cl 15265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
121	98, 120	nn0addcld 12119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
122	85, 97, 37, 121	fvmptd 6803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
123		fzdisj 13104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
124	54, 123	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
125		1zzd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
126	98	nn0zd 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
127	90	nn0zd 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
128	4, 40, 78	ltled 10945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
129	125, 126, 127, 53, 128	elfzd 13068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑌))
130		fzsplit 13103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑌) → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
131	129, 130	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
132	119	nn0red 12116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
133	132	recnd 10826	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
134	124, 131, 99, 133	fsumsplit 15269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
135	134	oveq2d 7207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
136	122, 135	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
137	136	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))) = (𝐹‘𝑌))
138	83, 93, 137	3brtr3d 5070	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3851   ∩ cin 3852  ∅c0 4223   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5120  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   < clt 10832   ≤ cle 10833  ℕcn 11795  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  ...cfz 13060  Σcsu 15214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-ico 12906  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-sum 15215

This theorem is referenced by:  sticksstones8  39778