Theorem sticksstones6 40107

Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones6.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones6.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones6.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
sticksstones6.7	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
sticksstones6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑖,𝑋,𝑥   𝑖,𝑌,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones6.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
2		elfznn 13285	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
4	3	nnred 11988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		fzfid 13693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
6		1zzd 12351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
7		sticksstones6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	peano2zd 12429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11		elfznn 13285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℕ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 12021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
15	12	nnred 11988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
16	9	zred 12426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℝ)
17	10	zred 12426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
18	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
19	18	nnred 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elfzle2 13260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
22		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ 𝐾)
25	15, 19, 16, 21, 24	letrd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
26	16	lep1d 11906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
27	15, 16, 17, 25, 26	letrd 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
28	6, 10, 13, 14, 27	elfzd 13247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29		sticksstones6.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
31		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
32	30, 31	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
33	32	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
34	28, 33	mpdan 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
35	5, 34	fsumnn0cl 15448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12294	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
37		sticksstones6.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
38		elfznn 13285	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ∈ ℕ)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
40	39	nnred 11988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41		fzfid 13693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...𝑌) ∈ Fin)
42		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
43	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
44	43	peano2zd 12429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
45		elfzelz 13256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
46	45	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
47		1red 10976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℝ)
48	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
49	48, 47	readdcld 11004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
50	46	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
51		1red 10976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
52	4, 51	readdcld 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
53	3	nnge1d 12021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
54	4	ltp1d 11905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
55	4, 52, 54	ltled 11123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
56	51, 4, 52, 53, 55	letrd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 1))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
58		elfzle1 13259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
59	58	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
60	47, 49, 50, 57, 59	letrd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
61	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
62	44	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63		elfzle2 13260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
64	63	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
65	43	zred 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
66		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ≤ 𝐾)
67	37, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐾)
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
69	65	lep1d 11906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
70	61, 65, 62, 68, 69	letrd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
71	50, 61, 62, 64, 70	letrd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
72	42, 44, 46, 60, 71	elfzd 13247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
73	32	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
74	72, 73	mpdan 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
75	74	nn0red 12294	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
76	41, 75	fsumrecl 15446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
77	36, 76	readdcld 11004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℝ)
78		sticksstones6.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
79	74	nn0ge0d 12296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 0 ≤ (𝐺‘𝑖))
80	41, 75, 79	fsumge0 15507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))
81	36, 76	addge01d 11563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
82	80, 81	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
83	4, 36, 40, 77, 78, 82	ltleaddd 11596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) < (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
84		sticksstones6.7	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
85	84	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
86		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
87	86	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
88	87	sumeq1d 15413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
89	86, 88	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
90	3	nnnn0d 12293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
91	90, 35	nn0addcld 12297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
92	85, 89, 1, 91	fvmptd 6882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
93	92	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) = (𝐹‘𝑋))
94		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
95	94	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (1...𝑥) = (1...𝑌))
96	95	sumeq1d 15413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖))
97	94, 96	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
98	39	nnnn0d 12293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
99		fzfid 13693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) ∈ Fin)
100		1zzd 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
101	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
102	101	peano2zd 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
103		elfzelz 13256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
104	103	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
105		elfzle1 13259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 1 ≤ 𝑖)
106	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
107	104	zred 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
108	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
109	102	zred 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
112	101	zred 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
113	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
114	112	lep1d 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
115	108, 112, 109, 113, 114	letrd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
116	107, 108, 109, 111, 115	letrd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
117	100, 102, 104, 106, 116	elfzd 13247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
118	32	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
119	117, 118	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
120	99, 119	fsumnn0cl 15448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
121	98, 120	nn0addcld 12297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
122	85, 97, 37, 121	fvmptd 6882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
123		fzdisj 13283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
124	54, 123	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
125		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
126	98	nn0zd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
127	90	nn0zd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
128	4, 40, 78	ltled 11123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
129	125, 126, 127, 53, 128	elfzd 13247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑌))
130		fzsplit 13282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑌) → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
131	129, 130	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
132	119	nn0red 12294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
133	132	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
134	124, 131, 99, 133	fsumsplit 15453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
135	134	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
136	122, 135	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
137	136	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))) = (𝐹‘𝑌))
138	83, 93, 137	3brtr3d 5105	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sticksstones8  40109