Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones6 41555
Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones6.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones6.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones6.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
sticksstones6.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
sticksstones6.7 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
Assertion
Ref Expression
sticksstones6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   𝑖,𝑋,π‘₯   𝑖,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(π‘₯,𝑖)
Proof of Theorem sticksstones6
StepHypRef Expression
1 sticksstones6.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
2 elfznn 13554 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•)
43nnred 12249 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
5 fzfid 13962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑋) ∈ Fin)
6 1zzd 12615 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ∈ β„€)
7 sticksstones6.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
87nn0zd 12606 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
109peano2zd 12691 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
11 elfznn 13554 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
1312nnzd 12607 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
1412nnge1d 12282 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
1512nnred 12249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
169zred 12688 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
1710zred 12688 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
183adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
1918nnred 12249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
20 elfzle2 13529 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
22 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
231, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
2515, 19, 16, 21, 24letrd 11393 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝐾)
2616lep1d 12167 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
2715, 16, 17, 25, 26letrd 11393 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
286, 10, 13, 14, 27elfzd 13516 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29 sticksstones6.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
31 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
3230, 31ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3332adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3428, 33mpdan 686 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
355, 34fsumnn0cl 15706 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
3635nn0red 12555 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
37 sticksstones6.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (1...𝐾))
38 elfznn 13554 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (1...𝐾) β†’ π‘Œ ∈ β„•)
3937, 38syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•)
4039nnred 12249 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
41 fzfid 13962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) ∈ Fin)
42 1zzd 12615 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„€)
438adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
4443peano2zd 12691 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
45 elfzelz 13525 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
4645adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
47 1red 11237 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ ℝ)
484adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4948, 47readdcld 11265 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
5046zred 12688 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
51 1red 11237 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
524, 51readdcld 11265 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
533nnge1d 12282 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑋)
544ltp1d 12166 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 < (𝑋 + 1))
554, 52, 54ltled 11384 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 + 1))
5651, 4, 52, 53, 55letrd 11393 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
5756adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
58 elfzle1 13528 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
5958adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
6047, 49, 50, 57, 59letrd 11393 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
6140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
6244zred 12688 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63 elfzle2 13529 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
6463adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
6543zred 12688 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
66 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ (1...𝐾) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6737, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6867adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
6965lep1d 12167 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
7061, 65, 62, 68, 69letrd 11393 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ (𝐾 + 1))
7150, 61, 62, 64, 70letrd 11393 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
7242, 44, 46, 60, 71elfzd 13516 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7332adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
7472, 73mpdan 686 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
7574nn0red 12555 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
7641, 75fsumrecl 15704 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
7736, 76readdcld 11265 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
78 sticksstones6.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
7974nn0ge0d 12557 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘–))
8041, 75, 79fsumge0 15765 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))
8136, 76addge01d 11824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
8280, 81mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
834, 36, 40, 77, 78, 82ltleaddd 11857 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) < (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
84 sticksstones6.7 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
8584a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–))))
86 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
8786oveq2d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑋))
8887sumeq1d 15671 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–))
8986, 88oveq12d 7432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
903nnnn0d 12554 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
9190, 35nn0addcld 12558 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
9285, 89, 1, 91fvmptd 7006 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
9392eqcomd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) = (πΉβ€˜π‘‹))
94 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ π‘₯ = π‘Œ)
9594oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (1...π‘₯) = (1...π‘Œ))
9695sumeq1d 15671 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))
9794, 96oveq12d 7432 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
9839nnnn0d 12554 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
99 fzfid 13962 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...π‘Œ) ∈ Fin)
100 1zzd 12615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„€)
1018adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
102101peano2zd 12691 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
103 elfzelz 13525 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
104103adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
105 elfzle1 13528 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 1 ≀ 𝑖)
106105adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
107104zred 12688 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
10840adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
109102zred 12688 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...π‘Œ) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
111110adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ π‘Œ)
112101zred 12688 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
11367adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ 𝐾)
114112lep1d 12167 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
115108, 112, 109, 113, 114letrd 11393 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ (𝐾 + 1))
116107, 108, 109, 111, 115letrd 11393 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
117100, 102, 104, 106, 116elfzd 13516 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
11832adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
119117, 118mpdan 686 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
12099, 119fsumnn0cl 15706 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
12198, 120nn0addcld 12558 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
12285, 97, 37, 121fvmptd 7006 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
123 fzdisj 13552 . . . . . . 7 (𝑋 < (𝑋 + 1) β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) = βˆ…)
12454, 123syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)) = βˆ…)
125 1zzd 12615 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
12698nn0zd 12606 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„€)
12790nn0zd 12606 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
1284, 40, 78ltled 11384 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
129125, 126, 127, 53, 128elfzd 13516 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...π‘Œ))
130 fzsplit 13551 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (1...π‘Œ) β†’ (1...π‘Œ) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)))
131129, 130syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1...π‘Œ) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)))
132119nn0red 12555 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
133132recnd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘Œ)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
134124, 131, 99, 133fsumsplit 15711 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)))
135134oveq2d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–)) = (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
136122, 135eqtrd 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))))
137136eqcomd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...π‘Œ)(πΊβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
13883, 93, 1373brtr3d 5173 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) < (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  ...cfz 13508  Ξ£csu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657
This theorem is referenced by:  sticksstones8  41557
  Copyright terms: Public domain W3C validator