Theorem sticksstones6 43169

Description: Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones6.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones6.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones6.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
sticksstones6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
sticksstones6.7	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
sticksstones6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑖,𝑋,𝑥   𝑖,𝑌,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑁(𝑥, 𝑖)

Proof of Theorem sticksstones6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones6.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
2		elfznn 13667	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12331	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		fzfid 14096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
6		1zzd 12708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
7		sticksstones6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	peano2zd 12787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11		elfznn 13667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℕ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 12367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
15	12	nnred 12331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
16	9	zred 12784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℝ)
17	10	zred 12784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
18	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elfzle2 13641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
22		elfzle2 13641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
23	1, 22	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ 𝐾)
25	15, 19, 16, 21, 24	letrd 11448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
26	16	lep1d 12229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
27	15, 16, 17, 25, 26	letrd 11448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
28	6, 10, 13, 14, 27	elfzd 13628	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
29		sticksstones6.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
31		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
32	30, 31	ffvelcdmd 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
33	32	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
34	28, 33	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
35	5, 34	fsumnn0cl 15882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12649	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
37		sticksstones6.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (1...𝐾))
38		elfznn 13667	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ∈ ℕ)
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ)
40	39	nnred 12331	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41		fzfid 14096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...𝑌) ∈ Fin)
42		1zzd 12708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
43	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
44	43	peano2zd 12787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
45		elfzelz 13637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
46	45	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
47		1red 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ∈ ℝ)
48	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
49	48, 47	readdcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
50	46	zred 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
51		1red 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
52	4, 51	readdcld 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
53	3	nnge1d 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
54	4	ltp1d 12228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
55	4, 52, 54	ltled 11439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
56	51, 4, 52, 53, 55	letrd 11448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + 1))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
58		elfzle1 13640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
59	58	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
60	47, 49, 50, 57, 59	letrd 11448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
61	40	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
62	44	zred 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
63		elfzle2 13641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
64	63	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
65	43	zred 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
66		elfzle2 13641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝐾) → 𝑌 ≤ 𝐾)
67	37, 66	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐾)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
69	65	lep1d 12229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
70	61, 65, 62, 68, 69	letrd 11448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
71	50, 61, 62, 64, 70	letrd 11448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
72	42, 44, 46, 60, 71	elfzd 13628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
73	32	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
74	72, 73	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
75	74	nn0red 12649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
76	41, 75	fsumrecl 15880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
77	36, 76	readdcld 11319	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℝ)
78		sticksstones6.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
79	74	nn0ge0d 12651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)) → 0 ≤ (𝐺‘𝑖))
80	41, 75, 79	fsumge0 15942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))
81	36, 76	addge01d 11885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
82	80, 81	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
83	4, 36, 40, 77, 78, 82	ltleaddd 11918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) < (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
84		sticksstones6.7	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
85	84	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
86		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
87	86	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
88	87	sumeq1d 15847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
89	86, 88	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
90	3	nnnn0d 12648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
91	90, 35	nn0addcld 12652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
92	85, 89, 1, 91	fvmptd 6993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
93	92	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) = (𝐹‘𝑋))
94		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
95	94	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (1...𝑥) = (1...𝑌))
96	95	sumeq1d 15847	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖))
97	94, 96	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
98	39	nnnn0d 12648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
99		fzfid 14096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) ∈ Fin)
100		1zzd 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
101	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℤ)
102	101	peano2zd 12787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
103		elfzelz 13637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ∈ ℤ)
104	103	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
105		elfzle1 13640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 1 ≤ 𝑖)
106	105	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 1 ≤ 𝑖)
107	104	zred 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ ℝ)
108	40	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
109	102	zred 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
110		elfzle2 13641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑌) → 𝑖 ≤ 𝑌)
111	110	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ 𝑌)
112	101	zred 12784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ∈ ℝ)
113	67	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝐾)
114	112	lep1d 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
115	108, 112, 109, 113, 114	letrd 11448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑌 ≤ (𝐾 + 1))
116	107, 108, 109, 111, 115	letrd 11448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
117	100, 102, 104, 106, 116	elfzd 13628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
118	32	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
119	117, 118	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
120	99, 119	fsumnn0cl 15882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
121	98, 120	nn0addcld 12652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
122	85, 97, 37, 121	fvmptd 6993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
123		fzdisj 13665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
124	54, 123	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...𝑌)) = ∅)
125		1zzd 12708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
126	98	nn0zd 12699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℤ)
127	90	nn0zd 12699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
128	4, 40, 78	ltled 11439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
129	125, 126, 127, 53, 128	elfzd 13628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑌))
130		fzsplit 13664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑌) → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
131	129, 130	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑌) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...𝑌)))
132	119	nn0red 12649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
133	132	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑌)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
134	124, 131, 99, 133	fsumsplit 15887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖)))
135	134	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑌)(𝐺‘𝑖)) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
136	122, 135	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))))
137	136	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...𝑌)(𝐺‘𝑖))) = (𝐹‘𝑌))
138	83, 93, 137	3brtr3d 5136	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) < (𝐹‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ...cfz 13620  Σcsu 15833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ico 13463  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834

This theorem is used by:  sticksstones8  43171