Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrgapw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell14qrgapw 42863
Description: Positive Pell solutions are bounded away from 1, with a friendlier bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgapw ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 2 < 𝐴)

Proof of Theorem pell14qrgapw
StepHypRef Expression
1 2re 12337 . . 3 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
3 eldifi 4140 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
433ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℕ)
54nnrpd 13072 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ+)
6 1rp 13035 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
85, 7rpaddcld 13089 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
98rpsqrtcld 15446 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
109rpred 13074 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
115rpsqrtcld 15446 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
1211rpred 13074 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 11287 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
14 pell14qrre 42844 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15143adant3 1131 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 df-2 12326 . . 3 2 = (1 + 1)
17 1red 11259 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
184nnred 12278 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
19 peano2re 11431 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
214nnge1d 12311 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ 𝐷)
2218ltp1d 12195 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐷 < (𝐷 + 1))
2317, 18, 20, 21, 22lelttrd 11416 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐷 + 1))
24 sq1 14230 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (1↑2) = 1)
264nncnd 12279 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
27 peano2cn 11430 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐷 + 1) ∈ ℂ)
2928sqsqrtd 15474 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘(𝐷 + 1))↑2) = (𝐷 + 1))
3023, 25, 293brtr4d 5179 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (1↑2) < ((√‘(𝐷 + 1))↑2))
31 0le1 11783 . . . . . . 7 0 ≤ 1
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 0 ≤ 1)
339rpge0d 13078 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 0 ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
3417, 10, 32, 33lt2sqd 14291 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (1 < (√‘(𝐷 + 1)) ↔ (1↑2) < ((√‘(𝐷 + 1))↑2)))
3530, 34mpbird 257 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (√‘(𝐷 + 1)))
3626sqsqrtd 15474 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
3721, 25, 363brtr4d 5179 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2))
3811rpge0d 13078 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐷))
3917, 12, 32, 38le2sqd 14292 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (√‘𝐷) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2)))
4037, 39mpbird 257 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ (√‘𝐷))
4117, 17, 10, 12, 35, 40ltleaddd 11881 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
4216, 41eqbrtrid 5182 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 2 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
43 pell14qrgap 42862 . 2 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)
442, 13, 15, 42, 43ltletrd 11418 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  +crp 13031  cexp 14098  csqrt 15268  NNcsquarenn 42823  Pell14QRcpell14qr 42826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-pell1qr 42829  df-pell14qr 42830  df-pell1234qr 42831
This theorem is referenced by:  pellfundex  42873
  Copyright terms: Public domain W3C validator