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Theorem abelthlem7 25797

Description: Lemma for abelth 25800. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
abelthlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
abelthlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
abelthlem7.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
abelthlem7.5	⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
abelthlem7	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀 𝑅,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧 𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑁,𝑛 𝜑,𝑘,𝑛,𝑥 𝑆,𝑘,𝑛,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧) 𝑆(𝑧) 𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛) 𝑁(𝑥,𝑧)

**Proof of Theorem abelthlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6		abelth.6	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 25793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8		abelthlem6.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
9	8	eldifad 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	7, 9	ffvelcdmd 7036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15321	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12		ax-1cn 11109	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem7a 25796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
15	14	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16		subcl 11400	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
17	12, 15, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
18		fzfid 13878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
19		elfznn0 13534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
20		nn0uz 12805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
21		0zd 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	1	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	serf 13936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ₀⟶ℂ)
24	23	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
25		expcl 13985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	15, 25	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
28	19, 27	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
29	18, 28	fsumcl 15618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
30	17, 29	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝑁)
33		abelthlem7.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
34	33	nn0zd 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
35		eluznn0 12842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
36	33, 35	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
37		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
38		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
39	37, 38	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
41		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
43	36, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
44	36, 27	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
45	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 25791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
46	45	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
47	46, 8	sseldd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	abelthlem5 25794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
49	47, 48	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
50	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
51	50, 27	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
52	20, 33, 51	iserex 15541	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ))
53	49, 52	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
54	32, 34, 43, 44, 53	isumcl 15646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
55	17, 54	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
56	55	abscld 15321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
57	31, 56	readdcld 11184	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ∈ ℝ)
58		peano2re 11328	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
59	3, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
60		abelthlem7.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
61	60	rpred 12957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
62	59, 61	remulcld 11185	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) ∈ ℝ)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem6 25795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
64	20, 32, 33, 50, 27, 49	isumsplit 15725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
65	64	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
66	17, 29, 54	adddid 11179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
67	63, 65, 66	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
68	67	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) = (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
69	30, 55	abstrid 15341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
70	68, 69	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
71	3, 61	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℝ)
72	17	abscld 15321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
73	24	abscld 15321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
74	19, 73	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
75	18, 74	fsumrecl 15619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
76		peano2re 11328	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
78	72, 77	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
79	17, 29	absmuld 15339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
80	29	abscld 15321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
81	17	absge0d 15329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(1 − 𝑋)))
82	27	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
83	19, 82	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
84	18, 83	fsumrecl 15619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
85	18, 28	fsumabs 15686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
86	15	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
87		reexpcl 13984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
88	86, 87	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
89		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℝ)
90	24	absge0d 15329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
91	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
92	15	absge0d 15329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
94		0cn 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℂ
95		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
96	95	cnmetdval 24134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
97	15, 94, 96	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
98	15	subid1d 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
99	98	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
100	97, 99	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
101		cnxmet 24136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
102		1xr 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
103		elbl3 23745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ^*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
104	101, 102, 103	mpanl12 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
105	94, 15, 104	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
106	47, 105	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
107	100, 106	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 1)
108		1re 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
109		ltle 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
110	86, 108, 109	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
111	107, 110	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 1)
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ≤ 1)
113		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
114		exple1 14081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
115	91, 93, 112, 113, 114	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
116	88, 89, 73, 90, 115	lemul2ad 12095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1))
117	24, 26	absmuld 15339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))))
118		absexp 15189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
119	15, 118	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
120	119	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
121	117, 120	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
122	73	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℂ)
123	122	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
124	116, 121, 123	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
125	19, 124	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
126	18, 83, 74, 125	fsumle 15684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
127	80, 84, 75, 85, 126	letrd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
128	75	ltp1d 12085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
129	80, 75, 77, 127, 128	lelttrd 11313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
130	80, 77, 129	ltled 11303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
131	80, 77, 72, 81, 130	lemul2ad 12095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
132	79, 131	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
133		abelthlem7.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
134		0red 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135	19, 90	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
136	18, 74, 135	fsumge0 15680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
137	134, 75, 77, 136, 128	lelttrd 11313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
138		ltmuldiv 12028	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))) → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
139	72, 61, 77, 137, 138	syl112anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
140	133, 139	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅)
141	31, 78, 61, 132, 140	lelttrd 11313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) < 𝑅)
142	17, 54	absmuld 15339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
143	54	abscld 15321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
144	39	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
145		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
146		fvex 6855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
148	36, 147	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
149	44	abscld 15321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
150		uzid 12778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
151	34, 150	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
152		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘𝑋)↑𝑘) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
153		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))
154		ovex 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ V
155	152, 153, 154	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
156	36, 155	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
157	36, 88	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
159	149	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
160	148, 159	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
161	86	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
162		absidm 15208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
163	15, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
164	163, 107	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
165	161, 164, 33, 156	geolim2 15756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))))
166		seqex 13908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ V
167		ovex 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ V
168	166, 167	breldm 5864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
169	165, 168	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
170	117, 120	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
171	36, 170	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
172	36, 73	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
173	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
174	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
175	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
176	174, 36, 175	expge0d 14069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
177		abelthlem7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
178	37	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
179	178	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅))
180	179	rspccva 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
181	177, 180	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
182	172, 173, 181	ltled 11303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ≤ 𝑅)
183	172, 173, 157, 176, 182	lemul1ad 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
184	171, 183	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
185	148	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
186		absidm 15208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
187	44, 186	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
188	185, 187	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
189	156	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
190	184, 188, 189	3brtr4d 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) ≤ (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
191	32, 151, 158, 160, 169, 61, 190	cvgcmpce 15703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
192	32, 34, 148, 149, 191	isumrecl 15650	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
193		eldifsni 4750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}) → 𝑋 ≠ 1)
194	8, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1)
195	194	necomd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑋)
196		subeq0 11427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) = 0 ↔ 1 = 𝑋))
197	196	necon3bid 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
198	12, 15, 197	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
199	195, 198	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ≠ 0)
200	17, 199	absrpcld 15333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ⁺)
201	71, 200	rerpdivcld 12988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ)
202	32, 34, 43, 44, 53	isumclim2 15643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
203	32, 34, 148, 159, 191	isumclim2 15643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
204	36, 51	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
205	43	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
206	148, 205	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
207	32, 202, 203, 34, 204, 206	iserabs 15700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
208	86, 33	reexpcld 14068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℝ)
209		difrp 12953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
210	86, 108, 209	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
211	107, 210	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺)
212	208, 211	rerpdivcld 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
213	61, 212	remulcld 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ ℝ)
214	152	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
215		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))
216		ovex 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ V
217	214, 215, 216	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
218	36, 217	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
219	173, 157	remulcld 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℝ)
220	60	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
221	158	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
222	218, 189	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
223	32, 34, 220, 165, 221, 222	isermulc2 15542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
224		seqex 13908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ V
225		ovex 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ V
226	224, 225	breldm 5864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
227	223, 226	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
228	32, 34, 148, 149, 218, 219, 184, 191, 227	isumle 15729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
229	219	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℂ)
230	32, 34, 218, 229, 223	isumclim 15642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
231	228, 230	breqtrd 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
232	60, 211	rpdivcld 12974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ⁺)
233	232	rpred 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
234	208	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℂ)
235	211	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
236	211	rpne0d 12962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ≠ 0)
237	220, 234, 235, 236	div12d 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) = (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
238		1red 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
239	232	rpge0d 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
240		exple1 14081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
241	86, 92, 111, 33, 240	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
242	208, 238, 233, 239, 241	lemul1ad 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
243	232	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℂ)
244	243	mulid2d 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
245	242, 244	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
246	237, 245	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
247	14	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))
248		resubcl 11465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
249	108, 86, 248	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
250	3, 249	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
251	72, 250, 60	lemul2d 13001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ↔ (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))))
252	247, 251	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
253	3	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
254	220, 253, 235	mul12d 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))))
255	220, 235	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅))
256	255	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)))
257	253, 235, 220	mul12d 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
258	254, 256, 257	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
259	252, 258	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
260	249, 71	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ∈ ℝ)
261	61, 260, 200	lemuldivd 13006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ↔ 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
262	259, 261	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))))
263	71	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℂ)
264	72	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
265	200	rpne0d 12962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≠ 0)
266	235, 263, 264, 265	divassd 11966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
267	262, 266	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
268		posdif 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
269	86, 108, 268	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
270	107, 269	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − (abs‘𝑋)))
271		ledivmul 12031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (abs‘𝑋)))) → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
272	61, 201, 249, 270, 271	syl112anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
273	267, 272	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
274	213, 233, 201, 246, 273	letrd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
275	192, 213, 201, 231, 274	letrd 11312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
276	143, 192, 201, 207, 275	letrd 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
277	143, 71, 200	lemuldiv2d 13007	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅) ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
278	276, 277	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
279	142, 278	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
280	31, 56, 61, 71, 141, 279	ltleaddd 11776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
281		1cnd 11150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
282	253, 281, 220	adddird 11180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)))
283	220	mulid2d 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
284	283	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)) = ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅))
285	263, 220	addcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
286	282, 284, 285	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
287	280, 286	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))
288	11, 57, 62, 70, 287	lelttrd 11313	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 {crab 3407 ∖ cdif 3907 ⊆ wss 3910 {csn 4586 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 dom cdm 5633 ∘ ccom 5637 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 / cdiv 11812 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 ℝ⁺crp 12915 ...cfz 13424 seqcseq 13906 ↑cexp 13967 abscabs 15119 ⇝ cli 15366 Σcsu 15570 ∞Metcxmet 20781 ballcbl 20783

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-er 8648 df-map 8767 df-pm 8768 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-rp 12916 df-xadd 13034 df-ico 13270 df-icc 13271 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-shft 14952 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-limsup 15353 df-clim 15370 df-rlim 15371 df-sum 15571 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791

This theorem is referenced by: abelthlem8 25798

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