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Theorem abelthlem7 26771

Description: Lemma for abelth 26774. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
abelthlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
abelthlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
abelthlem7.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
abelthlem7.5	⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
abelthlem7	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀 𝑅,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧 𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑁,𝑛 𝜑,𝑘,𝑛,𝑥 𝑆,𝑘,𝑛,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧) 𝑆(𝑧) 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑘, 𝑛) 𝑁(𝑥, 𝑧)

**Proof of Theorem abelthlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6		abelth.6	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 26767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8		abelthlem6.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
9	8	eldifad 4051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	7, 9	ffvelcdmd 7086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15612	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12		ax-1cn 11262	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem7a 26770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
15	14	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16		subcl 11560	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
17	12, 15, 16	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
18		fzfid 14120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
19		elfznn0 13758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
20		nn0uz 13007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
21		0zd 12709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	1	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	serf 14177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ₀⟶ℂ)
24	23	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
25		expcl 14226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	15, 25	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 11333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
28	19, 27	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
29	18, 28	fsumcl 15905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
30	17, 29	mulcld 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
32		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝑁)
33		abelthlem7.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
34	33	nn0zd 12722	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
35		eluznn0 13048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
36	33, 35	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
37		fveq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
38		oveq2 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
39	37, 38	oveq12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
41		ovex 7454	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
43	36, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
44	36, 27	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
45	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 26765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
46	45	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
47	46, 8	sseldd 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	abelthlem5 26768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
49	47, 48	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
50	42	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
51	50, 27	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
52	20, 33, 51	iserex 15830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ))
53	49, 52	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
54	32, 34, 43, 44, 53	isumcl 15933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
55	17, 54	mulcld 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
56	55	abscld 15612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
57	31, 56	readdcld 11342	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ∈ ℝ)
58		peano2re 11487	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
59	3, 58	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
60		abelthlem7.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
61	60	rpred 13168	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
62	59, 61	remulcld 11343	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) ∈ ℝ)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem6 26769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
64	20, 32, 33, 50, 27, 49	isumsplit 16015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
65	64	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
66	17, 29, 54	adddid 11337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
67	63, 65, 66	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
68	67	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) = (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
69	30, 55	abstrid 15632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
70	68, 69	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
71	3, 61	remulcld 11343	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℝ)
72	17	abscld 15612	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
73	24	abscld 15612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
74	19, 73	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
75	18, 74	fsumrecl 15906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
76		peano2re 11487	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
77	75, 76	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
78	72, 77	remulcld 11343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
79	17, 29	absmuld 15630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
80	29	abscld 15612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
81	17	absge0d 15620	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(1 − 𝑋)))
82	27	abscld 15612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
83	19, 82	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
84	18, 83	fsumrecl 15906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
85	18, 28	fsumabs 15974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
86	15	abscld 15612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
87		reexpcl 14225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
88	86, 87	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
89		1red 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℝ)
90	24	absge0d 15620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
91	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
92	15	absge0d 15620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
94		0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℂ
95		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
96	95	cnmetdval 25095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
97	15, 94, 96	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
98	15	subid1d 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
99	98	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
100	97, 99	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
101		cnxmet 25097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
102		1xr 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
103		elbl3 24717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ^*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
104	101, 102, 103	mpanl12 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
105	94, 15, 104	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
106	47, 105	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
107	100, 106	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 1)
108		1re 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
109		ltle 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
110	86, 108, 109	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
111	107, 110	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 1)
112	111	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ≤ 1)
113		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
114		exple1 14324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
115	91, 93, 112, 113, 114	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
116	88, 89, 73, 90, 115	lemul2ad 12261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1))
117	24, 26	absmuld 15630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))))
118		absexp 15477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
119	15, 118	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
120	119	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
121	117, 120	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
122	73	recnd 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℂ)
123	122	mulridd 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
124	116, 121, 123	3brtr3d 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
125	19, 124	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
126	18, 83, 74, 125	fsumle 15972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
127	80, 84, 75, 85, 126	letrd 11471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
128	75	ltp1d 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
129	80, 75, 77, 127, 128	lelttrd 11472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
130	80, 77, 129	ltled 11462	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
131	80, 77, 72, 81, 130	lemul2ad 12261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
132	79, 131	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
133		abelthlem7.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
134		0red 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135	19, 90	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
136	18, 74, 135	fsumge0 15968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
137	134, 75, 77, 136, 128	lelttrd 11472	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
138		ltmuldiv 12194	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))) → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
139	72, 61, 77, 137, 138	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
140	133, 139	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅)
141	31, 78, 61, 132, 140	lelttrd 11472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) < 𝑅)
142	17, 54	absmuld 15630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
143	54	abscld 15612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
144	39	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
145		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
146		fvex 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
148	36, 147	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
149	44	abscld 15612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
150		uzid 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
151	34, 150	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
152		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘𝑋)↑𝑘) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
153		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))
154		ovex 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ V
155	152, 153, 154	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
156	36, 155	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
157	36, 88	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
159	149	recnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
160	148, 159	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
161	86	recnd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
162		absidm 15497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
163	15, 162	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
164	163, 107	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
165	161, 164, 33, 156	geolim2 16046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))))
166		seqex 14150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ V
167		ovex 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ V
168	166, 167	breldm 5889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
169	165, 168	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
170	117, 120	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
171	36, 170	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
172	36, 73	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
173	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
174	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
175	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
176	174, 36, 175	expge0d 14311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
177		abelthlem7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
178	37	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
179	178	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅))
180	179	rspccva 3575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
181	177, 180	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
182	172, 173, 181	ltled 11462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ≤ 𝑅)
183	172, 173, 157, 176, 182	lemul1ad 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
184	171, 183	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
185	148	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
186		absidm 15497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
187	44, 186	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
188	185, 187	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
189	156	oveq2d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
190	184, 188, 189	3brtr4d 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) ≤ (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
191	32, 151, 158, 160, 169, 61, 190	cvgcmpce 15991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
192	32, 34, 148, 149, 191	isumrecl 15937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
193		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}) → 𝑋 ≠ 1)
194	8, 193	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1)
195	194	necomd 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑋)
196		subeq0 11588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) = 0 ↔ 1 = 𝑋))
197	196	necon3bid 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
198	12, 15, 197	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
199	195, 198	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ≠ 0)
200	17, 199	absrpcld 15624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ⁺)
201	71, 200	rerpdivcld 13199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ)
202	32, 34, 43, 44, 53	isumclim2 15930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
203	32, 34, 148, 159, 191	isumclim2 15930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
204	36, 51	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
205	43	fveq2d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
206	148, 205	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
207	32, 202, 203, 34, 204, 206	iserabs 15988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
208	86, 33	reexpcld 14310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℝ)
209		difrp 13164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
210	86, 108, 209	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
211	107, 210	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺)
212	208, 211	rerpdivcld 13199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
213	61, 212	remulcld 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ ℝ)
214	152	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
215		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))
216		ovex 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ V
217	214, 215, 216	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
218	36, 217	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
219	173, 157	remulcld 11343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℝ)
220	60	rpcnd 13170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
221	158	recnd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
222	218, 189	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
223	32, 34, 220, 165, 221, 222	isermulc2 15831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
224		seqex 14150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ V
225		ovex 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ V
226	224, 225	breldm 5889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
227	223, 226	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
228	32, 34, 148, 149, 218, 219, 184, 191, 227	isumle 16019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
229	219	recnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℂ)
230	32, 34, 218, 229, 223	isumclim 15929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
231	228, 230	breqtrd 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
232	60, 211	rpdivcld 13185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ⁺)
233	232	rpred 13168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
234	208	recnd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℂ)
235	211	rpcnd 13170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
236	211	rpne0d 13173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ≠ 0)
237	220, 234, 235, 236	div12d 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) = (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
238		1red 11313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
239	232	rpge0d 13172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
240		exple1 14324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
241	86, 92, 111, 33, 240	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
242	208, 238, 233, 239, 241	lemul1ad 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
243	232	rpcnd 13170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℂ)
244	243	mullidd 11331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
245	242, 244	breqtrd 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
246	237, 245	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
247	14	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))
248		resubcl 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
249	108, 86, 248	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
250	3, 249	remulcld 11343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
251	72, 250, 60	lemul2d 13212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ↔ (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))))
252	247, 251	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
253	3	recnd 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
254	220, 253, 235	mul12d 11523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))))
255	220, 235	mulcomd 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅))
256	255	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)))
257	253, 235, 220	mul12d 11523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
258	254, 256, 257	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
259	252, 258	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
260	249, 71	remulcld 11343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ∈ ℝ)
261	61, 260, 200	lemuldivd 13217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ↔ 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
262	259, 261	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))))
263	71	recnd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℂ)
264	72	recnd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
265	200	rpne0d 13173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≠ 0)
266	235, 263, 264, 265	divassd 12132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
267	262, 266	breqtrd 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
268		posdif 11813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
269	86, 108, 268	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
270	107, 269	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − (abs‘𝑋)))
271		ledivmul 12197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (abs‘𝑋)))) → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
272	61, 201, 249, 270, 271	syl112anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
273	267, 272	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
274	213, 233, 201, 246, 273	letrd 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
275	192, 213, 201, 231, 274	letrd 11471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
276	143, 192, 201, 207, 275	letrd 11471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
277	143, 71, 200	lemuldiv2d 13218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅) ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
278	276, 277	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
279	142, 278	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
280	31, 56, 61, 71, 141, 279	ltleaddd 11941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
281		1cnd 11306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
282	253, 281, 220	adddird 11338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)))
283	220	mullidd 11331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
284	283	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)) = ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅))
285	263, 220	addcomd 11516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
286	282, 284, 285	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
287	280, 286	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))
288	11, 57, 62, 70, 287	lelttrd 11472	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 ∀wral 3076 {crab 3412 ⊆ wss 3895 ∖ cdif 4045 {csn 4584 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5185 dom cdm 5650 ∘ ccom 5654 ⟶wf 6535 ‘cfv 6539 (class class class)co 7421 ℂcc 11202 ℝcr 11203 0cc0 11204 1c1 11205 + caddc 11207 · cmul 11209 ℝ^*cxr 11346 < clt 11347 ≤ cle 11348 − cmin 11545 / cdiv 11977 ℕ₀cn0 12610 ℤcz 12697 ℤ_≥cuz 12969 ℝ⁺crp 13124 ...cfz 13643 seqcseq 14148 ↑cexp 14208 abscabs 15407 ⇝ cli 15657 Σcsu 15859 ∞Metcxmet 21669 ballcbl 21671

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7752 ax-inf2 9646 ax-cnex 11260 ax-resscn 11261 ax-1cn 11262 ax-icn 11263 ax-addcl 11264 ax-addrcl 11265 ax-mulcl 11266 ax-mulrcl 11267 ax-mulcom 11268 ax-addass 11269 ax-mulass 11270 ax-distr 11271 ax-i2m1 11272 ax-1ne0 11273 ax-1rid 11274 ax-rnegex 11275 ax-rrecex 11276 ax-cnre 11277 ax-pre-lttri 11278 ax-pre-lttrn 11279 ax-pre-ltadd 11280 ax-pre-mulgt0 11281 ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-se 5604 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6541 df-fn 6542 df-f 6543 df-f1 6544 df-fo 6545 df-f1o 6546 df-fv 6547 df-isom 6548 df-riota 7378 df-ov 7424 df-oprab 7425 df-mpo 7426 df-om 7879 df-1st 8002 df-2nd 8003 df-frecs 8303 df-wrecs 8334 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8480 df-er 8721 df-map 8853 df-pm 8854 df-en 8978 df-dom 8979 df-sdom 8980 df-fin 8981 df-sup 9438 df-inf 9439 df-oi 9508 df-card 10024 df-pnf 11349 df-mnf 11350 df-xr 11351 df-ltxr 11352 df-le 11353 df-sub 11547 df-neg 11548 df-div 11978 df-nn 12340 df-2 12409 df-3 12410 df-n0 12611 df-z 12698 df-uz 12970 df-rp 13125 df-xadd 13246 df-ico 13486 df-icc 13487 df-fz 13644 df-fzo 13793 df-fl 13936 df-seq 14149 df-exp 14209 df-hash 14479 df-shft 15226 df-cj 15272 df-re 15273 df-im 15274 df-sqrt 15408 df-abs 15409 df-limsup 15644 df-clim 15661 df-rlim 15662 df-sum 15860 df-psmet 21676 df-xmet 21677 df-met 21678 df-bl 21679

This theorem is used by: abelthlem8 26772

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