MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem7 25595
Description: Lemma for abelth 25598. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
abelthlem7.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
abelthlem7.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
abelthlem7.4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
abelthlem7.5 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
Assertion
Ref Expression
abelthlem7 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀   𝑅,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem abelthlem7
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 abelth.2 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3 abelth.3 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4 abelth.4 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5 abelth.5 . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6 abelth.6 . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 25591 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
8 abelthlem6.1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
98eldifad 3904 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
107, 9ffvelrnd 6959 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
1110abscld 15146 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
12 ax-1cn 10930 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
13 abelth.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem7a 25594 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
1514simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
16 subcl 11220 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
1712, 15, 16sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
18 fzfid 13691 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
19 elfznn0 13348 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20 nn0uz 12619 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
21 0zd 12331 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
221ffvelrnda 6958 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
2320, 21, 22serf 13749 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
2423ffvelrnda 6958 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
25 expcl 13798 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2615, 25sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2724, 26mulcld 10996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
2819, 27sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
2918, 28fsumcl 15443 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
3017, 29mulcld 10996 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℂ)
3130abscld 15146 . . 3 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ ℝ)
32 eqid 2740 . . . . . 6 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
33 abelthlem7.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3433nn0zd 12423 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
35 eluznn0 12656 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3633, 35sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37 fveq2 6771 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
38 oveq2 7279 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑛))
3937, 38oveq12d 7289 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
40 eqid 2740 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
41 ovex 7304 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6872 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
4336, 42syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
4436, 27syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
451, 2, 3, 4, 5abelthlem2 25589 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
4645simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
4746, 8sseldd 3927 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
481, 2, 3, 4, 5, 6, 13abelthlem5 25592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4947, 48mpdan 684 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
5042adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
5150, 27eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
5220, 33, 51iserex 15366 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ ))
5349, 52mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
5432, 34, 43, 44, 53isumcl 15471 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
5517, 54mulcld 10996 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℂ)
5655abscld 15146 . . 3 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) ∈ ℝ)
5731, 56readdcld 11005 . 2 (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))) ∈ ℝ)
58 peano2re 11148 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
593, 58syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
60 abelthlem7.2 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
6160rpred 12771 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
6259, 61remulcld 11006 . 2 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) ∈ ℝ)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem6 25593 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
6420, 32, 33, 50, 27, 49isumsplit 15550 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
6564oveq2d 7287 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
6617, 29, 54adddid 11000 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
6763, 65, 663eqtrd 2784 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑋) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
6867fveq2d 6775 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) = (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))))
6930, 55abstrid 15166 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))))
7068, 69eqbrtrd 5101 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))))
713, 61remulcld 11006 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℝ)
7217abscld 15146 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
7324abscld 15146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
7419, 73sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
7518, 74fsumrecl 15444 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
76 peano2re 11148 . . . . . . 7 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
7775, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
7872, 77remulcld 11006 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
7917, 29absmuld 15164 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
8029abscld 15146 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℝ)
8117absge0d 15154 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(1 − 𝑋)))
8227abscld 15146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℝ)
8319, 82sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℝ)
8418, 83fsumrecl 15444 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℝ)
8518, 28fsumabs 15511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
8615abscld 15146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
87 reexpcl 13797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
8886, 87sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
89 1red 10977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
9024absge0d 15154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
9186adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
9215absge0d 15154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
94 0cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ ℂ
95 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9695cnmetdval 23932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
9715, 94, 96sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
9815subid1d 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
9998fveq2d 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
10097, 99eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
101 cnxmet 23934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
102 1xr 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
103 elbl3 23543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
104101, 102, 103mpanl12 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
10594, 15, 104sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
10647, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
107100, 106eqbrtrrd 5103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 1)
108 1re 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
109 ltle 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
11086, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
111107, 110mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 1)
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘𝑋) ≤ 1)
113 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
114 exple1 13892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
11591, 93, 112, 113, 114syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
11688, 89, 73, 90, 115lemul2ad 11915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1))
11724, 26absmuld 15164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋𝑛))))
118 absexp 15014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑋𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
11915, 118sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑋𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
120119oveq2d 7287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
121117, 120eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
12273recnd 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℂ)
123122mulid1d 10993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
124116, 121, 1233brtr3d 5110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
12519, 124sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
12618, 83, 74, 125fsumle 15509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
12780, 84, 75, 85, 126letrd 11132 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
12875ltp1d 11905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
12980, 75, 77, 127, 128lelttrd 11133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
13080, 77, 129ltled 11123 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
13180, 77, 72, 81, 130lemul2ad 11915 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
13279, 131eqbrtrd 5101 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
133 abelthlem7.5 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
134 0red 10979 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13519, 90sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
13618, 74, 135fsumge0 15505 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
137134, 75, 77, 136, 128lelttrd 11133 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
138 ltmuldiv 11848 . . . . . . 7 (((abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))) → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
13972, 61, 77, 137, 138syl112anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
140133, 139mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅)
14131, 78, 61, 132, 140lelttrd 11133 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) < 𝑅)
14217, 54absmuld 15164 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
14354abscld 15146 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℝ)
14439fveq2d 6775 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
145 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))
146 fvex 6784 . . . . . . . . . 10 (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ V
147144, 145, 146fvmpt 6872 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
14836, 147syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
14944abscld 15146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℝ)
150 uzid 12596 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
15134, 150syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
152 oveq2 7279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘𝑋)↑𝑘) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
153 eqid 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))
154 ovex 7304 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ V
155152, 153, 154fvmpt 6872 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
15636, 155syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
15736, 88syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
158156, 157eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
159149recnd 11004 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℂ)
160148, 159eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
16186recnd 11004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
162 absidm 15033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
16315, 162syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
164163, 107eqbrtrd 5101 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
165161, 164, 33, 156geolim2 15581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))))
166 seqex 13721 . . . . . . . . . . 11 seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ V
167 ovex 7304 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ V
168166, 167breldm 5816 . . . . . . . . . 10 (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
169165, 168syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
170117, 120eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
17136, 170syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
17236, 73syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
17361adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
17486adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
17592adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
176174, 36, 175expge0d 13880 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
177 abelthlem7.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
17837fveq2d 6775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
179178breq1d 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅))
180179rspccva 3560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
181177, 180sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
182172, 173, 181ltled 11123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ≤ 𝑅)
183172, 173, 157, 176, 182lemul1ad 11914 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
184171, 183eqbrtrd 5101 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
185148fveq2d 6775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
186 absidm 15033 . . . . . . . . . . . 12 (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
18744, 186syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
188185, 187eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
189156oveq2d 7287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
190184, 188, 1893brtr4d 5111 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑛)) ≤ (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
19132, 151, 158, 160, 169, 61, 190cvgcmpce 15528 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
19232, 34, 148, 149, 191isumrecl 15475 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℝ)
193 eldifsni 4729 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}) → 𝑋 ≠ 1)
1948, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≠ 1)
195194necomd 3001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 𝑋)
196 subeq0 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) = 0 ↔ 1 = 𝑋))
197196necon3bid 2990 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
19812, 15, 197sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
199195, 198mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 𝑋) ≠ 0)
20017, 199absrpcld 15158 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ+)
20171, 200rerpdivcld 12802 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ)
20232, 34, 43, 44, 53isumclim2 15468 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
20332, 34, 148, 159, 191isumclim2 15468 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
20436, 51syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
20543fveq2d 6775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
206148, 205eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
20732, 202, 203, 34, 204, 206iserabs 15525 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
20886, 33reexpcld 13879 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℝ)
209 difrp 12767 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+))
21086, 108, 209sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+))
211107, 210mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
212208, 211rerpdivcld 12802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
21361, 212remulcld 11006 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ ℝ)
214152oveq2d 7287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
215 eqid 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))
216 ovex 7304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ V
217214, 215, 216fvmpt 6872 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
21836, 217syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
219173, 157remulcld 11006 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℝ)
22060rpcnd 12773 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
221158recnd 11004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
222218, 189eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
22332, 34, 220, 165, 221, 222isermulc2 15367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
224 seqex 13721 . . . . . . . . . . . 12 seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ V
225 ovex 7304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ V
226224, 225breldm 5816 . . . . . . . . . . 11 (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
227223, 226syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
22832, 34, 148, 149, 218, 219, 184, 191, 227isumle 15554 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
229219recnd 11004 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℂ)
23032, 34, 218, 229, 223isumclim 15467 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
231228, 230breqtrd 5105 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
23260, 211rpdivcld 12788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ+)
233232rpred 12771 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
234208recnd 11004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℂ)
235211rpcnd 12773 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
236211rpne0d 12776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ≠ 0)
237220, 234, 235, 236div12d 11787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) = (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
238 1red 10977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
239232rpge0d 12775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
240 exple1 13892 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
24186, 92, 111, 33, 240syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
242208, 238, 233, 239, 241lemul1ad 11914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
243232rpcnd 12773 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℂ)
244243mulid2d 10994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
245242, 244breqtrd 5105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
246237, 245eqbrtrd 5101 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
24714simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))
248 resubcl 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
249108, 86, 248sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
2503, 249remulcld 11006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
25172, 250, 60lemul2d 12815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ↔ (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))))
252247, 251mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
2533recnd 11004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
254220, 253, 235mul12d 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))))
255220, 235mulcomd 10997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅))
256255oveq2d 7287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)))
257253, 235, 220mul12d 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
258254, 256, 2573eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
259252, 258breqtrd 5105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
260249, 71remulcld 11006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ∈ ℝ)
26161, 260, 200lemuldivd 12820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ↔ 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
262259, 261mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))))
26371recnd 11004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℂ)
26472recnd 11004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
265200rpne0d 12776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≠ 0)
266235, 263, 264, 265divassd 11786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
267262, 266breqtrd 5105 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
268 posdif 11468 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
26986, 108, 268sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
270107, 269mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (1 − (abs‘𝑋)))
271 ledivmul 11851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (abs‘𝑋)))) → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
27261, 201, 249, 270, 271syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
273267, 272mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
274213, 233, 201, 246, 273letrd 11132 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
275192, 213, 201, 231, 274letrd 11132 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
276143, 192, 201, 207, 275letrd 11132 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
277143, 71, 200lemuldiv2d 12821 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅) ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
278276, 277mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
279142, 278eqbrtrd 5101 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
28031, 56, 61, 71, 141, 279ltleaddd 11596 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))) < (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
281 1cnd 10971 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
282253, 281, 220adddird 11001 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)))
283220mulid2d 10994 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
284283oveq2d 7287 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)) = ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅))
285263, 220addcomd 11177 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
286282, 284, 2853eqtrd 2784 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
287280, 286breqtrrd 5107 . 2 (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))
28811, 57, 62, 70, 287lelttrd 11133 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  {crab 3070  cdif 3889  wss 3892  {csn 4567   class class class wbr 5079  cmpt 5162  dom cdm 5590  ccom 5594  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cc 10870  cr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877  *cxr 11009   < clt 11010  cle 11011  cmin 11205   / cdiv 11632  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12581  +crp 12729  ...cfz 13238  seqcseq 13719  cexp 13780  abscabs 14943  cli 15191  Σcsu 15395  ∞Metcxmet 20580  ballcbl 20582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-xadd 12848  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590
This theorem is referenced by:  abelthlem8  25596
  Copyright terms: Public domain W3C validator