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Theorem abelthlem7 25597

Description: Lemma for abelth 25600. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
abelthlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
abelthlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
abelthlem7.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
abelthlem7.5	⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
abelthlem7	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀 𝑅,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧 𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑁,𝑛 𝜑,𝑘,𝑛,𝑥 𝑆,𝑘,𝑛,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧) 𝑆(𝑧) 𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛) 𝑁(𝑥,𝑧)

**Proof of Theorem abelthlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6		abelth.6	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 25593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8		abelthlem6.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
9	8	eldifad 3899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	7, 9	ffvelrnd 6962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15148	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12		ax-1cn 10929	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem7a 25596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
15	14	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16		subcl 11220	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
17	12, 15, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
18		fzfid 13693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
19		elfznn0 13349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
20		nn0uz 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
21		0zd 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	1	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	serf 13751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ₀⟶ℂ)
24	23	ffvelrnda 6961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
25		expcl 13800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	15, 25	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
28	19, 27	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
29	18, 28	fsumcl 15445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
30	17, 29	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
32		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝑁)
33		abelthlem7.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
34	33	nn0zd 12424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
35		eluznn0 12657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
36	33, 35	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
37		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
38		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
39	37, 38	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
41		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
43	36, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
44	36, 27	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
45	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 25591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
46	45	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
47	46, 8	sseldd 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	abelthlem5 25594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
49	47, 48	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
50	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
51	50, 27	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
52	20, 33, 51	iserex 15368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ))
53	49, 52	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
54	32, 34, 43, 44, 53	isumcl 15473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
55	17, 54	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
56	55	abscld 15148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
57	31, 56	readdcld 11004	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ∈ ℝ)
58		peano2re 11148	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
59	3, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
60		abelthlem7.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
61	60	rpred 12772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
62	59, 61	remulcld 11005	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) ∈ ℝ)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem6 25595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
64	20, 32, 33, 50, 27, 49	isumsplit 15552	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
65	64	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
66	17, 29, 54	adddid 10999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
67	63, 65, 66	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
68	67	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) = (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
69	30, 55	abstrid 15168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
70	68, 69	eqbrtrd 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
71	3, 61	remulcld 11005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℝ)
72	17	abscld 15148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
73	24	abscld 15148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
74	19, 73	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
75	18, 74	fsumrecl 15446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
76		peano2re 11148	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
78	72, 77	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
79	17, 29	absmuld 15166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
80	29	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
81	17	absge0d 15156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(1 − 𝑋)))
82	27	abscld 15148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
83	19, 82	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
84	18, 83	fsumrecl 15446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
85	18, 28	fsumabs 15513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
86	15	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
87		reexpcl 13799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
88	86, 87	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
89		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℝ)
90	24	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
91	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
92	15	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
94		0cn 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℂ
95		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
96	95	cnmetdval 23934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
97	15, 94, 96	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
98	15	subid1d 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
99	98	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
100	97, 99	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
101		cnxmet 23936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
102		1xr 11034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
103		elbl3 23545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ^*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
104	101, 102, 103	mpanl12 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
105	94, 15, 104	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
106	47, 105	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
107	100, 106	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 1)
108		1re 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
109		ltle 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
110	86, 108, 109	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
111	107, 110	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 1)
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ≤ 1)
113		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
114		exple1 13894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
115	91, 93, 112, 113, 114	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
116	88, 89, 73, 90, 115	lemul2ad 11915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1))
117	24, 26	absmuld 15166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))))
118		absexp 15016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
119	15, 118	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
120	119	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
121	117, 120	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
122	73	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℂ)
123	122	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
124	116, 121, 123	3brtr3d 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
125	19, 124	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
126	18, 83, 74, 125	fsumle 15511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
127	80, 84, 75, 85, 126	letrd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
128	75	ltp1d 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
129	80, 75, 77, 127, 128	lelttrd 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
130	80, 77, 129	ltled 11123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
131	80, 77, 72, 81, 130	lemul2ad 11915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
132	79, 131	eqbrtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
133		abelthlem7.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
134		0red 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135	19, 90	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
136	18, 74, 135	fsumge0 15507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
137	134, 75, 77, 136, 128	lelttrd 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
138		ltmuldiv 11848	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))) → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
139	72, 61, 77, 137, 138	syl112anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
140	133, 139	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅)
141	31, 78, 61, 132, 140	lelttrd 11133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) < 𝑅)
142	17, 54	absmuld 15166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
143	54	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
144	39	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
145		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
146		fvex 6787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
148	36, 147	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
149	44	abscld 15148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
150		uzid 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
151	34, 150	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
152		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘𝑋)↑𝑘) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
153		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))
154		ovex 7308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ V
155	152, 153, 154	fvmpt 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
156	36, 155	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
157	36, 88	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
159	149	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
160	148, 159	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
161	86	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
162		absidm 15035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
163	15, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
164	163, 107	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
165	161, 164, 33, 156	geolim2 15583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))))
166		seqex 13723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ V
167		ovex 7308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ V
168	166, 167	breldm 5817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
169	165, 168	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
170	117, 120	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
171	36, 170	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
172	36, 73	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
173	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
174	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
175	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
176	174, 36, 175	expge0d 13882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
177		abelthlem7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
178	37	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
179	178	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅))
180	179	rspccva 3560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
181	177, 180	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
182	172, 173, 181	ltled 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ≤ 𝑅)
183	172, 173, 157, 176, 182	lemul1ad 11914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
184	171, 183	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
185	148	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
186		absidm 15035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
187	44, 186	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
188	185, 187	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
189	156	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
190	184, 188, 189	3brtr4d 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) ≤ (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
191	32, 151, 158, 160, 169, 61, 190	cvgcmpce 15530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
192	32, 34, 148, 149, 191	isumrecl 15477	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
193		eldifsni 4723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}) → 𝑋 ≠ 1)
194	8, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1)
195	194	necomd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑋)
196		subeq0 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) = 0 ↔ 1 = 𝑋))
197	196	necon3bid 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
198	12, 15, 197	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
199	195, 198	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ≠ 0)
200	17, 199	absrpcld 15160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ⁺)
201	71, 200	rerpdivcld 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ)
202	32, 34, 43, 44, 53	isumclim2 15470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
203	32, 34, 148, 159, 191	isumclim2 15470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
204	36, 51	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
205	43	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
206	148, 205	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
207	32, 202, 203, 34, 204, 206	iserabs 15527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
208	86, 33	reexpcld 13881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℝ)
209		difrp 12768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
210	86, 108, 209	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
211	107, 210	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺)
212	208, 211	rerpdivcld 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
213	61, 212	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ ℝ)
214	152	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
215		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))
216		ovex 7308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ V
217	214, 215, 216	fvmpt 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
218	36, 217	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
219	173, 157	remulcld 11005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℝ)
220	60	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
221	158	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
222	218, 189	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
223	32, 34, 220, 165, 221, 222	isermulc2 15369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
224		seqex 13723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ V
225		ovex 7308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ V
226	224, 225	breldm 5817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
227	223, 226	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
228	32, 34, 148, 149, 218, 219, 184, 191, 227	isumle 15556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
229	219	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℂ)
230	32, 34, 218, 229, 223	isumclim 15469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
231	228, 230	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
232	60, 211	rpdivcld 12789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ⁺)
233	232	rpred 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
234	208	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℂ)
235	211	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
236	211	rpne0d 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ≠ 0)
237	220, 234, 235, 236	div12d 11787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) = (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
238		1red 10976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
239	232	rpge0d 12776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
240		exple1 13894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
241	86, 92, 111, 33, 240	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
242	208, 238, 233, 239, 241	lemul1ad 11914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
243	232	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℂ)
244	243	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
245	242, 244	breqtrd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
246	237, 245	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
247	14	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))
248		resubcl 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
249	108, 86, 248	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
250	3, 249	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
251	72, 250, 60	lemul2d 12816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ↔ (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))))
252	247, 251	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
253	3	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
254	220, 253, 235	mul12d 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))))
255	220, 235	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅))
256	255	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)))
257	253, 235, 220	mul12d 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
258	254, 256, 257	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
259	252, 258	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
260	249, 71	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ∈ ℝ)
261	61, 260, 200	lemuldivd 12821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ↔ 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
262	259, 261	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))))
263	71	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℂ)
264	72	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
265	200	rpne0d 12777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≠ 0)
266	235, 263, 264, 265	divassd 11786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
267	262, 266	breqtrd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
268		posdif 11468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
269	86, 108, 268	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
270	107, 269	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − (abs‘𝑋)))
271		ledivmul 11851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (abs‘𝑋)))) → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
272	61, 201, 249, 270, 271	syl112anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
273	267, 272	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
274	213, 233, 201, 246, 273	letrd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
275	192, 213, 201, 231, 274	letrd 11132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
276	143, 192, 201, 207, 275	letrd 11132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
277	143, 71, 200	lemuldiv2d 12822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅) ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
278	276, 277	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
279	142, 278	eqbrtrd 5096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
280	31, 56, 61, 71, 141, 279	ltleaddd 11596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
281		1cnd 10970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
282	253, 281, 220	adddird 11000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)))
283	220	mulid2d 10993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
284	283	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)) = ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅))
285	263, 220	addcomd 11177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
286	282, 284, 285	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
287	280, 286	breqtrrd 5102	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))
288	11, 57, 62, 70, 287	lelttrd 11133	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 {crab 3068 ∖ cdif 3884 ⊆ wss 3887 {csn 4561 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 dom cdm 5589 ∘ ccom 5593 ⟶wf 6429 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 ℝ^*cxr 11008 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ℝ⁺crp 12730 ...cfz 13239 seqcseq 13721 ↑cexp 13782 abscabs 14945 ⇝ cli 15193 Σcsu 15397 ∞Metcxmet 20582 ballcbl 20584

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-xadd 12849 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-shft 14778 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-limsup 15180 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592

This theorem is referenced by: abelthlem8 25598

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