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Theorem abelthlem7 26555

Description: Lemma for abelth 26558. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
abelthlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
abelthlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
abelthlem7.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
abelthlem7.5	⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
abelthlem7	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀 𝑅,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧 𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧 𝑘,𝑁,𝑛 𝜑,𝑘,𝑛,𝑥 𝑆,𝑘,𝑛,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧) 𝑆(𝑧) 𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛) 𝑁(𝑥,𝑧)

**Proof of Theorem abelthlem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
2		abelth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
3		abelth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		abelth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
5		abelth.5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
6		abelth.6	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 26551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8		abelthlem6.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
9	8	eldifad 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	7, 9	ffvelcdmd 7070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15478	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
12		ax-1cn 11146	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem7a 26554	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
15	14	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16		subcl 11444	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
17	12, 15, 16	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
18		fzfid 13997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
19		elfznn0 13636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
20		nn0uz 12888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
21		0zd 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	1	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	serf 14054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ₀⟶ℂ)
24	23	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
25		expcl 14103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	15, 25	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
28	19, 27	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
29	18, 28	fsumcl 15772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
30	17, 29	mulcld 11217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
32		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝑁)
33		abelthlem7.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
34	33	nn0zd 12604	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
35		eluznn0 12929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
36	33, 35	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
37		fveq2 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
38		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
39	37, 38	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
40		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
41		ovex 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 6979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
43	36, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
44	36, 27	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
45	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 26549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
46	45	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
47	46, 8	sseldd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	abelthlem5 26552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
49	47, 48	mpdan 699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
50	42	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
51	50, 27	eqeltrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
52	20, 33, 51	iserex 15696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ ))
53	49, 52	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
54	32, 34, 43, 44, 53	isumcl 15800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
55	17, 54	mulcld 11217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
56	55	abscld 15478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ∈ ℝ)
57	31, 56	readdcld 11226	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ∈ ℝ)
58		peano2re 11371	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
59	3, 58	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
60		abelthlem7.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
61	60	rpred 13048	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
62	59, 61	remulcld 11227	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) ∈ ℝ)
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem6 26553	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
64	20, 32, 33, 50, 27, 49	isumsplit 15882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
65	64	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
66	17, 29, 54	adddid 11221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
67	63, 65, 66	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
68	67	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) = (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
69	30, 55	abstrid 15498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
70	68, 69	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) ≤ ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))))
71	3, 61	remulcld 11227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℝ)
72	17	abscld 15478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
73	24	abscld 15478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
74	19, 73	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
75	18, 74	fsumrecl 15773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
76		peano2re 11371	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
77	75, 76	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
78	72, 77	remulcld 11227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
79	17, 29	absmuld 15496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
80	29	abscld 15478	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
81	17	absge0d 15486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(1 − 𝑋)))
82	27	abscld 15478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
83	19, 82	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
84	18, 83	fsumrecl 15773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
85	18, 28	fsumabs 15841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
86	15	abscld 15478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
87		reexpcl 14102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
88	86, 87	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
89		1red 11197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℝ)
90	24	absge0d 15486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
91	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
92	15	absge0d 15486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑋))
93	92	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
94		0cn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℂ
95		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
96	95	cnmetdval 24884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
97	15, 94, 96	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
98	15	subid1d 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
99	98	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
100	97, 99	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
101		cnxmet 24886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
102		1xr 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
103		elbl3 24506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ^*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
104	101, 102, 103	mpanl12 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
105	94, 15, 104	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
106	47, 105	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
107	100, 106	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 1)
108		1re 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
109		ltle 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
110	86, 108, 109	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 → (abs‘𝑋) ≤ 1))
111	107, 110	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 1)
112	111	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘𝑋) ≤ 1)
113		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
114		exple1 14201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
115	91, 93, 112, 113, 114	syl31anc 1396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ≤ 1)
116	88, 89, 73, 90, 115	lemul2ad 12143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1))
117	24, 26	absmuld 15496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))))
118		absexp 15343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
119	15, 118	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(𝑋↑𝑛)) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
120	119	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · (abs‘(𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
121	117, 120	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
122	73	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℂ)
123	122	mulridd 11214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · 1) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
124	116, 121, 123	3brtr3d 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
125	19, 124	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
126	18, 83, 74, 125	fsumle 15839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
127	80, 84, 75, 85, 126	letrd 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
128	75	ltp1d 12133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
129	80, 75, 77, 127, 128	lelttrd 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
130	80, 77, 129	ltled 11346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
131	80, 77, 72, 81, 130	lemul2ad 12143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
132	79, 131	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
133		abelthlem7.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
134		0red 11199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135	19, 90	sylan2 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
136	18, 74, 135	fsumge0 15835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
137	134, 75, 77, 136, 128	lelttrd 11356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
138		ltmuldiv 12076	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))) → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
139	72, 61, 77, 137, 138	syl112anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅 ↔ (abs‘(1 − 𝑋)) < (𝑅 / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))))
140	133, 139	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)) < 𝑅)
141	31, 78, 61, 132, 140	lelttrd 11356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) < 𝑅)
142	17, 54	absmuld 15496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
143	54	abscld 15478	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
144	39	fveq2d 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
145		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
146		fvex 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
148	36, 147	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
149	44	abscld 15478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
150		uzid 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
151	34, 150	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
152		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘𝑋)↑𝑘) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
153		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))
154		ovex 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ V
155	152, 153, 154	fvmpt 6979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
156	36, 155	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑛))
157	36, 88	syldan 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘𝑋)↑𝑛) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
159	149	recnd 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
160	148, 159	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
161	86	recnd 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
162		absidm 15363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
163	15, 162	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
164	163, 107	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
165	161, 164, 33, 156	geolim2 15913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))))
166		seqex 14027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ V
167		ovex 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ V
168	166, 167	breldm 5888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ⇝ (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
169	165, 168	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
170	117, 120	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
171	36, 170	syldan 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
172	36, 73	syldan 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ∈ ℝ)
173	61	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 𝑅 ∈ ℝ)
174	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
175	92	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
176	174, 36, 175	expge0d 14188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
177		abelthlem7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅)
178	37	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
179	178	breq1d 5114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅))
180	179	rspccva 3583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
181	177, 180	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) < 𝑅)
182	172, 173, 181	ltled 11346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) ≤ 𝑅)
183	172, 173, 157, 176, 182	lemul1ad 12142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
184	171, 183	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
185	148	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
186		absidm 15363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
187	44, 186	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
188	185, 187	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
189	156	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
190	184, 188, 189	3brtr4d 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛)) ≤ (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
191	32, 151, 158, 160, 169, 61, 190	cvgcmpce 15858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
192	32, 34, 148, 149, 191	isumrecl 15804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℝ)
193		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}) → 𝑋 ≠ 1)
194	8, 193	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1)
195	194	necomd 3015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑋)
196		subeq0 11472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) = 0 ↔ 1 = 𝑋))
197	196	necon3bid 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
198	12, 15, 197	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑋))
199	195, 198	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ≠ 0)
200	17, 199	absrpcld 15490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ⁺)
201	71, 200	rerpdivcld 13079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ)
202	32, 34, 43, 44, 53	isumclim2 15797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
203	32, 34, 148, 159, 191	isumclim2 15797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
204	36, 51	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
205	43	fveq2d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
206	148, 205	eqtr4d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑛) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
207	32, 202, 203, 34, 204, 206	iserabs 15855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
208	86, 33	reexpcld 14187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℝ)
209		difrp 13044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
210	86, 108, 209	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺))
211	107, 210	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ⁺)
212	208, 211	rerpdivcld 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
213	61, 212	remulcld 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ ℝ)
214	152	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
215		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))
216		ovex 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ V
217	214, 215, 216	fvmpt 6979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
218	36, 217	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
219	173, 157	remulcld 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℝ)
220	60	rpcnd 13050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
221	158	recnd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
222	218, 189	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑅 · ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑘))‘𝑛)))
223	32, 34, 220, 165, 221, 222	isermulc2 15697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
224		seqex 14027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ V
225		ovex 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ∈ V
226	224, 225	breldm 5888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ⇝ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
227	223, 226	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
228	32, 34, 148, 149, 218, 219, 184, 191, 227	isumle 15886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)))
229	219	recnd 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)) → (𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) ∈ ℂ)
230	32, 34, 218, 229, 223	isumclim 15796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(𝑅 · ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
231	228, 230	breqtrd 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))))
232	60, 211	rpdivcld 13065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ⁺)
233	232	rpred 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
234	208	recnd 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ∈ ℂ)
235	211	rpcnd 13050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
236	211	rpne0d 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ≠ 0)
237	220, 234, 235, 236	div12d 12015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) = (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
238		1red 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
239	232	rpge0d 13052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
240		exple1 14201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑋) ∧ (abs‘𝑋) ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
241	86, 92, 111, 33, 240	syl31anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋)↑𝑁) ≤ 1)
242	208, 238, 233, 239, 241	lemul1ad 12142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))))
243	232	rpcnd 13050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℂ)
244	243	mullidd 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
245	242, 244	breqtrd 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑋)↑𝑁) · (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
246	237, 245	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))))
247	14	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))
248		resubcl 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
249	108, 86, 248	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
250	3, 249	remulcld 11227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
251	72, 250, 60	lemul2d 13092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))) ↔ (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋))))))
252	247, 251	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))))
253	3	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
254	220, 253, 235	mul12d 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))))
255	220, 235	mulcomd 11218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅))
256	255	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑅 · (1 − (abs‘𝑋)))) = (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)))
257	253, 235, 220	mul12d 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((1 − (abs‘𝑋)) · 𝑅)) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
258	254, 256, 257	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝑀 · (1 − (abs‘𝑋)))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
259	252, 258	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)))
260	249, 71	remulcld 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ∈ ℝ)
261	61, 260, 200	lemuldivd 13097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · (abs‘(1 − 𝑋))) ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) ↔ 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
262	259, 261	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))))
263	71	recnd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑅) ∈ ℂ)
264	72	recnd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
265	200	rpne0d 13053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ≠ 0)
266	235, 263, 264, 265	divassd 12014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 − (abs‘𝑋)) · (𝑀 · 𝑅)) / (abs‘(1 − 𝑋))) = ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
267	262, 266	breqtrd 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
268		posdif 11695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
269	86, 108, 268	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 1 ↔ 0 < (1 − (abs‘𝑋))))
270	107, 269	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − (abs‘𝑋)))
271		ledivmul 12079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (abs‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (abs‘𝑋)))) → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
272	61, 201, 249, 270, 271	syl112anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))) ↔ 𝑅 ≤ ((1 − (abs‘𝑋)) · ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))))
273	267, 272	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 − (abs‘𝑋))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
274	213, 233, 201, 246, 273	letrd 11355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (((abs‘𝑋)↑𝑁) / (1 − (abs‘𝑋)))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
275	192, 213, 201, 231, 274	letrd 11355	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)(abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
276	143, 192, 201, 207, 275	letrd 11355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋))))
277	143, 71, 200	lemuldiv2d 13098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅) ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ≤ ((𝑀 · 𝑅) / (abs‘(1 − 𝑋)))))
278	276, 277	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
279	142, 278	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) ≤ (𝑀 · 𝑅))
280	31, 56, 61, 71, 141, 279	ltleaddd 11823	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
281		1cnd 11190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
282	253, 281, 220	adddird 11222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)))
283	220	mullidd 11215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑅) = 𝑅)
284	283	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + (1 · 𝑅)) = ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅))
285	263, 220	addcomd 11400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑅) + 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
286	282, 284, 285	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑅) = (𝑅 + (𝑀 · 𝑅)))
287	280, 286	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) + (abs‘((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ (ℤ_≥‘𝑁)((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))
288	11, 57, 62, 70, 287	lelttrd 11356	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘𝑋)) < ((𝑀 + 1) · 𝑅))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 = wceq 1563 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2960 ∀wral 3079 {crab 3417 ∖ cdif 3904 ⊆ wss 3907 {csn 4585 class class class wbr 5104 ↦ cmpt 5185 dom cdm 5651 ∘ ccom 5655 ⟶wf 6521 ‘cfv 6525 (class class class)co 7400 ℂcc 11086 ℝcr 11087 0cc0 11088 1c1 11089 + caddc 11091 · cmul 11093 ℝ^*cxr 11230 < clt 11231 ≤ cle 11232 − cmin 11429 / cdiv 11859 ℕ₀cn0 12492 ℤcz 12579 ℤ_≥cuz 12850 ℝ⁺crp 13004 ...cfz 13523 seqcseq 14025 ↑cexp 14085 abscabs 15273 ⇝ cli 15523 Σcsu 15725 ∞Metcxmet 21464 ballcbl 21466

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1818 ax-4 1832 ax-5 1933 ax-6 1990 ax-7 2031 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2737 ax-rep 5231 ax-sep 5250 ax-nul 5260 ax-pow 5326 ax-pr 5394 ax-un 7722 ax-inf2 9598 ax-cnex 11144 ax-resscn 11145 ax-1cn 11146 ax-icn 11147 ax-addcl 11148 ax-addrcl 11149 ax-mulcl 11150 ax-mulrcl 11151 ax-mulcom 11152 ax-addass 11153 ax-mulass 11154 ax-distr 11155 ax-i2m1 11156 ax-1ne0 11157 ax-1rid 11158 ax-rnegex 11159 ax-rrecex 11160 ax-cnre 11161 ax-pre-lttri 11162 ax-pre-lttrn 11163 ax-pre-ltadd 11164 ax-pre-mulgt0 11165 ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1566 df-fal 1576 df-ex 1803 df-nf 1807 df-sb 2094 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3418 df-v 3459 df-sbc 3748 df-csb 3856 df-dif 3910 df-un 3912 df-in 3914 df-ss 3924 df-pss 3927 df-nul 4289 df-if 4484 df-pw 4560 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6291 df-ord 6352 df-on 6353 df-lim 6354 df-suc 6355 df-iota 6481 df-fun 6527 df-fn 6528 df-f 6529 df-f1 6530 df-fo 6531 df-f1o 6532 df-fv 6533 df-isom 6534 df-riota 7357 df-ov 7403 df-oprab 7404 df-mpo 7405 df-om 7851 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8346 df-rdg 8385 df-1o 8441 df-er 8682 df-map 8814 df-pm 8815 df-en 8932 df-dom 8933 df-sdom 8934 df-fin 8935 df-sup 9390 df-inf 9391 df-oi 9460 df-card 9913 df-pnf 11233 df-mnf 11234 df-xr 11235 df-ltxr 11236 df-le 11237 df-sub 11431 df-neg 11432 df-div 11860 df-nn 12222 df-2 12291 df-3 12292 df-n0 12493 df-z 12580 df-uz 12851 df-rp 13005 df-xadd 13126 df-ico 13366 df-icc 13367 df-fz 13524 df-fzo 13671 df-fl 13813 df-seq 14026 df-exp 14086 df-hash 14355 df-shft 15092 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-limsup 15510 df-clim 15527 df-rlim 15528 df-sum 15726 df-psmet 21471 df-xmet 21472 df-met 21473 df-bl 21474

This theorem is referenced by: abelthlem8 26556

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