![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltmulgt11 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmulgt11 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1re 11218 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | ltmul2 12069 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) | |
3 | 1, 2 | mp3an1 1446 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
4 | 3 | 3impb 1113 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
5 | 4 | 3com12 1121 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
6 | ax-1rid 11182 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) | |
7 | 6 | 3ad2ant1 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
8 | 7 | breq1d 5157 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต) โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
9 | 5, 8 | bitrd 278 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1085 = wceq 1539 โ wcel 2104 class class class wbr 5147 (class class class)co 7411 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 < clt 11252 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-ltxr 11257 df-sub 11450 df-neg 11451 |
This theorem is referenced by: ltmulgt12 12079 ltmulgt11d 13055 eflt 16064 nprm 16629 isprm5 16648 ltrmxnn0 41990 jm3.1lem2 42059 2pwp1prm 46555 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |