![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltmulgt11 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmulgt11 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1re 11219 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | ltmul2 12070 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) | |
3 | 1, 2 | mp3an1 1447 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
4 | 3 | 3impb 1114 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
5 | 4 | 3com12 1122 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
6 | ax-1rid 11184 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) | |
7 | 6 | 3ad2ant1 1132 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
8 | 7 | breq1d 5158 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต) โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
9 | 5, 8 | bitrd 279 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 class class class wbr 5148 (class class class)co 7412 โcr 11113 0cc0 11114 1c1 11115 ยท cmul 11119 < clt 11253 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-ltxr 11258 df-sub 11451 df-neg 11452 |
This theorem is referenced by: ltmulgt12 12080 ltmulgt11d 13056 eflt 16065 nprm 16630 isprm5 16649 ltrmxnn0 41991 jm3.1lem2 42060 2pwp1prm 46556 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |