Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltmulgt11 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmulgt11 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1re 11017 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | ltmul2 11868 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) | |
3 | 1, 2 | mp3an1 1448 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
4 | 3 | 3impb 1115 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
5 | 4 | 3com12 1123 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ (๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต))) |
6 | ax-1rid 10983 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) | |
7 | 6 | 3ad2ant1 1133 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
8 | 7 | breq1d 5091 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ ((๐ด ยท 1) < (๐ด ยท ๐ต) โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
9 | 5, 8 | bitrd 280 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1087 = wceq 1539 โ wcel 2104 class class class wbr 5081 (class class class)co 7303 โcr 10912 0cc0 10913 1c1 10914 ยท cmul 10918 < clt 11051 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2707 ax-sep 5232 ax-nul 5239 ax-pow 5297 ax-pr 5361 ax-un 7616 ax-resscn 10970 ax-1cn 10971 ax-icn 10972 ax-addcl 10973 ax-addrcl 10974 ax-mulcl 10975 ax-mulrcl 10976 ax-mulcom 10977 ax-addass 10978 ax-mulass 10979 ax-distr 10980 ax-i2m1 10981 ax-1ne0 10982 ax-1rid 10983 ax-rnegex 10984 ax-rrecex 10985 ax-cnre 10986 ax-pre-lttri 10987 ax-pre-lttrn 10988 ax-pre-ltadd 10989 ax-pre-mulgt0 10990 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3286 df-rab 3287 df-v 3439 df-sbc 3722 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4566 df-pr 4568 df-op 4572 df-uni 4845 df-br 5082 df-opab 5144 df-mpt 5165 df-id 5496 df-po 5510 df-so 5511 df-xp 5602 df-rel 5603 df-cnv 5604 df-co 5605 df-dm 5606 df-rn 5607 df-res 5608 df-ima 5609 df-iota 6406 df-fun 6456 df-fn 6457 df-f 6458 df-f1 6459 df-fo 6460 df-f1o 6461 df-fv 6462 df-riota 7260 df-ov 7306 df-oprab 7307 df-mpo 7308 df-er 8525 df-en 8761 df-dom 8762 df-sdom 8763 df-pnf 11053 df-mnf 11054 df-ltxr 11056 df-sub 11249 df-neg 11250 |
This theorem is referenced by: ltmulgt12 11878 ltmulgt11d 12849 eflt 15867 nprm 16434 isprm5 16453 ltrmxnn0 40808 jm3.1lem2 40877 2pwp1prm 45098 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |