Theorem ltaddrp2d 13077

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrpd 13076	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1	recnd 11267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	rpcnd 13045	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcomd 11441	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	3, 6	breqtrd 5169	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  ℝcr 11132   + caddc 11136   < clt 11273  ℝ⁺crp 13001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278  df-rp 13002

This theorem is referenced by:  lhop1  25941  cxp2limlem  26902  logdiflbnd  26921  lgamucov  26964  bposlem1  27211  2sqmod  27363  pntpbnd1a  27512  pntibndlem3  27519  pntlemb  27524  pntlemp  27537  madjusmdetlem2  33424  bccolsum  35328  2timesgt  44661  wallispilem4  45447  wallispi  45449  wallispi2lem1  45450  wallispi2lem2  45451  stirlinglem6  45458  stirlinglem7  45459  stirlinglem10  45462  stirlinglem11  45463  dirkertrigeqlem1  45477  fourierdlem42  45528  nnfoctbdjlem  45834