Theorem ltaddrp2d 13202

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrpd 13201	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1	recnd 11341	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	rpcnd 13170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcomd 11516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	3, 6	breqtrd 5130	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203   + caddc 11207   < clt 11347  ℝ⁺crp 13124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-rp 13125

This theorem is used by:  lhop1  26340  cxp2limlem  27309  logdiflbnd  27328  lgamucov  27371  bposlem1  27617  2sqmod  27769  pntpbnd1a  27918  pntibndlem3  27925  pntlemb  27930  pntlemp  27943  madjusmdetlem2  34507  bccolsum  36597  2timesgt  46398  wallispilem4  47172  wallispi  47174  wallispi2lem1  47175  wallispi2lem2  47176  stirlinglem6  47183  stirlinglem7  47184  stirlinglem10  47187  stirlinglem11  47188  dirkertrigeqlem1  47202  fourierdlem42  47253  nnfoctbdjlem  47559