Theorem ltaddrp2d 12560

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrpd 12559	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1	recnd 10759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	rpcnd 12528	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcomd 10932	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	3, 6	breqtrd 5066	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040  (class class class)co 7182  ℝcr 10626   + caddc 10630   < clt 10765  ℝ⁺crp 12484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-ltxr 10770  df-rp 12485

This theorem is referenced by:  lhop1  24778  cxp2limlem  25725  logdiflbnd  25744  lgamucov  25787  bposlem1  26032  2sqmod  26184  pntpbnd1a  26333  pntibndlem3  26340  pntlemb  26345  pntlemp  26358  madjusmdetlem2  31362  bccolsum  33290  2timesgt  42404  wallispilem4  43191  wallispi  43193  wallispi2lem1  43194  wallispi2lem2  43195  stirlinglem6  43202  stirlinglem7  43203  stirlinglem10  43206  stirlinglem11  43207  dirkertrigeqlem1  43221  fourierdlem42  43272  nnfoctbdjlem  43575