Theorem ltaddrp2d 13112

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrpd 13111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1	recnd 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	rpcnd 13080	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcomd 11464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	3, 6	breqtrd 5168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155   + caddc 11159   < clt 11296  ℝ⁺crp 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-rp 13036

This theorem is referenced by:  lhop1  26054  cxp2limlem  27020  logdiflbnd  27039  lgamucov  27082  bposlem1  27329  2sqmod  27481  pntpbnd1a  27630  pntibndlem3  27637  pntlemb  27642  pntlemp  27655  madjusmdetlem2  33828  bccolsum  35740  2timesgt  45305  wallispilem4  46088  wallispi  46090  wallispi2lem1  46091  wallispi2lem2  46092  stirlinglem6  46099  stirlinglem7  46100  stirlinglem10  46103  stirlinglem11  46104  dirkertrigeqlem1  46118  fourierdlem42  46169  nnfoctbdjlem  46475