MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrp2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrp2d 12458
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrp2d (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem ltaddrp2d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
31, 2ltaddrpd 12457 . 2 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41recnd 10661 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
52rpcnd 12426 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
64, 5addcomd 10834 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
73, 6breqtrd 5088 1 (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528   + caddc 10532   < clt 10667  +crp 12382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-rp 12383
This theorem is referenced by:  lhop1  24526  cxp2limlem  25467  logdiflbnd  25486  lgamucov  25529  bposlem1  25774  2sqmod  25926  pntpbnd1a  26075  pntibndlem3  26082  pntlemb  26087  pntlemp  26100  madjusmdetlem2  30980  bccolsum  32856  2timesgt  41416  wallispilem4  42216  wallispi  42218  wallispi2lem1  42219  wallispi2lem2  42220  stirlinglem6  42227  stirlinglem7  42228  stirlinglem10  42231  stirlinglem11  42232  dirkertrigeqlem1  42246  fourierdlem42  42297  nnfoctbdjlem  42600
  Copyright terms: Public domain W3C validator