Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg11b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg11b 40171
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg8.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg8.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg10.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg11b (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)))

Proof of Theorem cdlemg11b
StepHypRef Expression
1 simp33 1208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simpl1 1188 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simpl31 1251 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 simpl2l 1223 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5 cdlemg8.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemg8.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdlemg8.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
8 cdlemg8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemg8.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemg8.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdlemg10.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11trlval2 39692 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
132, 3, 4, 12syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
14 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
15 simpl1l 1221 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1615hllatd 38892 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 simp2ll 1237 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1817adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1914, 8atbase 38817 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2114, 9, 10ltrncl 39654 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
222, 3, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2314, 6latjcl 18430 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2416, 20, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simpl1r 1222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2614, 9lhpbase 39527 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2814, 7latmcl 18431 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2916, 24, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 simpl2r 1224 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3114, 8atbase 38817 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3314, 6latjcl 18430 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3416, 20, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3514, 5, 7latmle1 18455 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
3616, 24, 27, 35syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
3714, 5, 6latlej1 18439 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3816, 20, 32, 37syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3914, 9, 10ltrncl 39654 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
402, 3, 32, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4114, 5, 6latlej1 18439 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)))
4216, 22, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)))
43 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)))
4442, 43breqtrrd 5171 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4514, 5, 6latjle12 18441 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4616, 20, 22, 34, 45syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4738, 44, 46mpbi2and 710 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4814, 5, 16, 29, 24, 34, 36, 47lattrd 18437 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4913, 48eqbrtrd 5165 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
5049ex 411 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5150necon3bd 2944 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„))))
521, 51mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8845  df-poset 18304  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-lat 18423  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688
This theorem is referenced by:  cdlemg12b  40173
  Copyright terms: Public domain W3C validator