Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37855 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β π) |
5 | | simp23l 1295 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΄) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdlemg44.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β (BaseβπΎ)) |
10 | | cdlemg44.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | | cdlemg44.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
12 | 6, 10, 11 | ltrncl 38617 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΊβπ) β (BaseβπΎ)) |
13 | 3, 4, 9, 12 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊβπ) β (BaseβπΎ)) |
14 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β π) |
15 | | cdlemg44.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
16 | 6, 10, 11, 15 | trlcl 38656 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
17 | 3, 14, 16 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
18 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
19 | 6, 18 | latjcl 18335 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊβπ) β (BaseβπΎ) β§ (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) β ((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
20 | 2, 13, 17, 19 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
21 | 6, 10, 11 | ltrncl 38617 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
22 | 3, 14, 9, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
23 | 6, 10, 11, 15 | trlcl 38656 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) |
24 | 3, 4, 23 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) |
25 | 6, 18 | latjcl 18335 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ) β§ (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) β ((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ)) β (BaseβπΎ)) |
26 | 2, 22, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ)) β (BaseβπΎ)) |
27 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
28 | 6, 27 | latmcom 18359 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ)) β (BaseβπΎ)) β (((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ))(meetβπΎ)((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ))) = (((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ))(meetβπΎ)((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)))) |
29 | 2, 20, 26, 28 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ))(meetβπΎ)((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ))) = (((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ))(meetβπΎ)((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)))) |
30 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
31 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊβπ) β π) |
32 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
33 | | cdlemg44.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
34 | 33, 18, 7, 10, 11, 15, 27 | cdlemg43 39222 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ))(meetβπΎ)((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ)))) |
35 | 3, 14, 4, 30, 31, 32, 34 | syl123anc 1388 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ))(meetβπΎ)((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ)))) |
36 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβπ) β π) |
37 | 32 | necomd 3000 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) |
38 | 33, 18, 7, 10, 11, 15, 27 | cdlemg43 39222 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉβπ) β π β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πΊβ(πΉβπ)) = (((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ))(meetβπΎ)((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)))) |
39 | 3, 4, 14, 30, 36, 37, 38 | syl123anc 1388 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊβ(πΉβπ)) = (((πΉβπ)(joinβπΎ)(π
βπΊ))(meetβπΎ)((πΊβπ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)))) |
40 | 29, 35, 39 | 3eqtr4d 2787 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβ(πΉβπ))) |