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Theorem cdlemg8b 37883
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l = (le‘𝐾)
cdlemg8.j = (join‘𝐾)
cdlemg8.m = (meet‘𝐾)
cdlemg8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg8b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdlemg8b
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36619 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21l 1287 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 cdlemg8.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 36544 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp22l 1289 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝑄𝐴)
94, 5atbase 36544 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11 cdlemg8.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
12 cdlemg8.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
134, 11, 12latlej1 17661 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
142, 7, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
15 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simp23 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝐹𝑇)
17 simp31 1206 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝐺𝑇)
18 simp21 1203 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
19 cdlemg8.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20 cdlemg8.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
2111, 5, 19, 20ltrnel 37394 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
2215, 17, 18, 21syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
2311, 5, 19, 20ltrnel 37394 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → ((𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑊))
2423simpld 498 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
2515, 16, 22, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
264, 5atbase 36544 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
284, 19, 20ltrncl 37380 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2915, 17, 10, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐺𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
304, 19, 20ltrncl 37380 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3115, 16, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
324, 11, 12latlej1 17661 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))))
332, 27, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))))
34 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))
3533, 34breqtrd 5068 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝑃 𝑄))
364, 12, 5hlatjcl 36622 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
371, 3, 8, 36syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
384, 11, 12latjle12 17663 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑃 𝑄)))
392, 7, 27, 37, 38syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑃 𝑄)))
4014, 35, 39mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑃 𝑄))
41 simp33 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)
4241necomd 3066 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ≠ (𝐹‘(𝐺𝑃)))
4311, 12, 5ps-1 36732 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴𝑃 ≠ (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝑃 𝑄)))
441, 3, 25, 42, 3, 8, 43syl132anc 1385 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝑃 𝑄)))
4540, 44mpbid 235 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  meetcmee 17546  Latclat 17646  Atomscatm 36518  HLchlt 36605  LHypclh 37239  LTrncltrn 37356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-lat 17647  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-lhyp 37243  df-laut 37244  df-ldil 37359  df-ltrn 37360
This theorem is referenced by:  cdlemg8c  37884  cdlemg8d  37885
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