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Theorem cdlemg8b 40012
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg8.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg8.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg8b (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (𝑃 ∨ 𝑄))
Proof of Theorem cdlemg8b
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38747 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21l 1287 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdlemg8.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38672 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 simp22l 1289 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
94, 5atbase 38672 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 cdlemg8.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdlemg8.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
134, 11, 12latlej1 18413 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
142, 7, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
15 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simp23 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
17 simp31 1206 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
18 simp21 1203 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
19 cdlemg8.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
20 cdlemg8.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2111, 5, 19, 20ltrnel 39523 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
2215, 17, 18, 21syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
2311, 5, 19, 20ltrnel 39523 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ π‘Š))
2423simpld 494 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
2515, 16, 22, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
264, 5atbase 38672 . . . . . 6 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
284, 19, 20ltrncl 39509 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2915, 17, 10, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (πΊβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
304, 19, 20ltrncl 39509 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3115, 16, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
324, 11, 12latlej1 18413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))))
332, 27, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))))
34 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄))
3533, 34breqtrd 5167 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
364, 12, 5hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
371, 3, 8, 36syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
384, 11, 12latjle12 18415 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
392, 7, 27, 37, 38syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4014, 35, 39mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
41 simp33 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)
4241necomd 2990 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 β‰  (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
4311, 12, 5ps-1 38861 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
441, 3, 25, 42, 3, 8, 43syl132anc 1385 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4540, 44mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (𝑃 ∨ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489
This theorem is referenced by:  cdlemg8c  40013  cdlemg8d  40014
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