Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk.v1 |
. 2
β’ π = (((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37829 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β πΎ β Lat) |
4 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
5 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β πΊ β π) |
6 | | cdlemk.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | cdlemk.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
9 | 8 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β π β π΅) |
10 | | cdlemk.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | | cdlemk.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
12 | 6, 10, 11 | ltrncl 38591 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ π β π΅) β (πΊβπ) β π΅) |
13 | 4, 5, 9, 12 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (πΊβπ) β π΅) |
14 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β π β π) |
15 | 6, 10, 11 | ltrncl 38591 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ π β π΅) β (πβπ) β π΅) |
16 | 4, 14, 9, 15 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (πβπ) β π΅) |
17 | | cdlemk.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
18 | 6, 17 | latjcl 18329 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊβπ) β π΅ β§ (πβπ) β π΅) β ((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β π΅) |
19 | 3, 13, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β ((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β π΅) |
20 | | simp21 1207 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β πΉ β π) |
21 | 10, 11 | ltrncnv 38612 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
22 | 4, 20, 21 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β β‘πΉ β π) |
23 | 10, 11 | ltrnco 39185 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
24 | 4, 5, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
25 | | cdlemk.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
26 | 6, 10, 11, 25 | trlcl 38630 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β β‘πΉ) β π) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
27 | 4, 24, 26 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
28 | 10, 11 | ltrnco 39185 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ β‘πΉ β π) β (π β β‘πΉ) β π) |
29 | 4, 14, 22, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (π β β‘πΉ) β π) |
30 | 6, 10, 11, 25 | trlcl 38630 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β β‘πΉ) β π) β (π
β(π β β‘πΉ)) β π΅) |
31 | 4, 29, 30 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (π
β(π β β‘πΉ)) β π΅) |
32 | 6, 17 | latjcl 18329 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅ β§ (π
β(π β β‘πΉ)) β π΅) β ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))) β π΅) |
33 | 3, 27, 31, 32 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))) β π΅) |
34 | | cdlemk.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
35 | 6, 34 | latmcl 18330 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β π΅ β§ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))) β π΅) β (((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β π΅) |
36 | 3, 19, 33, 35 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β (((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β π΅) |
37 | 1, 36 | eqeltrid 2842 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ π β π΄) β π β π΅) |