Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemkvcl 40371
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk.v1 𝑉 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkvcl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
Proof of Theorem cdlemkvcl
StepHypRef Expression
1 cdlemk.v1 . 2 𝑉 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
2 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38892 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdlemk.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 38817 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
983ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
10 cdlemk.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 cdlemk.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
126, 10, 11ltrncl 39654 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
134, 5, 9, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
14 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
156, 10, 11ltrncl 39654 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
164, 14, 9, 15syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
17 cdlemk.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
186, 17latjcl 18430 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
193, 13, 16, 18syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
20 simp21 1203 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2110, 11ltrncnv 39675 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
224, 20, 21syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2310, 11ltrnco 40248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
244, 5, 22, 23syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
25 cdlemk.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
266, 10, 11, 25trlcl 39693 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
274, 24, 26syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
2810, 11ltrnco 40248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
294, 14, 22, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
306, 10, 11, 25trlcl 39693 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
314, 29, 30syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
326, 17latjcl 18430 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
333, 27, 31, 32syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
34 cdlemk.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
356, 34latmcl 18431 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐡)
363, 19, 33, 35syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐡)
371, 36eqeltrid 2829 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β—‘ccnv 5671   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688
This theorem is referenced by:  cdlemk7  40377  cdlemk11  40378  cdlemk7u  40399  cdlemk11u  40400
  Copyright terms: Public domain W3C validator