Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkvcl 40177
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
cdlemk.v1 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkvcl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑉𝐵)

Proof of Theorem cdlemkvcl
StepHypRef Expression
1 cdlemk.v1 . 2 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
2 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38698 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp1 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp22 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺𝑇)
6 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemk.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 38623 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
983ad2ant3 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
10 cdlemk.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdlemk.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
126, 10, 11ltrncl 39460 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐵) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐵)
134, 5, 9, 12syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐵)
14 simp23 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑋𝑇)
156, 10, 11ltrncl 39460 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐵) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
164, 14, 9, 15syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
17 cdlemk.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
186, 17latjcl 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
193, 13, 16, 18syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
20 simp21 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐹𝑇)
2110, 11ltrncnv 39481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
224, 20, 21syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐹𝑇)
2310, 11ltrnco 40054 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
244, 5, 22, 23syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
25 cdlemk.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
266, 10, 11, 25trlcl 39499 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
274, 24, 26syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
2810, 11ltrnco 40054 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐹𝑇) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
294, 14, 22, 28syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
306, 10, 11, 25trlcl 39499 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐵)
314, 29, 30syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐵)
326, 17latjcl 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))) ∈ 𝐵)
333, 27, 31, 32syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))) ∈ 𝐵)
34 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
356, 34latmcl 18403 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))) ∈ 𝐵) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) ∈ 𝐵)
363, 19, 33, 35syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) ∈ 𝐵)
371, 36eqeltrid 2836 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑉𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  ccnv 5675  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  Atomscatm 38597  HLchlt 38684  LHypclh 39319  LTrncltrn 39436  trLctrl 39493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38287
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-llines 38833  df-lplanes 38834  df-lvols 38835  df-lines 38836  df-psubsp 38838  df-pmap 38839  df-padd 39131  df-lhyp 39323  df-laut 39324  df-ldil 39439  df-ltrn 39440  df-trl 39494
This theorem is referenced by:  cdlemk7  40183  cdlemk11  40184  cdlemk7u  40205  cdlemk11u  40206
  Copyright terms: Public domain W3C validator