Theorem cdlemkvcl 38479

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk.v1	⊢ 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemkvcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑉 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdlemkvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.v1	. 2 ⊢ 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))))
2		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 37001	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		simp22 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ 𝑇)
6		cdlemk.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		cdlemk.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	6, 7	atbase 36926	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
10		cdlemk.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		cdlemk.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12	6, 10, 11	ltrncl 37762	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	4, 5, 9, 12	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐵)
14		simp23 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑇)
15	6, 10, 11	ltrncl 37762	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐵)
16	4, 14, 9, 15	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐵)
17		cdlemk.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18	6, 17	latjcl 17777	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∈ 𝐵)
19	3, 13, 16, 18	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∈ 𝐵)
20		simp21 1207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝑇)
21	10, 11	ltrncnv 37783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
22	4, 20, 21	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
23	10, 11	ltrnco 38356	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
24	4, 5, 22, 23	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
25		cdlemk.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
26	6, 10, 11, 25	trlcl 37801	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵)
27	4, 24, 26	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵)
28	10, 11	ltrnco 38356	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑋 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
29	4, 14, 22, 28	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
30	6, 10, 11, 25	trlcl 37801	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵)
31	4, 29, 30	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵)
32	6, 17	latjcl 17777	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵)
33	3, 27, 31, 32	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵)
34		cdlemk.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
35	6, 34	latmcl 17778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐵)
36	3, 19, 33, 35	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐵)
37	1, 36	eqeltrid 2837	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑉 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5524   ∘ ccom 5529  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  lecple 16675  joincjn 17670  meetcmee 17671  Latclat 17771  Atomscatm 36900  HLchlt 36987  LHypclh 37621  LTrncltrn 37738  trLctrl 37795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-riotaBAD 36590

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-undef 7968  df-map 8439  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796

This theorem is referenced by:  cdlemk7  38485  cdlemk11  38486  cdlemk7u  38507  cdlemk11u  38508