Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkvcl 38048
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
cdlemk.v1 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkvcl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑉𝐵)

Proof of Theorem cdlemkvcl
StepHypRef Expression
1 cdlemk.v1 . 2 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
2 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 36570 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺𝑇)
6 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemk.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 36495 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
983ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃𝐵)
10 cdlemk.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdlemk.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
126, 10, 11ltrncl 37331 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐵) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐵)
134, 5, 9, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐵)
14 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑋𝑇)
156, 10, 11ltrncl 37331 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐵) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
164, 14, 9, 15syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
17 cdlemk.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
186, 17latjcl 17657 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
193, 13, 16, 18syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
20 simp21 1203 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐹𝑇)
2110, 11ltrncnv 37352 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
224, 20, 21syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐹𝑇)
2310, 11ltrnco 37925 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
244, 5, 22, 23syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
25 cdlemk.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
266, 10, 11, 25trlcl 37370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
274, 24, 26syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
2810, 11ltrnco 37925 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐹𝑇) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
294, 14, 22, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
306, 10, 11, 25trlcl 37370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐵)
314, 29, 30syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐵)
326, 17latjcl 17657 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))) ∈ 𝐵)
333, 27, 31, 32syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))) ∈ 𝐵)
34 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
356, 34latmcl 17658 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))) ∈ 𝐵) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) ∈ 𝐵)
363, 19, 33, 35syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) ∈ 𝐵)
371, 36eqeltrid 2920 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑉𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  ccnv 5541  ccom 5546  cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  lecple 16568  joincjn 17550  meetcmee 17551  Latclat 17651  Atomscatm 36469  HLchlt 36556  LHypclh 37190  LTrncltrn 37307  trLctrl 37364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-riotaBAD 36159
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-undef 7929  df-map 8398  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36382  df-ol 36384  df-oml 36385  df-covers 36472  df-ats 36473  df-atl 36504  df-cvlat 36528  df-hlat 36557  df-llines 36704  df-lplanes 36705  df-lvols 36706  df-lines 36707  df-psubsp 36709  df-pmap 36710  df-padd 37002  df-lhyp 37194  df-laut 37195  df-ldil 37310  df-ltrn 37311  df-trl 37365
This theorem is referenced by:  cdlemk7  38054  cdlemk11  38055  cdlemk7u  38076  cdlemk11u  38077
  Copyright terms: Public domain W3C validator