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Theorem cdlemi 37836
Description: Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l = (le‘𝐾)
cdlemi.j = (join‘𝐾)
cdlemi.m = (meet‘𝐾)
cdlemi.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemi ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = 𝑆)

Proof of Theorem cdlemi
StepHypRef Expression
1 simp11l 1276 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1277 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑊𝐻)
3 simp2l 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑈𝐸)
4 simp13 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
5 simp2r 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 cdlemi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdlemi.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 cdlemi.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdlemi.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
10 cdlemi.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemi.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemi.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemi.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemi.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 37834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
161, 2, 3, 4, 5, 15syl221anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
17 simp12 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi2 37835 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
191, 2, 3, 17, 4, 5, 18syl231anc 1382 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
201hllatd 36380 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simp11 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2211, 12, 14tendocl 37783 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
2321, 3, 4, 22syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
24 simp2rl 1234 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
256, 10atbase 36305 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐵)
276, 11, 12ltrncl 37141 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
2821, 23, 26, 27syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
296, 11, 12, 13trlcl 37180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
3021, 4, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
316, 8latjcl 17649 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
3220, 26, 30, 31syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
3311, 12, 14tendocl 37783 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
3421, 3, 17, 33syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
356, 11, 12ltrncl 37141 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3621, 34, 26, 35syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3711, 12ltrncnv 37162 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
3821, 17, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
3911, 12ltrnco 37735 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4021, 4, 38, 39syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
416, 11, 12, 13trlcl 37180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4221, 40, 41syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
436, 8latjcl 17649 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
4420, 36, 42, 43syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
456, 7, 9latlem12 17676 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)) → ((((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
4620, 28, 32, 44, 45syl13anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)) ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
4716, 19, 46mpbi2and 708 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
48 hlatl 36376 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
491, 48syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
507, 10, 11, 12ltrnat 37156 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇𝑃𝐴) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
5121, 23, 24, 50syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴)
527, 10, 11, 12ltrnel 37155 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
5321, 34, 5, 52syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
546, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 37834 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹)))
551, 2, 3, 17, 5, 54syl221anc 1373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹)))
565, 53, 553jca 1120 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))))
57 eqid 2818 . . . . . . 7 ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
586, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 57cdlemh 37833 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) 𝑊))
5958simpld 495 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊) ∧ ((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴)
6056, 59syld3an2 1403 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴)
617, 10atcmp 36327 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
6249, 51, 60, 61syl3anc 1363 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
6347, 62mpbid 233 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
64 cdlemi.s . 2 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6563, 64syl6eqr 2871 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057   I cid 5452  ccnv 5547  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174  TEndoctendo 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771
This theorem is referenced by:  cdlemj1  37837
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