Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 766 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β Lat) |
3 | | simpl 484 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simpr1 1195 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
5 | | simpr2l 1233 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdlemc3.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 37754 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
10 | | cdlemc3.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | | cdlemc3.t |
. . . . . . . 8
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
12 | 6, 10, 11 | ltrncl 38591 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
13 | 3, 4, 9, 12 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
14 | | simpr3l 1235 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
15 | | cdlemc3.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | 6, 15, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
17 | 1, 5, 14, 16 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
18 | 6, 10 | lhpbase 38464 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 18 | ad2antlr 726 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | | cdlemc3.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
21 | 6, 20 | latmcl 18330 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 2, 17, 19, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | | cdlemc3.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
24 | 6, 23, 15 | latlej1 18338 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
25 | 2, 13, 22, 24 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
26 | | breq2 5110 |
. . . . 5
β’ ((π β¨ (π
βπΉ)) = ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β ((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
27 | 25, 26 | syl5ibrcom 247 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ (π
βπΉ)) = ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)))) |
28 | | cdlemc3.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
29 | 23, 15, 20, 7, 10, 11, 28 | cdlemc3 38659 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
30 | 27, 29 | syld 47 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ (π
βπΉ)) = ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
31 | 30 | necon3bd 2958 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
32 | 31 | 3impia 1118 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (π
βπΉ)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |