Theorem cdlemg13a 41524

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg13a	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))

Proof of Theorem cdlemg13a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1303	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12l 1305	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp11 1222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
5		cdlemg12.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		cdlemg12.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemg12.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemg12.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	ltrnat 41013	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
10	3, 4, 2, 9	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
11		cdlemg12.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	5, 11, 6	hlatlej1 40248	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
14		simp32 1229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
15		simp2l 1218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
16		simp12 1223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
17	5, 6, 7, 8	ltrnel 41012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
18	3, 4, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
19		cdlemg12.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20		cdlemg12b.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21	5, 11, 19, 6, 7, 8, 20	trlval2 41036	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
22	3, 15, 18, 21	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
23	5, 11, 19, 6, 7, 8, 20	trlval2 41036	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
24	3, 4, 16, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
25	14, 22, 24	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
26	25	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)))
27	5, 6, 7, 8	ltrncoat 41017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
28	3, 15, 4, 2, 27	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
29		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)
30	5, 11, 19, 6, 7, 29	cdleme0cp 41087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
31	3, 18, 28, 30	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
32		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)
33	5, 11, 19, 6, 7, 32	cdleme0cq 41088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
34	3, 2, 18, 33	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
35	26, 31, 34	3eqtr3rd 2804	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
36	13, 35	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
37	5, 11, 6	hlatlej2 40249	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
38	1, 10, 28, 37	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
39	1	hllatd 40237	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
40		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
41	40, 6	atbase 40162	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
42	2, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
43	40, 6	atbase 40162	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴 → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
44	28, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
45	40, 11, 6	hlatjcl 40240	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
46	1, 10, 28, 45	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
47	40, 5, 11	latjle12 18538	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ↔ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
48	39, 42, 44, 46, 47	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ↔ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
49	36, 38, 48	mpbi2and 725	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
50		simp13 1224	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
51		simp33 1230	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))
52	5, 11, 19, 6, 7, 8	cdlemg11a 41510	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≠ 𝑃)
53	3, 16, 50, 15, 4, 51, 52	syl123anc 1414	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≠ 𝑃)
54	53	necomd 3010	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ≠ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
55	5, 11, 6	ps-1 40350	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ↔ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
56	1, 2, 28, 54, 10, 28, 55	syl132anc 1415	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ↔ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
57	49, 56	mpbid 235	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  lecple 17349  joincjn 18399  meetcmee 18400  Latclat 18519  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  LHypclh 40857  LTrncltrn 40974  trLctrl 41031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8271  df-map 8828  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032

This theorem is used by:  cdlemg13  41525