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Theorem cdlemg13a 39825
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg13a ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
Proof of Theorem cdlemg13a
StepHypRef Expression
1 simp11l 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12l 1284 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp11 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp2r 1198 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5 cdlemg12.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemg12.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg12.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnat 39314 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
11 cdlemg12.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
125, 11, 6hlatlej1 38548 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
131, 2, 10, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
14 simp32 1208 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
15 simp2l 1197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
16 simp12 1202 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
175, 6, 7, 8ltrnel 39313 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
183, 4, 16, 17syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
19 cdlemg12.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
20 cdlemg12b.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
215, 11, 19, 6, 7, 8, 20trlval2 39337 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
223, 15, 18, 21syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
235, 11, 19, 6, 7, 8, 20trlval2 39337 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
243, 4, 16, 23syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
2514, 22, 243eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
2625oveq2d 7427 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
275, 6, 7, 8ltrncoat 39318 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
283, 15, 4, 2, 27syl121anc 1373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
29 eqid 2730 . . . . . . 7 (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)
305, 11, 19, 6, 7, 29cdleme0cp 39388 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
313, 18, 28, 30syl12anc 833 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
32 eqid 2730 . . . . . . 7 ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)
335, 11, 19, 6, 7, 32cdleme0cq 39389 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
343, 2, 18, 33syl12anc 833 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
3526, 31, 343eqtr3rd 2779 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
3613, 35breqtrd 5173 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
375, 11, 6hlatlej2 38549 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
381, 10, 28, 37syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
391hllatd 38537 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
40 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4140, 6atbase 38462 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
422, 41syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4340, 6atbase 38462 . . . . 5 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4428, 43syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4540, 11, 6hlatjcl 38540 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461, 10, 28, 45syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4740, 5, 11latjle12 18407 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
4839, 42, 44, 46, 47syl13anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
4936, 38, 48mpbi2and 708 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
50 simp13 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
51 simp33 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))
525, 11, 19, 6, 7, 8cdlemg11a 39811 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)
533, 16, 50, 15, 4, 51, 52syl123anc 1385 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) β‰  𝑃)
5453necomd 2994 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 β‰  (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
555, 11, 6ps-1 38651 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
561, 2, 28, 54, 10, 28, 55syl132anc 1386 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ↔ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
5749, 56mpbid 231 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  cdlemg13  39826
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