Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg12a 37331
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg12a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))

Proof of Theorem cdlemg12a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21l 1283 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑃𝐴)
3 simp1 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp31 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝐺𝑇)
5 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 36828 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp1r 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑊𝐻)
12 simp21 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 simp22l 1285 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑄𝐴)
14 simp32 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑃𝑄)
15 cdlemg12.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
16 cdlemg12.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
17 cdlemg12.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
185, 15, 16, 6, 7, 17cdleme0a 36899 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
191, 11, 12, 13, 14, 18syl212anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑈𝐴)
20 simp33 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))
215, 15, 16, 62llnma3r 36476 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈)) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) = 𝑈)
221, 2, 10, 19, 20, 21syl131anc 1376 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) = 𝑈)
23 simp23 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝐹𝑇)
245, 6, 7, 8ltrncoat 36832 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
253, 23, 4, 2, 24syl121anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
265, 15, 6hlatlej2 36064 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴𝑈𝐴) → 𝑈 ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))
271, 25, 19, 26syl3anc 1364 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → 𝑈 ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))
2822, 27eqbrtrd 4990 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑈) ≠ ((𝐺𝑃) 𝑈))) → ((𝑃 𝑈) ((𝐺𝑃) 𝑈)) ((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  lecple 16405  joincjn 17387  meetcmee 17388  Atomscatm 35951  HLchlt 36038  LHypclh 36672  LTrncltrn 36789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-map 8265  df-proset 17371  df-poset 17389  df-plt 17401  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-p0 17482  df-p1 17483  df-lat 17489  df-clat 17551  df-oposet 35864  df-ol 35866  df-oml 35867  df-covers 35954  df-ats 35955  df-atl 35986  df-cvlat 36010  df-hlat 36039  df-lhyp 36676  df-laut 36677  df-ldil 36792  df-ltrn 36793
This theorem is referenced by:  cdlemg12b  37332
  Copyright terms: Public domain W3C validator