Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg12a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg12a 39212
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg12a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ)) ≀ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ))
Proof of Theorem cdlemg12a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp21l 1290 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp31 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5 cdlemg12.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnat 38709 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
11 simp1r 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
12 simp21 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
13 simp22l 1292 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
14 simp32 1210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
15 cdlemg12.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 cdlemg12.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 cdlemg12.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
185, 15, 16, 6, 7, 17cdleme0a 38780 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
191, 11, 12, 13, 14, 18syl212anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
20 simp33 1211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))
215, 15, 16, 62llnma3r 38357 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
221, 2, 10, 19, 20, 21syl131anc 1383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
23 simp23 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
245, 6, 7, 8ltrncoat 38713 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
253, 23, 4, 2, 24syl121anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
265, 15, 6hlatlej2 37944 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ≀ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ))
271, 25, 19, 26syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ≀ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ))
2822, 27eqbrtrd 5147 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β‰  ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘ˆ)) ≀ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  lecple 17169  joincjn 18229  meetcmee 18230  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-map 8789  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674
This theorem is referenced by:  cdlemg12b  39213
  Copyright terms: Public domain W3C validator