Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1197 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simp21l 1290 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β π β π΄) |
3 | | simp1 1136 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp31 1209 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β πΊ β π) |
5 | | cdlemg12.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemg12.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemg12.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemg12.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | ltrnat 38709 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ π β π΄) β (πΊβπ) β π΄) |
10 | 3, 4, 2, 9 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β (πΊβπ) β π΄) |
11 | | simp1r 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β π β π») |
12 | | simp21 1206 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
13 | | simp22l 1292 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β π β π΄) |
14 | | simp32 1210 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β π β π) |
15 | | cdlemg12.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | | cdlemg12.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | cdlemg12.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
18 | 5, 15, 16, 6, 7, 17 | cdleme0a 38780 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
19 | 1, 11, 12, 13, 14, 18 | syl212anc 1380 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β π β π΄) |
20 | | simp33 1211 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π)) |
21 | 5, 15, 16, 6 | 2llnma3r 38357 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (πΊβπ) β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ ((πΊβπ) β¨ π)) = π) |
22 | 1, 2, 10, 19, 20, 21 | syl131anc 1383 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ ((πΊβπ) β¨ π)) = π) |
23 | | simp23 1208 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β πΉ β π) |
24 | 5, 6, 7, 8 | ltrncoat 38713 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
25 | 3, 23, 4, 2, 24 | syl121anc 1375 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
26 | 5, 15, 6 | hlatlej2 37944 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π΄ β§ π β π΄) β π β€ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ π)) |
27 | 1, 25, 19, 26 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β π β€ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ π)) |
28 | 22, 27 | eqbrtrd 5147 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ π β π β§ (π β¨ π) β ((πΊβπ) β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ ((πΊβπ) β¨ π)) β€ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ π)) |