Theorem cdlemg19a 40640

Description: Show two lines intersect at an atom. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg19a	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ∨ ,𝑟   ≤ ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑟)   𝐻(𝑟)   𝐾(𝑟)   ∧ (𝑟)

Proof of Theorem cdlemg19a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1284	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39320	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp12l 1286	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp11 1203	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		simp21 1206	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
6		cdlemg12.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		cdlemg12.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		cdlemg12.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		cdlemg12.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10	6, 7, 8, 9	ltrncoat 40101	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
11	4, 5, 3, 10	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
12		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		cdlemg12.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	12, 13, 7	hlatjcl 39323	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 3, 11, 14	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
16		simp13l 1288	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	6, 7, 8, 9	ltrncoat 40101	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑄)) ∈ 𝐴)
18	4, 5, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑄)) ∈ 𝐴)
19	12, 13, 7	hlatjcl 39323	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∈ (Base‘𝐾))
20	1, 16, 18, 19	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∈ (Base‘𝐾))
21		cdlemg12.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
22	12, 6, 21	latmle1 18534	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
23	2, 15, 20, 22	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
24		cdlemg12b.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
25	6, 13, 21, 7, 8, 9, 24	cdlemg18 40639	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ 𝑊)
26	6, 13, 21, 7, 8, 9, 24	cdlemg18d 40638	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ∈ 𝐴)
27	12, 7	atbase 39245	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ∈ 𝐴 → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ∈ (Base‘𝐾))
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ∈ (Base‘𝐾))
29		simp11r 1285	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
30	12, 8	lhpbase 39955	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32	12, 6, 21	latlem12 18536	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ 𝑊) ↔ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
33	2, 28, 15, 31, 32	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ 𝑊) ↔ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
34	23, 25, 33	mpbi2and 711	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
35		hlatl 39316	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
36	1, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
37		simp12 1204	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
38		simp13 1205	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
39		simp21l 1290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
40		simp21r 1291	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
41		simp32 1210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))
42	6, 13, 21, 7, 8, 9	cdlemg11a 40594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≠ 𝑃)
43	4, 37, 38, 39, 40, 41, 42	syl123anc 1387	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ≠ 𝑃)
44	43	necomd 3002	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → 𝑃 ≠ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
45	6, 13, 21, 7, 8	lhpat 40000	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
46	4, 37, 11, 44, 45	syl112anc 1374	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
47	6, 7	atcmp 39267	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ↔ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
48	36, 26, 46, 47	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → (((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ↔ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
49	34, 48	mpbid 232	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟)))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501  Atomscatm 39219  AtLatcal 39220  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-undef 8314  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116

This theorem is referenced by:  cdlemg19  40641