Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg17f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg17f 40050
Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 8-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg17f ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   𝑇(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   𝐻(π‘Ÿ)   𝐾(π‘Ÿ)   ∧ (π‘Ÿ)

Proof of Theorem cdlemg17f
StepHypRef Expression
1 cdlemg12.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cdlemg12.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cdlemg12.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 cdlemg12.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 cdlemg12.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemg12.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 cdlemg12b.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdlemg17e 40049 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
9 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 simp22 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
11 simp21 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
12 simp12 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
131, 4, 5, 6ltrnel 39523 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
149, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7trlval2 39547 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
169, 10, 14, 15syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
1716oveq2d 7421 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
18 simp12l 1283 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
191, 4, 5, 6ltrncoat 39528 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
209, 10, 11, 18, 19syl121anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
21 eqid 2726 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)
221, 2, 3, 4, 5, 21cdleme0cp 39598 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))))
239, 14, 20, 22syl12anc 834 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))))
248, 17, 233eqtrd 2770 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemg17g  40051
  Copyright terms: Public domain W3C validator