Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1284 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37932 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp12l 1286 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β π β π΄) |
4 | | simp11 1203 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
5 | | simp21 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β πΉ β π) |
6 | | simp22 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β πΊ β π) |
7 | | cdlemg12.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemg12.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdlemg12.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdlemg12.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | 7, 8, 9, 10 | ltrncoat 38713 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
12 | 4, 5, 6, 3, 11 | syl121anc 1375 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
13 | | eqid 2731 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
14 | | cdlemg12.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 13, 14, 8 | hlatjcl 37935 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
16 | 1, 3, 12, 15 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
17 | | simp13l 1288 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β π β π΄) |
18 | 7, 8, 9, 10 | ltrncoat 38713 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
19 | 4, 5, 6, 17, 18 | syl121anc 1375 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) |
20 | 13, 14, 8 | hlatjcl 37935 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π΄) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
21 | 1, 17, 19, 20 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) |
22 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
23 | 13, 7, 22 | latmle1 18382 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
24 | 2, 16, 21, 23 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
25 | | simp1 1136 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
26 | | simp2 1137 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π)) |
27 | | simp33 1211 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) |
28 | | simp31l 1296 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
29 | | simp31r 1297 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) |
30 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
31 | 7, 14, 22, 8, 9, 10, 30 | cdlemg10 39210 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ π) |
32 | 25, 26, 27, 28, 29, 31 | syl113anc 1382 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ π) |
33 | 13, 22 | latmcl 18358 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β (BaseβπΎ)) |
34 | 2, 16, 21, 33 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β (BaseβπΎ)) |
35 | | simp11r 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β π β π») |
36 | 13, 9 | lhpbase 38567 |
. . . 4
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
38 | 13, 7, 22 | latlem12 18384 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π))) |
39 | 2, 34, 16, 37, 38 | syl13anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π))) |
40 | 24, 32, 39 | mpbi2and 710 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) β€ ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |