MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum2 27229
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrsum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrsum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrsum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum2.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrsum2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   1 ,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   π‘ˆ,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2740 . 2 ((Ο•β€˜π‘) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (Ο•β€˜π‘) ↔ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0)))
2 eqeq2 2740 . 2 (0 = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0 ↔ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0)))
3 fveq1 6901 . . . . . 6 (𝑋 = 1 β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = ( 1 β€˜π‘Ž))
4 dchrsum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 dchrsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 dchrsum.1 . . . . . . 7 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
104, 9dchrrcl 27201 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
13 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 27218 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 β€˜π‘Ž) = 1)
153, 14sylan9eqr 2790 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 1)
1615an32s 650 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 1)
1716sumeq2dv 15691 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1)
185, 7znunithash 21512 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
1911, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
2011phicld 16750 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
2120nnnn0d 12572 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•0)
2219, 21eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
237fvexi 6916 . . . . . . . 8 π‘ˆ ∈ V
24 hashclb 14359 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
2622, 25sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
27 ax-1cn 11206 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
28 fsumconst 15778 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1))
2926, 27, 28sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1))
3019oveq1d 7441 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1) = ((Ο•β€˜π‘) Β· 1))
3120nncnd 12268 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
3231mulridd 11271 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· 1) = (Ο•β€˜π‘))
3329, 30, 323eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = (Ο•β€˜π‘))
3433adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = (Ο•β€˜π‘))
3517, 34eqtrd 2768 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (Ο•β€˜π‘))
364dchrabl 27215 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
37 ablgrp 19754 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
389, 6grpidcl 18936 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ 1 ∈ 𝐷)
3911, 36, 37, 384syl 19 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
404, 5, 9, 7, 8, 39dchreq 27219 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 = 1 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
4140notbid 317 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
42 rexnal 3097 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜))
4341, 42bitr4di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
44 df-ne 2938 . . . . . 6 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜))
4511adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
46 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
474, 5, 6, 7, 45, 46dchr1 27218 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 β€˜π‘˜) = 1)
4847neeq2d 2998 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1))
4926adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
50 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
514, 5, 9, 50, 8dchrf 27203 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
5250, 7unitss 20329 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
5352sseli 3978 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘))
54 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5551, 53, 54syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5655adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5749, 56fsumcl 15721 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
58 0cnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 0 ∈ β„‚)
5951adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
60 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
6152, 60sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
6259, 61ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
63 subcl 11499 . . . . . . . . . 10 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
6462, 27, 63sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
65 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)
66 subeq0 11526 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) = 1))
6762, 27, 66sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) = 1))
6867necon3bid 2982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1))
6965, 68mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) β‰  0)
70 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž))
7170fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)))
7271cbvsumv 15684 . . . . . . . . . . . . . 14 Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž))
734, 5, 9dchrmhm 27202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
7473, 8sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
7661adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
7753adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘))
78 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
7978, 50mgpbas 20094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
80 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
8178, 80mgpplusg 20092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
82 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
83 cnfldmul 21301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
8482, 83mgpplusg 20092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
8579, 81, 84mhmlin 18759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8675, 76, 77, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8786sumeq2dv 15691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8872, 87eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
89 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)))
9011nnnn0d 12572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
915zncrng 21492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
92 crngring 20199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
93 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
947, 93unitgrp 20336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
9590, 91, 92, 944syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
96 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐))) = (𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))
977, 93unitgrpbas 20335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
9893, 81ressplusg 17280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
9923, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
10096, 97, 99grplactf1o 19014 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜):π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
10195, 60, 100syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜):π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
10296, 97grplactval 19012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯))
10360, 102sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯))
10489, 49, 101, 103, 56fsumf1o 15711 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)))
10549, 62, 56fsummulc2 15772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
10688, 104, 1053eqtr4rd 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))
10757mullidd 11272 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))
108106, 107oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))) = (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) βˆ’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)))
10957subidd 11599 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) βˆ’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = 0)
110108, 109eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))) = 0)
111 1cnd 11249 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
11262, 111, 57subdird 11711 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))))
11364mul01d 11453 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· 0) = 0)
114110, 112, 1133eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· 0))
11557, 58, 64, 69, 114mulcanad 11889 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
116115expr 455 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
11748, 116sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
11844, 117biimtrrid 242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
119118rexlimdva 3152 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
12043, 119sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
121120imp 405 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
1221, 2, 35, 121ifbothda 4570 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473  ifcif 4532   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  β„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   Β· cmul 11153   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  β™―chash 14331  Ξ£csu 15674  Ο•cphi 16742  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  0gc0g 17430   MndHom cmhm 18747  Grpcgrp 18904  Abelcabl 19750  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188  Unitcui 20308  β„‚fldccnfld 21293  β„€/nβ„€czn 21442  DChrcdchr 27193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-phi 16744  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-imas 17499  df-qus 17500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-nsg 19093  df-eqg 19094  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21158  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-zn 21446  df-dchr 27194
This theorem is referenced by:  dchrsum  27230
  Copyright terms: Public domain W3C validator