MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum2 26751
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrsum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrsum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrsum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum2.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrsum2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   1 ,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   π‘ˆ,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2745 . 2 ((Ο•β€˜π‘) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (Ο•β€˜π‘) ↔ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0)))
2 eqeq2 2745 . 2 (0 = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0 ↔ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0)))
3 fveq1 6887 . . . . . 6 (𝑋 = 1 β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = ( 1 β€˜π‘Ž))
4 dchrsum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 dchrsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 dchrsum.1 . . . . . . 7 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
104, 9dchrrcl 26723 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
13 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 26740 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 β€˜π‘Ž) = 1)
153, 14sylan9eqr 2795 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 1)
1615an32s 651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 1)
1716sumeq2dv 15645 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1)
185, 7znunithash 21104 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
1911, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
2011phicld 16701 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
2120nnnn0d 12528 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•0)
2219, 21eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
237fvexi 6902 . . . . . . . 8 π‘ˆ ∈ V
24 hashclb 14314 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
2622, 25sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
27 ax-1cn 11164 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
28 fsumconst 15732 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1))
2926, 27, 28sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1))
3019oveq1d 7419 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1) = ((Ο•β€˜π‘) Β· 1))
3120nncnd 12224 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
3231mulridd 11227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· 1) = (Ο•β€˜π‘))
3329, 30, 323eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = (Ο•β€˜π‘))
3433adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = (Ο•β€˜π‘))
3517, 34eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (Ο•β€˜π‘))
364dchrabl 26737 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
37 ablgrp 19646 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
389, 6grpidcl 18846 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ 1 ∈ 𝐷)
3911, 36, 37, 384syl 19 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
404, 5, 9, 7, 8, 39dchreq 26741 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 = 1 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
4140notbid 318 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
42 rexnal 3101 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜))
4341, 42bitr4di 289 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
44 df-ne 2942 . . . . . 6 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜))
4511adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
46 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
474, 5, 6, 7, 45, 46dchr1 26740 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 β€˜π‘˜) = 1)
4847neeq2d 3002 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1))
4926adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
50 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
514, 5, 9, 50, 8dchrf 26725 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
5250, 7unitss 20179 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
5352sseli 3977 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘))
54 ffvelcdm 7079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5551, 53, 54syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5655adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5749, 56fsumcl 15675 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
58 0cnd 11203 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 0 ∈ β„‚)
5951adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
60 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
6152, 60sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
6259, 61ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
63 subcl 11455 . . . . . . . . . 10 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
6462, 27, 63sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
65 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)
66 subeq0 11482 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) = 1))
6762, 27, 66sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) = 1))
6867necon3bid 2986 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) β‰  0)
70 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž))
7170fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)))
7271cbvsumv 15638 . . . . . . . . . . . . . 14 Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž))
734, 5, 9dchrmhm 26724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
7473, 8sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
7661adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
7753adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘))
78 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
7978, 50mgpbas 19985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
80 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
8178, 80mgpplusg 19983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
82 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
83 cnfldmul 20935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
8482, 83mgpplusg 19983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
8579, 81, 84mhmlin 18675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8675, 76, 77, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8786sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8872, 87eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
89 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)))
9011nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
915zncrng 21084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
92 crngring 20059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
93 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
947, 93unitgrp 20186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
9590, 91, 92, 944syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
96 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐))) = (𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))
977, 93unitgrpbas 20185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
9893, 81ressplusg 17231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
9923, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
10096, 97, 99grplactf1o 18923 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜):π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
10195, 60, 100syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜):π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
10296, 97grplactval 18921 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯))
10360, 102sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯))
10489, 49, 101, 103, 56fsumf1o 15665 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)))
10549, 62, 56fsummulc2 15726 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
10688, 104, 1053eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))
10757mullidd 11228 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))
108106, 107oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))) = (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) βˆ’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)))
10957subidd 11555 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) βˆ’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = 0)
110108, 109eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))) = 0)
111 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
11262, 111, 57subdird 11667 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))))
11364mul01d 11409 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· 0) = 0)
114110, 112, 1133eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· 0))
11557, 58, 64, 69, 114mulcanad 11845 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
116115expr 458 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
11748, 116sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
11844, 117biimtrrid 242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
119118rexlimdva 3156 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
12043, 119sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
121120imp 408 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
1221, 2, 35, 121ifbothda 4565 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628  Ο•cphi 16693  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   MndHom cmhm 18665  Grpcgrp 18815  Abelcabl 19642  mulGrpcmgp 19979  Ringcrg 20047  CRingccrg 20048  Unitcui 20158  β„‚fldccnfld 20929  β„€/nβ„€czn 21036  DChrcdchr 26715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-phi 16695  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-rnghom 20240  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-lidl 20775  df-rsp 20776  df-2idl 20844  df-cnfld 20930  df-zring 21003  df-zrh 21037  df-zn 21040  df-dchr 26716
This theorem is referenced by:  dchrsum  26752
  Copyright terms: Public domain W3C validator