MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum2 26616
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrsum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrsum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrsum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrsum2.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrsum2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   1 ,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   π‘ˆ,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2748 . 2 ((Ο•β€˜π‘) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (Ο•β€˜π‘) ↔ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0)))
2 eqeq2 2748 . 2 (0 = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0 ↔ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0)))
3 fveq1 6841 . . . . . 6 (𝑋 = 1 β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = ( 1 β€˜π‘Ž))
4 dchrsum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 dchrsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 dchrsum.1 . . . . . . 7 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
104, 9dchrrcl 26588 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
13 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 26605 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 β€˜π‘Ž) = 1)
153, 14sylan9eqr 2798 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 1)
1615an32s 650 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 1)
1716sumeq2dv 15588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1)
185, 7znunithash 20971 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
1911, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) = (Ο•β€˜π‘))
2011phicld 16644 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
2120nnnn0d 12473 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•0)
2219, 21eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
237fvexi 6856 . . . . . . . 8 π‘ˆ ∈ V
24 hashclb 14258 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Fin ↔ (β™―β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
2622, 25sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
27 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
28 fsumconst 15675 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1))
2926, 27, 28sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1))
3019oveq1d 7372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘ˆ) Β· 1) = ((Ο•β€˜π‘) Β· 1))
3120nncnd 12169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
3231mulid1d 11172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· 1) = (Ο•β€˜π‘))
3329, 30, 323eqtrd 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = (Ο•β€˜π‘))
3433adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ 1 = (Ο•β€˜π‘))
3517, 34eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (Ο•β€˜π‘))
364dchrabl 26602 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
37 ablgrp 19567 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
389, 6grpidcl 18778 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ 1 ∈ 𝐷)
3911, 36, 37, 384syl 19 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
404, 5, 9, 7, 8, 39dchreq 26606 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 = 1 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
4140notbid 317 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
42 rexnal 3103 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜))
4341, 42bitr4di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜)))
44 df-ne 2944 . . . . . 6 ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜))
4511adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
46 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
474, 5, 6, 7, 45, 46dchr1 26605 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 β€˜π‘˜) = 1)
4847neeq2d 3004 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1))
4926adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
514, 5, 9, 50, 8dchrf 26590 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
5250, 7unitss 20089 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
5352sseli 3940 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ π‘ˆ β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘))
54 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5551, 53, 54syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5655adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
5749, 56fsumcl 15618 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
58 0cnd 11148 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 0 ∈ β„‚)
5951adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
60 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘˜ ∈ π‘ˆ)
6152, 60sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
6259, 61ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
63 subcl 11400 . . . . . . . . . 10 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
6462, 27, 63sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
65 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)
66 subeq0 11427 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) = 1))
6762, 27, 66sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) = 0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) = 1))
6867necon3bid 2988 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) β‰  0 ↔ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1))
6965, 68mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) β‰  0)
70 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž))
7170fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)))
7271cbvsumv 15581 . . . . . . . . . . . . . 14 Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž))
734, 5, 9dchrmhm 26589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
7473, 8sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
7661adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘))
7753adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘))
78 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
7978, 50mgpbas 19902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
80 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
8178, 80mgpplusg 19900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
82 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
83 cnfldmul 20802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
8482, 83mgpplusg 19900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
8579, 81, 84mhmlin 18609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8675, 76, 77, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8786sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
8872, 87eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
89 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯) β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)))
9011nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
915zncrng 20951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
92 crngring 19976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
93 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
947, 93unitgrp 20096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
9590, 91, 92, 944syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
96 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐))) = (𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))
977, 93unitgrpbas 20095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
9893, 81ressplusg 17171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)))
9923, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
10096, 97, 99grplactf1o 18851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜):π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
10195, 60, 100syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜):π‘ˆβ€“1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
10296, 97grplactval 18849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯))
10360, 102sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((𝑏 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑐 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑏(.rβ€˜π‘)𝑐)))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = (π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯))
10489, 49, 101, 103, 56fsumf1o 15608 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘)π‘₯)))
10549, 62, 56fsummulc2 15669 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β€˜π‘Ž)))
10688, 104, 1053eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))
10757mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))
108106, 107oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))) = (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) βˆ’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)))
10957subidd 11500 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) βˆ’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = 0)
110108, 109eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))) = 0)
111 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
11262, 111, 57subdird 11612 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = (((π‘‹β€˜π‘˜) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) βˆ’ (1 Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž))))
11364mul01d 11354 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· 0) = 0)
114110, 112, 1133eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž)) = (((π‘‹β€˜π‘˜) βˆ’ 1) Β· 0))
11557, 58, 64, 69, 114mulcanad 11790 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
116115expr 457 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  1 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
11748, 116sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) β‰  ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
11844, 117biimtrrid 242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
119118rexlimdva 3152 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘ˆ Β¬ (π‘‹β€˜π‘˜) = ( 1 β€˜π‘˜) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
12043, 119sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 = 1 β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0))
121120imp 407 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = 1 ) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = 0)
1221, 2, 35, 121ifbothda 4524 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ π‘ˆ (π‘‹β€˜π‘Ž) = if(𝑋 = 1 , (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  βˆ€wral 3064  βˆƒwrex 3073  Vcvv 3445  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  βŸΆwf 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6495  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  β„‚cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   Β· cmul 11056   βˆ’ cmin 11385  β„•cn 12153  β„•0cn0 12413  β™―chash 14230  Ξ£csu 15570  Ο•cphi 16636  Basecbs 17083   β†Ύs cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   MndHom cmhm 18599  Grpcgrp 18748  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  β„‚fldccnfld 20796  β„€/nβ„€czn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-phi 16638  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrsum  26617
  Copyright terms: Public domain W3C validator