MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum2 27326
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1 1 = (0g𝐺)
dchrsum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrsum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrsum2 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑈,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2746 . 2 ((ϕ‘𝑁) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = (ϕ‘𝑁) ↔ Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0)))
2 eqeq2 2746 . 2 (0 = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0 ↔ Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0)))
3 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝑋 = 1 → (𝑋𝑎) = ( 1𝑎))
4 dchrsum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 dchrsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 dchrsum.1 . . . . . . 7 1 = (0g𝐺)
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐷)
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
104, 9dchrrcl 27298 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑈) → 𝑎𝑈)
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 27315 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑈) → ( 1𝑎) = 1)
153, 14sylan9eqr 2796 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑈) ∧ 𝑋 = 1 ) → (𝑋𝑎) = 1)
1615an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝑋 = 1 ) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) = 1)
1716sumeq2dv 15734 . . 3 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = Σ𝑎𝑈 1)
185, 7znunithash 21600 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))
1911, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))
2011phicld 16805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
2120nnnn0d 12584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
2219, 21eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
237fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
24 hashclb 14393 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2622, 25sylibr 234 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
27 ax-1cn 11210 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
28 fsumconst 15822 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎𝑈 1 = ((♯‘𝑈) · 1))
2926, 27, 28sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 1 = ((♯‘𝑈) · 1))
3019oveq1d 7445 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑈) · 1) = ((ϕ‘𝑁) · 1))
3120nncnd 12279 . . . . . 6 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
3231mulridd 11275 . . . . 5 (𝜑 → ((ϕ‘𝑁) · 1) = (ϕ‘𝑁))
3329, 30, 323eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 1 = (ϕ‘𝑁))
3433adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 1 = (ϕ‘𝑁))
3517, 34eqtrd 2774 . 2 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = (ϕ‘𝑁))
364dchrabl 27312 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
37 ablgrp 19817 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
389, 6grpidcl 18995 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
3911, 36, 37, 384syl 19 . . . . . . 7 (𝜑1𝐷)
404, 5, 9, 7, 8, 39dchreq 27316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 = 1 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
4140notbid 318 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 ↔ ¬ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
42 rexnal 3097 . . . . 5 (∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘))
4341, 42bitr4di 289 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 ↔ ∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
44 df-ne 2938 . . . . . 6 ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) ↔ ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘))
4511adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ)
46 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
474, 5, 6, 7, 45, 46dchr1 27315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → ( 1𝑘) = 1)
4847neeq2d 2998 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) ↔ (𝑋𝑘) ≠ 1))
4926adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑈 ∈ Fin)
50 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
514, 5, 9, 50, 8dchrf 27300 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
5250, 7unitss 20392 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
5352sseli 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑈𝑎 ∈ (Base‘𝑍))
54 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5551, 53, 54syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5655adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5749, 56fsumcl 15765 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
58 0cnd 11251 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 0 ∈ ℂ)
5951adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
60 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑘𝑈)
6152, 60sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
6259, 61ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
63 subcl 11504 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑘) − 1) ∈ ℂ)
6462, 27, 63sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) − 1) ∈ ℂ)
65 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (𝑋𝑘) ≠ 1)
66 subeq0 11532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋𝑘) − 1) = 0 ↔ (𝑋𝑘) = 1))
6762, 27, 66sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) = 0 ↔ (𝑋𝑘) = 1))
6867necon3bid 2982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑘) ≠ 1))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) − 1) ≠ 0)
70 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘(.r𝑍)𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑎))
7170fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)))
7271cbvsumv 15728 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎))
734, 5, 9dchrmhm 27299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
7473, 8sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7574ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7661adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
7753adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑍))
78 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
7978, 50mgpbas 20157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
80 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.r𝑍) = (.r𝑍)
8178, 80mgpplusg 20155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
82 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
83 cnfldmul 21389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
8482, 83mgpplusg 20155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
8579, 81, 84mhmlin 18818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8675, 76, 77, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8786sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8872, 87eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
89 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑘(.r𝑍)𝑥) → (𝑋𝑎) = (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)))
9011nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
915zncrng 21580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
92 crngring 20262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
93 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
947, 93unitgrp 20399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
9590, 91, 92, 944syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
96 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐))) = (𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))
977, 93unitgrpbas 20398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
9893, 81ressplusg 17335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
9923, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑍) = (+g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
10096, 97, 99grplactf1o 19074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘):𝑈1-1-onto𝑈)
10195, 60, 100syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘):𝑈1-1-onto𝑈)
10296, 97grplactval 19072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑈𝑥𝑈) → (((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘)‘𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑥))
10360, 102sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝑈) → (((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘)‘𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑥))
10489, 49, 101, 103, 56fsumf1o 15755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)))
10549, 62, 56fsummulc2 15816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
10688, 104, 1053eqtr4rd 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))
10757mullidd 11276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))
108106, 107oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))) = (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) − Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)))
10957subidd 11605 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) − Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = 0)
110108, 109eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))) = 0)
111 1cnd 11253 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
11262, 111, 57subdird 11717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))))
11364mul01d 11457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · 0) = 0)
114110, 112, 1133eqtr4d 2784 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = (((𝑋𝑘) − 1) · 0))
11557, 58, 64, 69, 114mulcanad 11895 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0)
116115expr 456 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ 1 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
11748, 116sylbid 240 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
11844, 117biimtrrid 243 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
119118rexlimdva 3152 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
12043, 119sylbid 240 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
121120imp 406 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0)
1221, 2, 35, 121ifbothda 4568 1 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  ifcif 4530  cmpt 5230  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  chash 14365  Σcsu 15718  ϕcphi 16797  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   MndHom cmhm 18806  Grpcgrp 18963  Abelcabl 19813  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  Unitcui 20371  fldccnfld 21381  ℤ/nczn 21530  DChrcdchr 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-phi 16799  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-dchr 27291
This theorem is referenced by:  dchrsum  27327
  Copyright terms: Public domain W3C validator