MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum2 25540
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1 1 = (0g𝐺)
dchrsum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrsum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrsum2 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑈,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2783 . 2 ((ϕ‘𝑁) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = (ϕ‘𝑁) ↔ Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0)))
2 eqeq2 2783 . 2 (0 = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0 ↔ Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0)))
3 fveq1 6492 . . . . . 6 (𝑋 = 1 → (𝑋𝑎) = ( 1𝑎))
4 dchrsum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 dchrsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 dchrsum.1 . . . . . . 7 1 = (0g𝐺)
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐷)
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
104, 9dchrrcl 25512 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1211adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑈) → 𝑎𝑈)
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 25529 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑈) → ( 1𝑎) = 1)
153, 14sylan9eqr 2830 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑈) ∧ 𝑋 = 1 ) → (𝑋𝑎) = 1)
1615an32s 639 . . . 4 (((𝜑𝑋 = 1 ) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) = 1)
1716sumeq2dv 14914 . . 3 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = Σ𝑎𝑈 1)
185, 7znunithash 20407 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))
1911, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (ϕ‘𝑁))
2011phicld 15959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
2120nnnn0d 11761 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
2219, 21eqeltrd 2860 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
237fvexi 6507 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ V
24 hashclb 13528 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2622, 25sylibr 226 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
27 ax-1cn 10387 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
28 fsumconst 14999 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑎𝑈 1 = ((♯‘𝑈) · 1))
2926, 27, 28sylancl 577 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 1 = ((♯‘𝑈) · 1))
3019oveq1d 6985 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑈) · 1) = ((ϕ‘𝑁) · 1))
3120nncnd 11451 . . . . . 6 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
3231mulid1d 10451 . . . . 5 (𝜑 → ((ϕ‘𝑁) · 1) = (ϕ‘𝑁))
3329, 30, 323eqtrd 2812 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 1 = (ϕ‘𝑁))
3433adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 1 = (ϕ‘𝑁))
3517, 34eqtrd 2808 . 2 ((𝜑𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = (ϕ‘𝑁))
364dchrabl 25526 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
37 ablgrp 18665 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
389, 6grpidcl 17913 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
3911, 36, 37, 384syl 19 . . . . . . 7 (𝜑1𝐷)
404, 5, 9, 7, 8, 39dchreq 25530 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 = 1 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
4140notbid 310 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 ↔ ¬ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
42 rexnal 3179 . . . . 5 (∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = ( 1𝑘))
4341, 42syl6bbr 281 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 ↔ ∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘)))
44 df-ne 2962 . . . . . 6 ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) ↔ ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘))
4511adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ)
46 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝑈)
474, 5, 6, 7, 45, 46dchr1 25529 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → ( 1𝑘) = 1)
4847neeq2d 3021 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) ↔ (𝑋𝑘) ≠ 1))
4926adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑈 ∈ Fin)
50 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
514, 5, 9, 50, 8dchrf 25514 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
5250, 7unitss 19127 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
5352sseli 3848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑈𝑎 ∈ (Base‘𝑍))
54 ffvelrn 6668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5551, 53, 54syl2an 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5655adantlr 702 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
5749, 56fsumcl 14944 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
58 0cnd 10426 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 0 ∈ ℂ)
5951adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
60 simprl 758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑘𝑈)
6152, 60sseldi 3850 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
6259, 61ffvelrnd 6671 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
63 subcl 10679 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑘) − 1) ∈ ℂ)
6462, 27, 63sylancl 577 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) − 1) ∈ ℂ)
65 simprr 760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (𝑋𝑘) ≠ 1)
66 subeq0 10707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋𝑘) − 1) = 0 ↔ (𝑋𝑘) = 1))
6762, 27, 66sylancl 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) = 0 ↔ (𝑋𝑘) = 1))
6867necon3bid 3005 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑘) ≠ 1))
6965, 68mpbird 249 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) − 1) ≠ 0)
70 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘(.r𝑍)𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑎))
7170fveq2d 6497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)))
7271cbvsumv 14907 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎))
734, 5, 9dchrmhm 25513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
7473, 8sseldi 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7574ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7661adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑍))
7753adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑍))
78 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
7978, 50mgpbas 18962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
80 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.r𝑍) = (.r𝑍)
8178, 80mgpplusg 18960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
82 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
83 cnfldmul 20247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
8482, 83mgpplusg 18960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
8579, 81, 84mhmlin 17804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8675, 76, 77, 85syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8786sumeq2dv 14914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑎)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
8872, 87syl5eq 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
89 fveq2 6493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑘(.r𝑍)𝑥) → (𝑋𝑎) = (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)))
9011nnnn0d 11761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
915zncrng 20387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
92 crngring 19025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
93 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
947, 93unitgrp 19134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
9590, 91, 92, 944syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
96 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐))) = (𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))
977, 93unitgrpbas 19133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
9893, 81ressplusg 16462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
9923, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑍) = (+g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
10096, 97, 99grplactf1o 17984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑘𝑈) → ((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘):𝑈1-1-onto𝑈)
10195, 60, 100syl2an2r 672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘):𝑈1-1-onto𝑈)
10296, 97grplactval 17982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝑈𝑥𝑈) → (((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘)‘𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑥))
10360, 102sylan 572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) ∧ 𝑥𝑈) → (((𝑏𝑈 ↦ (𝑐𝑈 ↦ (𝑏(.r𝑍)𝑐)))‘𝑘)‘𝑥) = (𝑘(.r𝑍)𝑥))
10489, 49, 101, 103, 56fsumf1o 14934 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = Σ𝑥𝑈 (𝑋‘(𝑘(.r𝑍)𝑥)))
10549, 62, 56fsummulc2 14993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 ((𝑋𝑘) · (𝑋𝑎)))
10688, 104, 1053eqtr4rd 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → ((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))
10757mulid2d 10452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))
108106, 107oveq12d 6988 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))) = (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) − Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)))
10957subidd 10780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) − Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = 0)
110108, 109eqtrd 2808 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))) = 0)
111 1cnd 10428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → 1 ∈ ℂ)
11262, 111, 57subdird 10892 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = (((𝑋𝑘) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) − (1 · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎))))
11364mul01d 10633 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · 0) = 0)
114110, 112, 1133eqtr4d 2818 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → (((𝑋𝑘) − 1) · Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎)) = (((𝑋𝑘) − 1) · 0))
11557, 58, 64, 69, 114mulcanad 11070 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑈 ∧ (𝑋𝑘) ≠ 1)) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0)
116115expr 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ 1 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
11748, 116sylbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → ((𝑋𝑘) ≠ ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
11844, 117syl5bir 235 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑈) → (¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
119118rexlimdva 3223 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑈 ¬ (𝑋𝑘) = ( 1𝑘) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
12043, 119sylbid 232 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 = 1 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0))
121120imp 398 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 1 ) → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = 0)
1221, 2, 35, 121ifbothda 4381 1 (𝜑 → Σ𝑎𝑈 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  Vcvv 3409  ifcif 4344  cmpt 5002  wf 6178  1-1-ontowf1o 6181  cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8300  cc 10327  0cc0 10329  1c1 10330   · cmul 10334  cmin 10664  cn 11433  0cn0 11701  chash 13499  Σcsu 14897  ϕcphi 15951  Basecbs 16333  s cress 16334  +gcplusg 16415  .rcmulr 16416  0gc0g 16563   MndHom cmhm 17795  Grpcgrp 17885  Abelcabl 18661  mulGrpcmgp 18956  Ringcrg 19014  CRingccrg 19015  Unitcui 19106  fldccnfld 20241  ℤ/nczn 20346  DChrcdchr 25504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407  ax-addf 10408  ax-mulf 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-tpos 7689  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-ec 8085  df-qs 8089  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-xnn0 11774  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-mod 13047  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-sum 14898  df-dvds 15462  df-gcd 15698  df-phi 15953  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-0g 16565  df-imas 16631  df-qus 16632  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-mhm 17797  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-mulg 18006  df-subg 18054  df-nsg 18055  df-eqg 18056  df-ghm 18121  df-cmn 18662  df-abl 18663  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-cring 19017  df-oppr 19090  df-dvdsr 19108  df-unit 19109  df-invr 19139  df-rnghom 19184  df-subrg 19250  df-lmod 19352  df-lss 19420  df-lsp 19460  df-sra 19660  df-rgmod 19661  df-lidl 19662  df-rsp 19663  df-2idl 19720  df-cnfld 20242  df-zring 20314  df-zrh 20347  df-zn 20350  df-dchr 25505
This theorem is referenced by:  dchrsum  25541
  Copyright terms: Public domain W3C validator