MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrzrhmul 27195
Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrelbas4.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
dchrzrh1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrzrh1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
dchrzrh1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
dchrzrhmul (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜πΆ))))

Proof of Theorem dchrzrhmul
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2 dchrmhm.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrmhm.b . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
42, 3dchrrcl 27189 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65nnnn0d 12560 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 dchrmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
87zncrng 21480 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ CRing)
10 crngring 20187 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
12 dchrelbas4.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
1312zrhrhm 21439 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
1411, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
15 dchrzrh1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
16 dchrzrh1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„€)
17 zringbas 21381 . . . . 5 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
18 zringmulr 21385 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
19 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
2017, 18, 19rhmmul 20427 . . . 4 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΏβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜πΆ)))
2114, 15, 16, 20syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΏβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜πΆ)))
2221fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) = (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜πΆ))))
232, 7, 3dchrmhm 27190 . . . 4 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
2423, 1sselid 3970 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
25 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
2617, 25rhmf 20426 . . . . 5 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
2714, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
2827, 15ffvelcdmd 7089 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘))
2927, 16ffvelcdmd 7089 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΆ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
30 eqid 2725 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
3130, 25mgpbas 20082 . . . 4 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
3230, 19mgpplusg 20080 . . . 4 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
33 eqid 2725 . . . . 5 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
34 cnfldmul 21289 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3533, 34mgpplusg 20080 . . . 4 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3631, 32, 35mhmlin 18747 . . 3 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘) ∧ (πΏβ€˜πΆ) ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜πΆ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜πΆ))))
3724, 28, 29, 36syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜((πΏβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘)(πΏβ€˜πΆ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜πΆ))))
3822, 37eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝐴 Β· 𝐢))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜πΆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   Β· cmul 11141  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  Basecbs 17177  .rcmulr 17231   MndHom cmhm 18735  mulGrpcmgp 20076  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176   RingHom crh 20410  β„‚fldccnfld 21281  β„€ringczring 21374  β„€RHomczrh 21427  β„€/nβ„€czn 21430  DChrcdchr 27181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-imas 17487  df-qus 17488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-eqg 19082  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-2idl 21146  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-zn 21434  df-dchr 27182
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27443  dchrvmasumlem1  27444  dchrvmasum2lem  27445  dchrisum0fmul  27455
  Copyright terms: Public domain W3C validator