MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrzrhmul 27290
Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrzrh1.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
dchrzrh1.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dchrzrhmul (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))

Proof of Theorem dchrzrhmul
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrmhm.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
42, 3dchrrcl 27284 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12587 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 dchrmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
87zncrng 21563 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
10 crngring 20242 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
12 dchrelbas4.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
1312zrhrhm 21522 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
1411, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
15 dchrzrh1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
16 dchrzrh1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
17 zringbas 21464 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
18 zringmulr 21468 . . . . 5 · = (.r‘ℤring)
19 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝑍) = (.r𝑍)
2017, 18, 19rhmmul 20486 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶)))
2114, 15, 16, 20syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶)))
2221fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))))
232, 7, 3dchrmhm 27285 . . . 4 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
2423, 1sselid 3981 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
25 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
2617, 25rhmf 20485 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2714, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2827, 15ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
2927, 16ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐶) ∈ (Base‘𝑍))
30 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3130, 25mgpbas 20142 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3230, 19mgpplusg 20141 . . . 4 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
33 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
34 cnfldmul 21372 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
3533, 34mgpplusg 20141 . . . 4 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3631, 32, 35mhmlin 18806 . . 3 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐿𝐶) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
3724, 28, 29, 36syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
3822, 37eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   · cmul 11160  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247  .rcmulr 17298   MndHom cmhm 18794  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  fldccnfld 21364  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513  DChrcdchr 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-dchr 27277
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem1  27539  dchrvmasum2lem  27540  dchrisum0fmul  27550
  Copyright terms: Public domain W3C validator