Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrzrhmul 25825
 Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrzrh1.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
dchrzrh1.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dchrzrhmul (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))

Proof of Theorem dchrzrhmul
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrmhm.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
42, 3dchrrcl 25819 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11958 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 dchrmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
87zncrng 20694 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
10 crngring 19311 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
12 dchrelbas4.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
1312zrhrhm 20662 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
1411, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
15 dchrzrh1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
16 dchrzrh1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
17 zringbas 20626 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
18 zringmulr 20629 . . . . 5 · = (.r‘ℤring)
19 eqid 2824 . . . . 5 (.r𝑍) = (.r𝑍)
2017, 18, 19rhmmul 19482 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶)))
2114, 15, 16, 20syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶)))
2221fveq2d 6677 . 2 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))))
232, 7, 3dchrmhm 25820 . . . 4 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
2423, 1sseldi 3968 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
25 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
2617, 25rhmf 19481 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2714, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2827, 15ffvelrnd 6855 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
2927, 16ffvelrnd 6855 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐶) ∈ (Base‘𝑍))
30 eqid 2824 . . . . 5 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3130, 25mgpbas 19248 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3230, 19mgpplusg 19246 . . . 4 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
33 eqid 2824 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
34 cnfldmul 20554 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
3533, 34mgpplusg 19246 . . . 4 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3631, 32, 35mhmlin 17966 . . 3 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐿𝐶) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
3724, 28, 29, 36syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
3822, 37eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   · cmul 10545  ℕcn 11641  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11984  Basecbs 16486  .rcmulr 16569   MndHom cmhm 17957  mulGrpcmgp 19242  Ringcrg 19300  CRingccrg 19301   RingHom crh 19467  ℂfldccnfld 20548  ℤringzring 20620  ℤRHomczrh 20650  ℤ/nℤczn 20653  DChrcdchr 25811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-addf 10619  ax-mulf 10620 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-ec 8294  df-qs 8298  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-imas 16784  df-qus 16785  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-nsg 18280  df-eqg 18281  df-ghm 18359  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19376  df-rnghom 19470  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-lidl 19949  df-rsp 19950  df-2idl 20008  df-cnfld 20549  df-zring 20621  df-zrh 20654  df-zn 20657  df-dchr 25812 This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26073  dchrvmasumlem1  26074  dchrvmasum2lem  26075  dchrisum0fmul  26085
 Copyright terms: Public domain W3C validator