Theorem dchrzrhmul 27386

Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrzrh1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
dchrzrh1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dchrzrhmul	⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝐴)) · (𝑋‘(𝐿‘𝐶))))

Proof of Theorem dchrzrhmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrzrh1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		dchrmhm.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	dchrrcl 27380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		dchrmhm.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	7	zncrng 21673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9	6, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
10		crngring 20326	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
12		dchrelbas4.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
13	12	zrhrhm 21640	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
15		dchrzrh1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
16		dchrzrh1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
17		zringbas 21582	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
18		zringmulr 21586	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℤring)
19		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
20	17, 18, 19	rhmmul 20567	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿‘𝐴)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝐶)))
21	14, 15, 16, 20	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿‘𝐴)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝐶)))
22	21	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = (𝑋‘((𝐿‘𝐴)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝐶))))
23	2, 7, 3	dchrmhm 27381	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
24	23, 1	sselid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
26	17, 25	rhmf 20565	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
27	14, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
28	27, 15	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
29	27, 16	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐶) ∈ (Base‘𝑍))
30		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
31	30, 25	mgpbas 20220	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
32	30, 19	mgpplusg 20219	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
33		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
34		cnfldmul 21509	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
35	33, 34	mgpplusg 20219	. . . 4 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	31, 32, 35	mhmlin 18850	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐿‘𝐶) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘((𝐿‘𝐴)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝐴)) · (𝑋‘(𝐿‘𝐶))))
37	24, 28, 29, 36	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘((𝐿‘𝐴)(.r‘𝑍)(𝐿‘𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝐴)) · (𝑋‘(𝐿‘𝐶))))
38	22, 37	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝐴)) · (𝑋‘(𝐿‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   · cmul 11104  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310   MndHom cmhm 18838  mulGrpcmgp 20215  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315   RingHom crh 20550  ℂ_fldccnfld 21501  ℤ_ringczring 21575  ℤRHomczrh 21628  ℤ/nℤczn 21631  DChrcdchr 27372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-imas 17561  df-qus 17562  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-eqg 19190  df-ghm 19283  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-2idl 21368  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-zrh 21632  df-zn 21635  df-dchr 27373

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27634  dchrvmasumlem1  27635  dchrvmasum2lem  27636  dchrisum0fmul  27646