MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrzrhmul 25323
Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrelbas4.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
dchrzrh1.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrzrh1.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
dchrzrh1.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dchrzrhmul (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))

Proof of Theorem dchrzrhmul
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrmhm.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.b . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
42, 3dchrrcl 25317 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11640 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 dchrmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
87zncrng 20214 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
10 crngring 18874 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
12 dchrelbas4.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
1312zrhrhm 20182 . . . . 5 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
1411, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
15 dchrzrh1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
16 dchrzrh1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
17 zringbas 20146 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
18 zringmulr 20149 . . . . 5 · = (.r‘ℤring)
19 eqid 2799 . . . . 5 (.r𝑍) = (.r𝑍)
2017, 18, 19rhmmul 19045 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶)))
2114, 15, 16, 20syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶)))
2221fveq2d 6415 . 2 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))))
232, 7, 3dchrmhm 25318 . . . 4 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
2423, 1sseldi 3796 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
25 eqid 2799 . . . . . 6 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
2617, 25rhmf 19044 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2714, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2827, 15ffvelrnd 6586 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑍))
2927, 16ffvelrnd 6586 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐶) ∈ (Base‘𝑍))
30 eqid 2799 . . . . 5 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3130, 25mgpbas 18811 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3230, 19mgpplusg 18809 . . . 4 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
33 eqid 2799 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
34 cnfldmul 20074 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
3533, 34mgpplusg 18809 . . . 4 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3631, 32, 35mhmlin 17657 . . 3 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐿𝐶) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
3724, 28, 29, 36syl3anc 1491 . 2 (𝜑 → (𝑋‘((𝐿𝐴)(.r𝑍)(𝐿𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
3822, 37eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘(𝐴 · 𝐶))) = ((𝑋‘(𝐿𝐴)) · (𝑋‘(𝐿𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878   · cmul 10229  cn 11312  0cn0 11580  cz 11666  Basecbs 16184  .rcmulr 16268   MndHom cmhm 17648  mulGrpcmgp 18805  Ringcrg 18863  CRingccrg 18864   RingHom crh 19030  fldccnfld 20068  ringzring 20140  ℤRHomczrh 20170  ℤ/nczn 20173  DChrcdchr 25309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-ec 7984  df-qs 7988  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-imas 16483  df-qus 16484  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-nsg 17905  df-eqg 17906  df-ghm 17971  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-rnghom 19033  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-lidl 19497  df-rsp 19498  df-2idl 19555  df-cnfld 20069  df-zring 20141  df-zrh 20174  df-zn 20177  df-dchr 25310
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  25535  dchrvmasumlem1  25536  dchrvmasum2lem  25537  dchrisum0fmul  25547
  Copyright terms: Public domain W3C validator