MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum2dchr 27194
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of π‘₯(𝐴) for fixed 𝐴 and all π‘₯ is 0 if 𝐴 = 1 and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sum2dchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
sum2dchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
sum2dchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
sum2dchr.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
sum2dchr.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
sum2dchr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
sum2dchr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sum2dchr (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 sum2dchr.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
3 sum2dchr.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 eqid 2727 . . 3 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
5 sum2dchr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
6 sum2dchr.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnnn0d 12554 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
83zncrng 21465 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
9 crngring 20176 . . . . 5 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
11 sum2dchr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
12 sum2dchr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
13 sum2dchr.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
14 eqid 2727 . . . . 5 (/rβ€˜π‘) = (/rβ€˜π‘)
155, 13, 14dvrcl 20332 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) ∈ 𝐡)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) ∈ 𝐡)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 27192 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = if((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘), (Ο•β€˜π‘), 0))
18 eqid 2727 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
19 eqid 2727 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘) = (invrβ€˜π‘)
205, 18, 13, 19, 14dvrval 20331 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2111, 12, 20syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2221adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2322fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
241, 3, 2dchrmhm 27161 . . . . . 6 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
25 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2624, 25sselid 3976 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
2711adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
285, 13unitss 20304 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝐡
2913, 19unitinvcl 20318 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3010, 12, 29syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3130adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3228, 31sselid 3976 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ 𝐡)
33 eqid 2727 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
3433, 5mgpbas 20071 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
3533, 18mgpplusg 20069 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
36 eqid 2727 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
37 cnfldmul 21274 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3836, 37mgpplusg 20069 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3934, 35, 38mhmlin 18741 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
4026, 27, 32, 39syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
41 eqid 2727 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
42 eqid 2727 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 27176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
4412adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
4513, 41unitgrpbas 20310 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
4613, 41, 19invrfval 20317 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
47 cnfldbas 21270 . . . . . . . . . 10 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
48 cnfld0 21307 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
49 cndrng 21313 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ DivRing
5047, 48, 49drngui 20619 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
51 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
5250, 42, 51invrfval 20317 . . . . . . . 8 (invrβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
5345, 46, 52ghminv 19168 . . . . . . 7 (((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)))
5443, 44, 53syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)))
5531fvresd 6911 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
5644fvresd 6911 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ) = (π‘₯β€˜πΆ))
5756fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
581, 3, 2, 5, 25dchrf 27162 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβ„‚)
5928, 44sselid 3976 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
6058, 59ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚)
611, 3, 2, 5, 13, 25, 59dchrn0 27170 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯β€˜πΆ) β‰  0 ↔ 𝐢 ∈ π‘ˆ))
6244, 61mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0)
63 cnfldinv 21317 . . . . . . . 8 (((π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = (1 / (π‘₯β€˜πΆ)))
6460, 62, 63syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = (1 / (π‘₯β€˜πΆ)))
65 recval 15293 . . . . . . . . 9 (((π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)))
6660, 62, 65syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)))
671, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 27180 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = 1)
6867oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2) = (1↑2))
69 sq1 14182 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
7068, 69eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2) = 1)
7170oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / 1))
7260cjcld 15167 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7372div1d 12004 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / 1) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7466, 71, 733eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7557, 64, 743eqtrd 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7654, 55, 753eqtr3d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7776oveq2d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
7823, 40, 773eqtrd 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
7978sumeq2dv 15673 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
805, 13, 14, 4dvreq1 20339 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘) ↔ 𝐴 = 𝐢))
8110, 11, 12, 80syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘) ↔ 𝐴 = 𝐢))
8281ifbid 4547 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘), (Ο•β€˜π‘), 0) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
8317, 79, 823eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941  ifcif 4524  {csn 4624   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   Β· cmul 11135   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β†‘cexp 14050  βˆ—ccj 15067  abscabs 15205  Ξ£csu 15656  Ο•cphi 16724  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  .rcmulr 17225   MndHom cmhm 18729   GrpHom cghm 19158  mulGrpcmgp 20065  1rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  Unitcui 20283  invrcinvr 20315  /rcdvr 20328  β„‚fldccnfld 21266  β„€/nβ„€czn 21415  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-rpss 7722  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-phi 16726  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-gim 19204  df-ga 19232  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-od 19474  df-gex 19475  df-pgp 19476  df-lsm 19582  df-pj1 19583  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-cyg 19824  df-dprd 19943  df-dpj 19944  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-0p 25586  df-limc 25782  df-dv 25783  df-ply 26109  df-idp 26110  df-coe 26111  df-dgr 26112  df-quot 26213  df-log 26477  df-cxp 26478  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27432
  Copyright terms: Public domain W3C validator