Theorem sum2dchr 27237

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sum2dchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sum2dchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
sum2dchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sum2dchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
sum2dchr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
sum2dchr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
sum2dchr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
sum2dchr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sum2dchr	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem sum2dchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum2dchr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		sum2dchr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3		sum2dchr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
5		sum2dchr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		sum2dchr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	3	zncrng 21482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9		crngring 20189	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
11		sum2dchr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		sum2dchr.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13		sum2dchr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
14		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (/r‘𝑍) = (/r‘𝑍)
15	5, 13, 14	dvrcl 20347	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16	sumdchr 27235	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = if((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍), (ϕ‘𝑁), 0))
18		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
19		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invr‘𝑍)
20	5, 18, 13, 19, 14	dvrval 20346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
21	11, 12, 20	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
22	21	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
23	22	fveq2d 6898	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))))
24	1, 3, 2	dchrmhm 27204	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
25		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26	24, 25	sselid 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
27	11	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	5, 13	unitss 20319	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
29	13, 19	unitinvcl 20333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
30	10, 12, 29	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
31	30	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
32	28, 31	sselid 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵)
33		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
34	33, 5	mgpbas 20084	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
35	33, 18	mgpplusg 20082	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
36		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
37		cnfldmul 21291	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	36, 37	mgpplusg 20082	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
39	34, 35, 38	mhmlin 18749	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))))
40	26, 27, 32, 39	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))))
41		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
42		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
43	1, 3, 2, 13, 41, 42, 25	dchrghm 27219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
44	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑈)
45	13, 41	unitgrpbas 20325	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
46	13, 41, 19	invrfval 20332	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invg‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
47		cnfldbas 21287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
48		cnfld0 21324	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
49		cndrng 21330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
50	47, 48, 49	drngui 20634	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
51		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
52	50, 42, 51	invrfval 20332	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
53	45, 46, 52	ghminv 19181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)))
54	43, 44, 53	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)))
55	31	fvresd 6914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶)))
56	44	fvresd 6914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶) = (𝑥‘𝐶))
57	56	fveq2d 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)))
58	1, 3, 2, 5, 25	dchrf 27205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
59	28, 44	sselid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐵)
60	58, 59	ffvelcdmd 7092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝐶) ∈ ℂ)
61	1, 3, 2, 5, 13, 25, 59	dchrn0 27213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥‘𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
62	44, 61	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝐶) ≠ 0)
63		cnfldinv 21334	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝐶) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)) = (1 / (𝑥‘𝐶)))
64	60, 62, 63	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)) = (1 / (𝑥‘𝐶)))
65		recval 15301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝐶) ≠ 0) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)))
66	60, 62, 65	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)))
67	1, 2, 25, 3, 13, 44	dchrabs 27223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (abs‘(𝑥‘𝐶)) = 1)
68	67	oveq1d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2) = (1↑2))
69		sq1 14190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
70	68, 69	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2) = 1)
71	70	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / 1))
72	60	cjcld 15175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑥‘𝐶)) ∈ ℂ)
73	72	div1d 12012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / 1) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
74	66, 71, 73	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
75	57, 64, 74	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
76	54, 55, 75	3eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
77	76	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
78	23, 40, 77	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
79	78	sumeq2dv 15681	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
80	5, 13, 14, 4	dvreq1 20354	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
81	10, 11, 12, 80	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
82	81	ifbid 4552	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
83	17, 79, 82	3eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3942  ifcif 4529  {csn 4629   ↾ cres 5679  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143   / cdiv 11901  ℕcn 12242  2c2 12297  ℕ₀cn0 12502  ↑cexp 14058  ∗ccj 15075  abscabs 15213  Σcsu 15664  ϕcphi 16732  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  ._rcmulr 17233   MndHom cmhm 18737   GrpHom cghm 19171  mulGrpcmgp 20078  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  Unitcui 20298  inv_rcinvr 20330  /_rcdvr 20343  ℂ_fldccnfld 21283  ℤ/nℤczn 21432  DChrcdchr 27195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-rpss 7727  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-pc 16805  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-qus 17490  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-ga 19245  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-od 19487  df-gex 19488  df-pgp 19489  df-lsm 19595  df-pj1 19596  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-cyg 19837  df-dprd 19956  df-dpj 19957  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22826  df-topon 22843  df-topsp 22865  df-bases 22879  df-cld 22953  df-ntr 22954  df-cls 22955  df-nei 23032  df-lp 23070  df-perf 23071  df-cn 23161  df-cnp 23162  df-haus 23249  df-tx 23496  df-hmeo 23689  df-fil 23780  df-fm 23872  df-flim 23873  df-flf 23874  df-xms 24256  df-ms 24257  df-tms 24258  df-cncf 24828  df-0p 25629  df-limc 25825  df-dv 25826  df-ply 26152  df-idp 26153  df-coe 26154  df-dgr 26155  df-quot 26256  df-log 26520  df-cxp 26521  df-dchr 27196

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27475