Theorem sum2dchr 25970

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sum2dchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sum2dchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
sum2dchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sum2dchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
sum2dchr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
sum2dchr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
sum2dchr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
sum2dchr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sum2dchr	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem sum2dchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum2dchr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		sum2dchr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3		sum2dchr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2758	. . 3 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
5		sum2dchr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		sum2dchr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	3	zncrng 20325	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9		crngring 19390	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
11		sum2dchr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		sum2dchr.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13		sum2dchr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
14		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (/r‘𝑍) = (/r‘𝑍)
15	5, 13, 14	dvrcl 19520	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16	sumdchr 25968	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = if((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍), (ϕ‘𝑁), 0))
18		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
19		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invr‘𝑍)
20	5, 18, 13, 19, 14	dvrval 19519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
21	11, 12, 20	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
22	21	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
23	22	fveq2d 6667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))))
24	1, 3, 2	dchrmhm 25937	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
25		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26	24, 25	sseldi 3892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
27	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	5, 13	unitss 19494	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
29	13, 19	unitinvcl 19508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
30	10, 12, 29	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
31	30	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
32	28, 31	sseldi 3892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵)
33		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
34	33, 5	mgpbas 19326	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
35	33, 18	mgpplusg 19324	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
36		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
37		cnfldmul 20185	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	36, 37	mgpplusg 19324	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
39	34, 35, 38	mhmlin 18042	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))))
40	26, 27, 32, 39	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))))
41		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
42		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
43	1, 3, 2, 13, 41, 42, 25	dchrghm 25952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
44	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑈)
45	13, 41	unitgrpbas 19500	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
46	13, 41, 19	invrfval 19507	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invg‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
47		cnfldbas 20183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
48		cnfld0 20203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
49		cndrng 20208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
50	47, 48, 49	drngui 19589	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
51		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
52	50, 42, 51	invrfval 19507	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
53	45, 46, 52	ghminv 18445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)))
54	43, 44, 53	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)))
55	31	fvresd 6683	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶)))
56	44	fvresd 6683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶) = (𝑥‘𝐶))
57	56	fveq2d 6667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)))
58	1, 3, 2, 5, 25	dchrf 25938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
59	28, 44	sseldi 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐵)
60	58, 59	ffvelrnd 6849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝐶) ∈ ℂ)
61	1, 3, 2, 5, 13, 25, 59	dchrn0 25946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥‘𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
62	44, 61	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝐶) ≠ 0)
63		cnfldinv 20210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝐶) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)) = (1 / (𝑥‘𝐶)))
64	60, 62, 63	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)) = (1 / (𝑥‘𝐶)))
65		recval 14743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝐶) ≠ 0) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)))
66	60, 62, 65	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)))
67	1, 2, 25, 3, 13, 44	dchrabs 25956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (abs‘(𝑥‘𝐶)) = 1)
68	67	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2) = (1↑2))
69		sq1 13621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
70	68, 69	eqtrdi 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2) = 1)
71	70	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / 1))
72	60	cjcld 14616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑥‘𝐶)) ∈ ℂ)
73	72	div1d 11459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / 1) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
74	66, 71, 73	3eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
75	57, 64, 74	3eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
76	54, 55, 75	3eqtr3d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
77	76	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
78	23, 40, 77	3eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
79	78	sumeq2dv 15121	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
80	5, 13, 14, 4	dvreq1 19527	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
81	10, 11, 12, 80	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
82	81	ifbid 4446	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
83	17, 79, 82	3eqtr3d 2801	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857  ifcif 4423  {csn 4525   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588  1c1 10589   · cmul 10593   / cdiv 11348  ℕcn 11687  2c2 11742  ℕ₀cn0 11947  ↑cexp 13492  ∗ccj 14516  abscabs 14654  Σcsu 15103  ϕcphi 16169  Basecbs 16554   ↾_s cress 16555  ._rcmulr 16637   MndHom cmhm 18033   GrpHom cghm 18435  mulGrpcmgp 19320  1_rcur 19332  Ringcrg 19378  CRingccrg 19379  Unitcui 19473  inv_rcinvr 19505  /_rcdvr 19516  ℂ_fldccnfld 20179  ℤ/nℤczn 20285  DChrcdchr 25928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-disj 5002  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-rpss 7453  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-ec 8307  df-qs 8311  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-acn 9417  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-word 13927  df-concat 13983  df-s1 14010  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-phi 16171  df-pc 16242  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-qus 16853  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-nsg 18357  df-eqg 18358  df-ghm 18436  df-gim 18479  df-ga 18500  df-cntz 18527  df-oppg 18554  df-od 18736  df-gex 18737  df-pgp 18738  df-lsm 18841  df-pj1 18842  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-cyg 19078  df-dprd 19198  df-dpj 19199  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-dvr 19517  df-rnghom 19551  df-drng 19585  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-lidl 20027  df-rsp 20028  df-2idl 20086  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-zring 20252  df-zrh 20286  df-zn 20289  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-0p 24383  df-limc 24578  df-dv 24579  df-ply 24897  df-idp 24898  df-coe 24899  df-dgr 24900  df-quot 24999  df-log 25260  df-cxp 25261  df-dchr 25929

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  26208