MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum2dchr 26784
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of π‘₯(𝐴) for fixed 𝐴 and all π‘₯ is 0 if 𝐴 = 1 and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sum2dchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
sum2dchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
sum2dchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
sum2dchr.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
sum2dchr.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
sum2dchr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
sum2dchr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sum2dchr (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 sum2dchr.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
3 sum2dchr.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 eqid 2732 . . 3 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
5 sum2dchr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
6 sum2dchr.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnnn0d 12534 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
83zncrng 21106 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
9 crngring 20070 . . . . 5 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
11 sum2dchr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
12 sum2dchr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
13 sum2dchr.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
14 eqid 2732 . . . . 5 (/rβ€˜π‘) = (/rβ€˜π‘)
155, 13, 14dvrcl 20222 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) ∈ 𝐡)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) ∈ 𝐡)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 26782 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = if((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘), (Ο•β€˜π‘), 0))
18 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
19 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘) = (invrβ€˜π‘)
205, 18, 13, 19, 14dvrval 20221 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2111, 12, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2221adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2322fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
241, 3, 2dchrmhm 26751 . . . . . 6 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
25 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2624, 25sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
2711adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
285, 13unitss 20194 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝐡
2913, 19unitinvcl 20208 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3010, 12, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3228, 31sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ 𝐡)
33 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
3433, 5mgpbas 19995 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
3533, 18mgpplusg 19993 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
36 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
37 cnfldmul 20956 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3836, 37mgpplusg 19993 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3934, 35, 38mhmlin 18681 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
4026, 27, 32, 39syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
41 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
42 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 26766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
4412adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
4513, 41unitgrpbas 20200 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
4613, 41, 19invrfval 20207 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
47 cnfldbas 20954 . . . . . . . . . 10 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
48 cnfld0 20975 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
49 cndrng 20980 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ DivRing
5047, 48, 49drngui 20367 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
51 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
5250, 42, 51invrfval 20207 . . . . . . . 8 (invrβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
5345, 46, 52ghminv 19101 . . . . . . 7 (((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)))
5443, 44, 53syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)))
5531fvresd 6911 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
5644fvresd 6911 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ) = (π‘₯β€˜πΆ))
5756fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
581, 3, 2, 5, 25dchrf 26752 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβ„‚)
5928, 44sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
6058, 59ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚)
611, 3, 2, 5, 13, 25, 59dchrn0 26760 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯β€˜πΆ) β‰  0 ↔ 𝐢 ∈ π‘ˆ))
6244, 61mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0)
63 cnfldinv 20982 . . . . . . . 8 (((π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = (1 / (π‘₯β€˜πΆ)))
6460, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = (1 / (π‘₯β€˜πΆ)))
65 recval 15271 . . . . . . . . 9 (((π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)))
6660, 62, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)))
671, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 26770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = 1)
6867oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2) = (1↑2))
69 sq1 14161 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
7068, 69eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2) = 1)
7170oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / 1))
7260cjcld 15145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7372div1d 11984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / 1) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7466, 71, 733eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7557, 64, 743eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7654, 55, 753eqtr3d 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7776oveq2d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
7823, 40, 773eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
7978sumeq2dv 15651 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
805, 13, 14, 4dvreq1 20229 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘) ↔ 𝐴 = 𝐢))
8110, 11, 12, 80syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘) ↔ 𝐴 = 𝐢))
8281ifbid 4551 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘), (Ο•β€˜π‘), 0) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
8317, 79, 823eqtr3d 2780 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β†‘cexp 14029  βˆ—ccj 15045  abscabs 15183  Ξ£csu 15634  Ο•cphi 16699  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  .rcmulr 17200   MndHom cmhm 18671   GrpHom cghm 19091  mulGrpcmgp 19989  1rcur 20006  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059  Unitcui 20173  invrcinvr 20205  /rcdvr 20218  β„‚fldccnfld 20950  β„€/nβ„€czn 21058  DChrcdchr 26742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-rpss 7715  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-phi 16701  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-qus 17457  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-ga 19156  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-od 19398  df-gex 19399  df-pgp 19400  df-lsm 19506  df-pj1 19507  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-cyg 19748  df-dprd 19867  df-dpj 19868  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-rsp 20794  df-2idl 20863  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zn 21062  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-0p 25194  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ply 25709  df-idp 25710  df-coe 25711  df-dgr 25712  df-quot 25811  df-log 26072  df-cxp 26073  df-dchr 26743
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27022
  Copyright terms: Public domain W3C validator