MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum2dchr 26638
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of π‘₯(𝐴) for fixed 𝐴 and all π‘₯ is 0 if 𝐴 = 1 and Ο•(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sum2dchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
sum2dchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
sum2dchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
sum2dchr.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
sum2dchr.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
sum2dchr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
sum2dchr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sum2dchr (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 sum2dchr.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
3 sum2dchr.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 eqid 2737 . . 3 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
5 sum2dchr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
6 sum2dchr.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnnn0d 12480 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
83zncrng 20967 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
9 crngring 19983 . . . . 5 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
11 sum2dchr.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
12 sum2dchr.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
13 sum2dchr.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
14 eqid 2737 . . . . 5 (/rβ€˜π‘) = (/rβ€˜π‘)
155, 13, 14dvrcl 20122 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) ∈ 𝐡)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) ∈ 𝐡)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 26636 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = if((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘), (Ο•β€˜π‘), 0))
18 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘) = (.rβ€˜π‘)
19 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘) = (invrβ€˜π‘)
205, 18, 13, 19, 14dvrval 20121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2111, 12, 20syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
2322fveq2d 6851 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
241, 3, 2dchrmhm 26605 . . . . . 6 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
25 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2624, 25sselid 3947 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
2711adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
285, 13unitss 20096 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝐡
2913, 19unitinvcl 20110 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3010, 12, 29syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3130adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
3228, 31sselid 3947 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ 𝐡)
33 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
3433, 5mgpbas 19909 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
3533, 18mgpplusg 19907 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
36 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
37 cnfldmul 20818 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3836, 37mgpplusg 19907 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3934, 35, 38mhmlin 18616 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
4026, 27, 32, 39syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘)((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))))
41 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ)
42 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 26620 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
4412adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
4513, 41unitgrpbas 20102 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
4613, 41, 19invrfval 20109 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ))
47 cnfldbas 20816 . . . . . . . . . 10 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
48 cnfld0 20837 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
49 cndrng 20842 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ DivRing
5047, 48, 49drngui 20205 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
51 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
5250, 42, 51invrfval 20109 . . . . . . . 8 (invrβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
5345, 46, 52ghminv 19022 . . . . . . 7 (((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ) ∈ (((mulGrpβ€˜π‘) β†Ύs π‘ˆ) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)))
5443, 44, 53syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)))
5531fvresd 6867 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)))
5644fvresd 6867 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ) = (π‘₯β€˜πΆ))
5756fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)) = ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
581, 3, 2, 5, 25dchrf 26606 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβ„‚)
5928, 44sselid 3947 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
6058, 59ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚)
611, 3, 2, 5, 13, 25, 59dchrn0 26614 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯β€˜πΆ) β‰  0 ↔ 𝐢 ∈ π‘ˆ))
6244, 61mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0)
63 cnfldinv 20844 . . . . . . . 8 (((π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = (1 / (π‘₯β€˜πΆ)))
6460, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = (1 / (π‘₯β€˜πΆ)))
65 recval 15214 . . . . . . . . 9 (((π‘₯β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜πΆ) β‰  0) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)))
6660, 62, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)))
671, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 26624 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ)) = 1)
6867oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2) = (1↑2))
69 sq1 14106 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
7068, 69eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2) = 1)
7170oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / ((absβ€˜(π‘₯β€˜πΆ))↑2)) = ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / 1))
7260cjcld 15088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
7372div1d 11930 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)) / 1) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7466, 71, 733eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / (π‘₯β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7557, 64, 743eqtrd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜((π‘₯ β†Ύ π‘ˆ)β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7654, 55, 753eqtr3d 2785 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ)) = (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ)))
7776oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯β€˜π΄) Β· (π‘₯β€˜((invrβ€˜π‘)β€˜πΆ))) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
7823, 40, 773eqtrd 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
7978sumeq2dv 15595 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜(𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢)) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))))
805, 13, 14, 4dvreq1 20129 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘) ↔ 𝐴 = 𝐢))
8110, 11, 12, 80syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘) ↔ 𝐴 = 𝐢))
8281ifbid 4514 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝐴(/rβ€˜π‘)𝐢) = (1rβ€˜π‘), (Ο•β€˜π‘), 0) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
8317, 79, 823eqtr3d 2785 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π΄) Β· (βˆ—β€˜(π‘₯β€˜πΆ))) = if(𝐴 = 𝐢, (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912  ifcif 4491  {csn 4591   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β†‘cexp 13974  βˆ—ccj 14988  abscabs 15126  Ξ£csu 15577  Ο•cphi 16643  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  .rcmulr 17141   MndHom cmhm 18606   GrpHom cghm 19012  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  Unitcui 20075  invrcinvr 20107  /rcdvr 20118  β„‚fldccnfld 20812  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-od 19317  df-gex 19318  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-cyg 19662  df-dprd 19781  df-dpj 19782  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-quot 25667  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  26876
  Copyright terms: Public domain W3C validator