Theorem sum2dchr 26774

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sum2dchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sum2dchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
sum2dchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sum2dchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
sum2dchr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
sum2dchr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
sum2dchr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
sum2dchr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sum2dchr	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem sum2dchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum2dchr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		sum2dchr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3		sum2dchr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
5		sum2dchr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		sum2dchr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	3	zncrng 21099	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
9		crngring 20067	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
11		sum2dchr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		sum2dchr.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13		sum2dchr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
14		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (/r‘𝑍) = (/r‘𝑍)
15	5, 13, 14	dvrcl 20217	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16	sumdchr 26772	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = if((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍), (ϕ‘𝑁), 0))
18		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
19		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invr‘𝑍)
20	5, 18, 13, 19, 14	dvrval 20216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
21	11, 12, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶)))
23	22	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))))
24	1, 3, 2	dchrmhm 26741	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
25		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26	24, 25	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
27	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐵)
28	5, 13	unitss 20189	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
29	13, 19	unitinvcl 20203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
30	10, 12, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
31	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
32	28, 31	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵)
33		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
34	33, 5	mgpbas 19992	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
35	33, 18	mgpplusg 19990	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
36		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
37		cnfldmul 20949	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	36, 37	mgpplusg 19990	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
39	34, 35, 38	mhmlin 18678	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))))
40	26, 27, 32, 39	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))))
41		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
42		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
43	1, 3, 2, 13, 41, 42, 25	dchrghm 26756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
44	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑈)
45	13, 41	unitgrpbas 20195	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
46	13, 41, 19	invrfval 20202	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invg‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
47		cnfldbas 20947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
48		cnfld0 20968	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
49		cndrng 20973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
50	47, 48, 49	drngui 20362	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
51		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
52	50, 42, 51	invrfval 20202	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
53	45, 46, 52	ghminv 19098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)))
54	43, 44, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)))
55	31	fvresd 6911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶)))
56	44	fvresd 6911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶) = (𝑥‘𝐶))
57	56	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)))
58	1, 3, 2, 5, 25	dchrf 26742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
59	28, 44	sselid 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐵)
60	58, 59	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝐶) ∈ ℂ)
61	1, 3, 2, 5, 13, 25, 59	dchrn0 26750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥‘𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
62	44, 61	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝐶) ≠ 0)
63		cnfldinv 20975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝐶) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)) = (1 / (𝑥‘𝐶)))
64	60, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥‘𝐶)) = (1 / (𝑥‘𝐶)))
65		recval 15268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝐶) ≠ 0) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)))
66	60, 62, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)))
67	1, 2, 25, 3, 13, 44	dchrabs 26760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (abs‘(𝑥‘𝐶)) = 1)
68	67	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2) = (1↑2))
69		sq1 14158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
70	68, 69	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2) = 1)
71	70	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / ((abs‘(𝑥‘𝐶))↑2)) = ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / 1))
72	60	cjcld 15142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑥‘𝐶)) ∈ ℂ)
73	72	div1d 11981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑥‘𝐶)) / 1) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
74	66, 71, 73	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (𝑥‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
75	57, 64, 74	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥 ↾ 𝑈)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
76	54, 55, 75	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥‘𝐶)))
77	76	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥‘𝐴) · (𝑥‘((invr‘𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
78	23, 40, 77	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
79	78	sumeq2dv 15648	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r‘𝑍)𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))))
80	5, 13, 14, 4	dvreq1 20224	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
81	10, 11, 12, 80	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
82	81	ifbid 4551	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝐴(/r‘𝑍)𝐶) = (1r‘𝑍), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
83	17, 79, 82	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝐴) · (∗‘(𝑥‘𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   / cdiv 11870  ℕcn 12211  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14026  ∗ccj 15042  abscabs 15180  Σcsu 15631  ϕcphi 16696  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  ._rcmulr 17197   MndHom cmhm 18668   GrpHom cghm 19088  mulGrpcmgp 19986  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  Unitcui 20168  inv_rcinvr 20200  /_rcdvr 20213  ℂ_fldccnfld 20943  ℤ/nℤczn 21051  DChrcdchr 26732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-rpss 7712  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-phi 16698  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-qus 17454  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-ga 19153  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-od 19395  df-gex 19396  df-pgp 19397  df-lsm 19503  df-pj1 19504  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-cyg 19745  df-dprd 19864  df-dpj 19865  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-0p 25186  df-limc 25382  df-dv 25383  df-ply 25701  df-idp 25702  df-coe 25703  df-dgr 25704  df-quot 25803  df-log 26064  df-cxp 26065  df-dchr 26733

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27012