MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum2dchr 25568
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sum2dchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
sum2dchr.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sum2dchr.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
sum2dchr.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
sum2dchr.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
sum2dchr.a (𝜑𝐴𝐵)
sum2dchr.c (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
sum2dchr (𝜑 → Σ𝑥𝐷 ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 sum2dchr.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
3 sum2dchr.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 eqid 2773 . . 3 (1r𝑍) = (1r𝑍)
5 sum2dchr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
6 sum2dchr.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11766 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
83zncrng 20409 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
9 crngring 19044 . . . . 5 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
11 sum2dchr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
12 sum2dchr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑈)
13 sum2dchr.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑍)
14 eqid 2773 . . . . 5 (/r𝑍) = (/r𝑍)
155, 13, 14dvrcl 19172 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵𝐶𝑈) → (𝐴(/r𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1352 . . 3 (𝜑 → (𝐴(/r𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 25566 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = if((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍), (ϕ‘𝑁), 0))
18 eqid 2773 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (.r𝑍)
19 eqid 2773 . . . . . . . 8 (invr𝑍) = (invr𝑍)
205, 18, 13, 19, 14dvrval 19171 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐶𝑈) → (𝐴(/r𝑍)𝐶) = (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶)))
2111, 12, 20syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(/r𝑍)𝐶) = (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶)))
2221adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐴(/r𝑍)𝐶) = (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶)))
2322fveq2d 6501 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = (𝑥‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶))))
241, 3, 2dchrmhm 25535 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
25 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
2624, 25sseldi 3851 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
2711adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝐵)
285, 13unitss 19146 . . . . . 6 𝑈𝐵
2913, 19unitinvcl 19160 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
3010, 12, 29syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
3130adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
3228, 31sseldi 3851 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵)
33 eqid 2773 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3433, 5mgpbas 18981 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3533, 18mgpplusg 18979 . . . . . 6 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
36 eqid 2773 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
37 cnfldmul 20269 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
3836, 37mgpplusg 18979 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3934, 35, 38mhmlin 17823 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑥‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥𝐴) · (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶))))
4026, 27, 32, 39syl3anc 1352 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥𝐴) · (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶))))
41 eqid 2773 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
42 eqid 2773 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 25550 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4412adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐶𝑈)
4513, 41unitgrpbas 19152 . . . . . . . 8 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
4613, 41, 19invrfval 19159 . . . . . . . 8 (invr𝑍) = (invg‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
47 cnfldbas 20267 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
48 cnfld0 20287 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
49 cndrng 20292 . . . . . . . . . 10 fld ∈ DivRing
5047, 48, 49drngui 19244 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
51 eqid 2773 . . . . . . . . 9 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
5250, 42, 51invrfval 19159 . . . . . . . 8 (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
5345, 46, 52ghminv 18149 . . . . . . 7 (((𝑥𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝐶𝑈) → ((𝑥𝑈)‘((invr𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)))
5443, 44, 53syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝑈)‘((invr𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)))
5531fvresd 6517 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝑈)‘((invr𝑍)‘𝐶)) = (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶)))
5644fvresd 6517 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝑈)‘𝐶) = (𝑥𝐶))
5756fveq2d 6501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘(𝑥𝐶)))
581, 3, 2, 5, 25dchrf 25536 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
5928, 44sseldi 3851 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐶𝐵)
6058, 59ffvelrnd 6676 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
611, 3, 2, 5, 13, 25, 59dchrn0 25544 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐶𝑈))
6244, 61mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐶) ≠ 0)
63 cnfldinv 20294 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐶) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥𝐶)) = (1 / (𝑥𝐶)))
6460, 62, 63syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥𝐶)) = (1 / (𝑥𝐶)))
65 recval 14542 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐶) ≠ 0) → (1 / (𝑥𝐶)) = ((∗‘(𝑥𝐶)) / ((abs‘(𝑥𝐶))↑2)))
6660, 62, 65syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (1 / (𝑥𝐶)) = ((∗‘(𝑥𝐶)) / ((abs‘(𝑥𝐶))↑2)))
671, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 25554 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐷) → (abs‘(𝑥𝐶)) = 1)
6867oveq1d 6990 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐷) → ((abs‘(𝑥𝐶))↑2) = (1↑2))
69 sq1 13372 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
7068, 69syl6eq 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → ((abs‘(𝑥𝐶))↑2) = 1)
7170oveq2d 6991 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((∗‘(𝑥𝐶)) / ((abs‘(𝑥𝐶))↑2)) = ((∗‘(𝑥𝐶)) / 1))
7260cjcld 14415 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (∗‘(𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
7372div1d 11208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((∗‘(𝑥𝐶)) / 1) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7466, 71, 733eqtrd 2813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (1 / (𝑥𝐶)) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7557, 64, 743eqtrd 2813 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7654, 55, 753eqtr3d 2817 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7776oveq2d 6991 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝐴) · (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))))
7823, 40, 773eqtrd 2813 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))))
7978sumeq2dv 14919 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = Σ𝑥𝐷 ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))))
805, 13, 14, 4dvreq1 19179 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵𝐶𝑈) → ((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
8110, 11, 12, 80syl3anc 1352 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
8281ifbid 4367 . 2 (𝜑 → if((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
8317, 79, 823eqtr3d 2817 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2962  cdif 3821  ifcif 4345  {csn 4436  cres 5406  cfv 6186  (class class class)co 6975  cc 10332  0cc0 10334  1c1 10335   · cmul 10339   / cdiv 11097  cn 11438  2c2 11494  0cn0 11706  cexp 13243  ccj 14315  abscabs 14453  Σcsu 14902  ϕcphi 15956  Basecbs 16338  s cress 16339  .rcmulr 16421   MndHom cmhm 17814   GrpHom cghm 18139  mulGrpcmgp 18975  1rcur 18987  Ringcrg 19033  CRingccrg 19034  Unitcui 19125  invrcinvr 19157  /rcdvr 19168  fldccnfld 20263  ℤ/nczn 20368  DChrcdchr 25526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413  ax-mulf 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-disj 4895  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-rpss 7266  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-tpos 7694  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-omul 7909  df-er 8088  df-ec 8090  df-qs 8094  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-fi 8669  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-dju 9123  df-card 9161  df-acn 9164  df-cda 9387  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-xnn0 11779  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-ioo 12557  df-ioc 12558  df-ico 12559  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-mod 13052  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-bc 13477  df-hash 13505  df-word 13672  df-concat 13733  df-s1 13758  df-shft 14286  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-limsup 14688  df-clim 14705  df-rlim 14706  df-sum 14903  df-ef 15280  df-sin 15282  df-cos 15283  df-pi 15285  df-dvds 15467  df-gcd 15703  df-prm 15871  df-phi 15958  df-pc 16029  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-starv 16435  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-unif 16443  df-hom 16444  df-cco 16445  df-rest 16551  df-topn 16552  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-topgen 16572  df-pt 16573  df-prds 16576  df-xrs 16630  df-qtop 16635  df-imas 16636  df-qus 16637  df-xps 16638  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-mhm 17816  df-submnd 17817  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-sbg 17909  df-mulg 18025  df-subg 18073  df-nsg 18074  df-eqg 18075  df-ghm 18140  df-gim 18183  df-ga 18204  df-cntz 18231  df-oppg 18258  df-od 18431  df-gex 18432  df-pgp 18433  df-lsm 18535  df-pj1 18536  df-cmn 18681  df-abl 18682  df-cyg 18766  df-dprd 18880  df-dpj 18881  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-cring 19036  df-oppr 19109  df-dvdsr 19127  df-unit 19128  df-invr 19158  df-dvr 19169  df-rnghom 19203  df-drng 19240  df-subrg 19269  df-lmod 19371  df-lss 19439  df-lsp 19479  df-sra 19679  df-rgmod 19680  df-lidl 19681  df-rsp 19682  df-2idl 19739  df-psmet 20255  df-xmet 20256  df-met 20257  df-bl 20258  df-mopn 20259  df-fbas 20260  df-fg 20261  df-cnfld 20264  df-zring 20336  df-zrh 20369  df-zn 20372  df-top 21222  df-topon 21239  df-topsp 21261  df-bases 21274  df-cld 21347  df-ntr 21348  df-cls 21349  df-nei 21426  df-lp 21464  df-perf 21465  df-cn 21555  df-cnp 21556  df-haus 21643  df-tx 21890  df-hmeo 22083  df-fil 22174  df-fm 22266  df-flim 22267  df-flf 22268  df-xms 22649  df-ms 22650  df-tms 22651  df-cncf 23205  df-0p 23990  df-limc 24183  df-dv 24184  df-ply 24497  df-idp 24498  df-coe 24499  df-dgr 24500  df-quot 24599  df-log 24857  df-cxp 24858  df-dchr 25527
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25806
  Copyright terms: Public domain W3C validator