Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndpsuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndpsuppfi 47308
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is finite if the support of the function of scalars is finite. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mndpsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndpsuppfi (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)

Proof of Theorem mndpsuppfi
StepHypRef Expression
1 unfi 9171 . . 3 (((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))) ∈ Fin)
213ad2ant3 1132 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))) ∈ Fin)
3 mndpsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑀)
43mndpsuppss 47304 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ⊆ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))))
543adant3 1129 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ⊆ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))))
6 ssfi 9172 . 2 ((((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))) ∈ Fin ∧ ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ⊆ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀)))) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
72, 5, 6syl2anc 583 1 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3941  wss 3943  cfv 6536  (class class class)co 7404  f cof 7664   supp csupp 8143  m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Mndcmnd 18665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-1o 8464  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666
This theorem is referenced by:  mndpfsupp  47309
  Copyright terms: Public domain W3C validator