Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndpsuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndpsuppfi 47517
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is finite if the support of the function of scalars is finite. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mndpsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndpsuppfi (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)

Proof of Theorem mndpsuppfi
StepHypRef Expression
1 unfi 9203 . . 3 (((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))) ∈ Fin)
213ad2ant3 1132 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))) ∈ Fin)
3 mndpsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑀)
43mndpsuppss 47513 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉))) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ⊆ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))))
543adant3 1129 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ⊆ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))))
6 ssfi 9204 . 2 ((((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀))) ∈ Fin ∧ ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ⊆ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∪ (𝐵 supp (0g𝑀)))) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
72, 5, 6syl2anc 582 1 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝑋) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ ((𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝐵 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)) → ((𝐴f (+g𝑀)𝐵) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3947  wss 3949  cfv 6553  (class class class)co 7426  f cof 7689   supp csupp 8171  m cmap 8851  Fincfn 8970  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Mndcmnd 18701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-1o 8493  df-map 8853  df-en 8971  df-fin 8974  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702
This theorem is referenced by:  mndpfsupp  47518
  Copyright terms: Public domain W3C validator