Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmfsupp 47489
Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmfsupp (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 6594 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)))
21a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))))
3 id 22 . . . 4 (𝐴 finSupp (0g𝑀) → 𝐴 finSupp (0g𝑀))
43fsuppimpd 9399 . . 3 (𝐴 finSupp (0g𝑀) → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
5 rmsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑀)
65rmsuppfi 47488 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
74, 6syl3an3 1162 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
8 mptexg 7237 . . . . 5 (𝑉𝑋 → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
983ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
1093ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
11 fvex 6913 . . 3 (0g𝑀) ∈ V
12 isfsupp 9395 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
1310, 11, 12sylancl 584 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
142, 7, 13mpbir2and 711 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3471   class class class wbr 5150  cmpt 5233  Fun wfun 6545  cfv 6551  (class class class)co 7424   supp csupp 8169  m cmap 8849  Fincfn 8968   finSupp cfsupp 9391  Basecbs 17185  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  Ringcrg 20178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180
This theorem is referenced by:  lincscmcl  47551
  Copyright terms: Public domain W3C validator