Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmfsupp 44763
 Description: A mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is finitely supported if the function is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmfsupp (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 6366 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)))
21a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))))
3 id 22 . . . 4 (𝐴 finSupp (0g𝑀) → 𝐴 finSupp (0g𝑀))
43fsuppimpd 8828 . . 3 (𝐴 finSupp (0g𝑀) → (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
5 rmsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑀)
65rmsuppfi 44762 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑀)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
74, 6syl3an3 1162 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
8 mptexg 6965 . . . . 5 (𝑉𝑋 → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
983ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
1093ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V)
11 fvex 6662 . . 3 (0g𝑀) ∈ V
12 isfsupp 8825 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
1310, 11, 12sylancl 589 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
142, 7, 13mpbir2and 712 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) finSupp (0g𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Ringcrg 19293 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-mgp 19236  df-ring 19295 This theorem is referenced by:  lincscmcl  44828
 Copyright terms: Public domain W3C validator