Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ress0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ress0g 17930
 Description: 0g is unaffected by restriction. This is a bit more generic than submnd0 17931. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ress0g.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
ress0g.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress0g.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ress0g ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0 = (0g𝑆))

Proof of Theorem ress0g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ress0g.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 ress0g.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2ressbas2 16546 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑆))
433ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5 simp3 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
62fvexi 6666 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 ssexg 5203 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
85, 6, 7sylancl 589 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9 eqid 2822 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
101, 9ressplusg 16603 . . 3 (𝐴 ∈ V → (+g𝑅) = (+g𝑆))
118, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
12 simp2 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0𝐴)
13 simpl1 1188 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
145sselda 3942 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
15 ress0g.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
162, 9, 15mndlid 17922 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
1713, 14, 16syl2anc 587 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
182, 9, 15mndrid 17923 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(+g𝑅) 0 ) = 𝑥)
1913, 14, 18syl2anc 587 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(+g𝑅) 0 ) = 𝑥)
204, 11, 12, 17, 19grpidd 17872 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0 = (0g𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Mndcmnd 17902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903 This theorem is referenced by:  nn0srg  20159  rge0srg  20160  zring0  20171  re0g  20299  ressnm  30648  psgnid  30770  cnmsgn0g  30819  altgnsg  30822  xrge0slmod  30949  drgext0gsca  31051  lbslsat  31071  dimkerim  31080  fedgmullem2  31083  2zrng0  44501
 Copyright terms: Public domain W3C validator