Theorem ress0g 18969

Description: 0_g is unaffected by restriction. This is a bit more generic than submnd0 18971. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress0g.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress0g.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem ress0g

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress0g.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		ress0g.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2	mndid 18948	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑢) = 𝑥))
5	4	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑢) = 𝑥))
6		ress0g.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
7		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 ∈ 𝐴)
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	idressid 18877	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑆) = 0 )
10	9	eqcomd 2769	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402   ↾_s cress 17423  +_gcplusg 17443  0_gc0g 17625  Mndcmnd 18938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939

This theorem is used by:  submnd0  18971  isdrng3lem1  21020  rngqiprngimf1  21611  nn0srg  21758  rge0srg  21759  zring0  21779  fermltlchr  21850  re0g  21933  ressnm  33581  psgnid  33714  cnmsgn0g  33763  altgnsg  33766  subrdom  33902  xrge0slmod  33965  znfermltl  33978  ressply1invg  34157  vr1nz  34181  drgext0gsca  34280  lbslsat  34304  ply1degltdimlem  34310  dimkerim  34315  fedgmullem2  34318  lvecendof1f1o  34321  evls1fldgencl  34358  fldextrspunlsplem  34361  fldextrspunlsp  34362  extdgfialglem1  34380  extdgfialglem2  34381  algextdeglem4  34408  algextdeglem5  34409  rtelextdg2lem  34414  primrootsunit1  43290  aks6d1c6lem5  43370  unitscyglem5  43392  2zrng0  49483