Theorem ress0g 18721

Description: 0_g is unaffected by restriction. This is a bit more generic than submnd0 18722. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress0g.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress0g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress0g.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem ress0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress0g.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ress0g.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas2 17199	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	3	3ad2ant3 1141	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	2	fvexi 6841	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		ssexg 5251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
10	1, 9	ressplusg 17245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
12		simp2 1143	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 ∈ 𝐴)
13		simpl1 1198	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
14	5	sselda 3915	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		ress0g.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	2, 9, 15	mndlid 18713	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
17	13, 14, 16	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 0 (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	2, 9, 15	mndrid 18714	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅) 0 ) = 𝑥)
19	13, 14, 18	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(+g‘𝑅) 0 ) = 𝑥)
20	4, 11, 12, 17, 19	grpidd 18630	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694

This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1  21293  nn0srg  21412  rge0srg  21413  zring0  21433  fermltlchr  21504  re0g  21587  ressnm  33043  psgnid  33178  cnmsgn0g  33227  altgnsg  33230  subrdom  33366  xrge0slmod  33431  znfermltl  33449  ressply1invg  33652  vr1nz  33676  drgext0gsca  33776  lbslsat  33800  ply1degltdimlem  33806  dimkerim  33811  fedgmullem2  33814  lvecendof1f1o  33817  evls1fldgencl  33854  fldextrspunlsplem  33857  fldextrspunlsp  33858  extdgfialglem1  33876  extdgfialglem2  33877  algextdeglem4  33904  algextdeglem5  33905  rtelextdg2lem  33910  primrootsunit1  42582  aks6d1c6lem5  42662  unitscyglem5  42684  2zrng0  48735