MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw3fi1lem1 22288
Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 22290. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pmatcollpw.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pmatcollpw.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
pmatcollpw.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
pmatcollpw.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
pmatcollpw3.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pmatcollpw3.d ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
pmatcollpw3fi1lem1.0 0 = (0gโ€˜๐ด)
pmatcollpw3fi1lem1.h ๐ป = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ))
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1lem1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐ต,๐‘™   ๐‘€,๐‘™   ๐‘,๐‘™   ๐‘…,๐‘™   ๐ท,๐‘™,๐‘›   ๐ด,๐‘™   ๐บ,๐‘™,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘›)   ๐ถ(๐‘™)   ๐‘ƒ(๐‘™)   ๐‘‡(๐‘›,๐‘™)   โ†‘ (๐‘™)   ๐ป(๐‘›,๐‘™)   โˆ— (๐‘›,๐‘™)   ๐‘‹(๐‘™)   0 (๐‘›,๐‘™)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))))
2 pmatcollpw.p . . . . . . . . . . 11 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
3 pmatcollpw.c . . . . . . . . . . 11 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
42, 3pmatring 22194 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
5 ringmnd 20066 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Ring โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
76adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
8 pmatcollpw.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
9 ringcmn 20099 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ Ring โ†’ ๐ถ โˆˆ CMnd)
104, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ CMnd)
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ถ โˆˆ CMnd)
12 snfi 9044 . . . . . . . . . 10 {0} โˆˆ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ {0} โˆˆ Fin)
14 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
15 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ ๐บ:{0}โŸถ๐ท)
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐บ:{0}โŸถ๐ท)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
19 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ ๐‘› = 0)
20 0nn0 12487 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„•0
2119, 20eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
23 pmatcollpw3.a . . . . . . . . . . . 12 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
24 pmatcollpw3.d . . . . . . . . . . . 12 ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
25 pmatcollpw.t . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
26 pmatcollpw.m . . . . . . . . . . . 12 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
27 pmatcollpw.e . . . . . . . . . . . 12 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
28 pmatcollpw.x . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
2923, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 22242 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
3014, 15, 18, 22, 29syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
3130ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ {0} ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
328, 11, 13, 31gsummptcl 19835 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) โˆˆ ๐ต)
33 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜๐ถ) = (+gโ€˜๐ถ)
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐ถ) = (0gโ€˜๐ถ)
358, 33, 34mndrid 18646 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ Mnd โˆง (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(0gโ€˜๐ถ)) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))))
367, 32, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(0gโ€˜๐ถ)) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))))
37 fz0sn 13601 . . . . . . . . . . . 12 (0...0) = {0}
3837eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 {0} = (0...0)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ {0} = (0...0))
40 pmatcollpw3fi1lem1.h . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ป = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ))
41 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ๐‘™ = ๐‘›)
4219ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ๐‘› = 0)
4341, 42eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ๐‘™ = 0)
4443iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = (๐บโ€˜0))
45 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜0))
4645eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐บโ€˜๐‘›))
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐บโ€˜๐‘›))
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐บโ€˜๐‘›))
4944, 48eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = (๐บโ€˜๐‘›))
50 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โˆˆ โ„•0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = 0 โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
52 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
5351, 52eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 0 โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
54 eluzfz1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...1))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ 0 โˆˆ (0...1))
56 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†” 0 โˆˆ (0...1)))
5755, 56mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = 0 โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
5819, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
60 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ:{0}โŸถ๐ท โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
6160ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท))
6216, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท))
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท))
6463imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
6540, 49, 59, 64fvmptd2 7007 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜๐‘›))
6665eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐ปโ€˜๐‘›))
6766fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))
6867oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) = ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))
6939, 68mpteq12dva 5238 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))
7069oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
71 ovexd 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (0 + 1) โˆˆ V)
728, 34mndidcl 18640 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ Mnd โ†’ (0gโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐ต)
736, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (0gโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐ต)
7473adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (0gโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐ต)
75 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 + 1) = 1
7675eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = (0 + 1) โ†” ๐‘› = 1)
77 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โ‰  0
7877neii 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ยฌ 1 = 0
79 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› = 0 โ†” 1 = 0))
8078, 79mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = 1 โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
8176, 80sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
83 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘™ = 0 โ†” ๐‘› = 0))
8483notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (ยฌ ๐‘™ = 0 โ†” ยฌ ๐‘› = 0))
8584adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ (ยฌ ๐‘™ = 0 โ†” ยฌ ๐‘› = 0))
8682, 85mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ยฌ ๐‘™ = 0)
8786iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = 0 )
88 pmatcollpw3fi1lem1.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gโ€˜๐ด)
8987, 88eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = (0gโ€˜๐ด))
9050a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = 1 โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
9190, 52eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = 1 โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
92 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 1 โˆˆ (0...1))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 1 โ†’ 1 โˆˆ (0...1))
94 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†” 1 โˆˆ (0...1)))
9593, 94mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 1 โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
9676, 95sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
98 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (0gโ€˜๐ด) โˆˆ V)
9940, 89, 97, 98fvmptd2 7007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐ด))
10099fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)) = (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)))
10123fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gโ€˜๐ด) = (0gโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
1023fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gโ€˜๐ถ) = (0gโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ))
10325, 2, 101, 1020mat2pmat 22238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)) = (0gโ€˜๐ถ))
104103ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)) = (0gโ€˜๐ถ))
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)) = (0gโ€˜๐ถ))
106100, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)) = (0gโ€˜๐ถ))
107106oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) = ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (0gโ€˜๐ถ)))
1082, 3pmatlmod 22195 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ LMod)
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ LMod)
110 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
111 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” 1 โˆˆ โ„•0))
11290, 111mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = 1 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
11376, 112sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
114113adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
115 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
116 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
1172, 28, 115, 27, 116ply1moncl 21793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
118110, 114, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1192ply1ring 21770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
1203matsca2 21922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐ถ))
121119, 120sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐ถ))
122121eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (Scalarโ€˜๐ถ) = ๐‘ƒ)
123122fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
124123eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) โ†” (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) โ†” (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
126118, 125mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)))
127 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarโ€˜๐ถ) = (Scalarโ€˜๐ถ)
128 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ))
129127, 26, 128, 34lmodvs0 20506 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ LMod โˆง (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (0gโ€˜๐ถ)) = (0gโ€˜๐ถ))
130109, 126, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (0gโ€˜๐ถ)) = (0gโ€˜๐ถ))
131107, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) = (0gโ€˜๐ถ))
1328, 7, 71, 74, 131gsumsnd 19820 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = (0gโ€˜๐ถ))
133132eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (0gโ€˜๐ถ) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
13470, 133oveq12d 7427 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(0gโ€˜๐ถ)) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
13536, 134eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
136135adantr 482 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
1371, 136eqtrd 2773 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
1381373impa 1111 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
13920a1i 11 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
140 simplll 774 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
141 simpllr 775 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ ๐บ:{0}โŸถ๐ท)
143 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ V
144143snid 4665 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ {0}
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ 0 โˆˆ {0})
146142, 145ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ (๐บโ€˜0) โˆˆ ๐ท)
14716, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ (๐บโ€˜0) โˆˆ ๐ท)
148147ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ (๐บโ€˜0) โˆˆ ๐ท)
14923matring 21945 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
15024, 88ring0cl 20084 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ท)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 0 โˆˆ ๐ท)
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ 0 โˆˆ ๐ท)
153148, 152ifcld 4575 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) โˆˆ ๐ท)
154153, 40fmptd 7114 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ป:(0...1)โŸถ๐ท)
15575oveq2i 7420 . . . . . . . . 9 (0...(0 + 1)) = (0...1)
156155feq2i 6710 . . . . . . . 8 (๐ป:(0...(0 + 1))โŸถ๐ท โ†” ๐ป:(0...1)โŸถ๐ท)
157154, 156sylibr 233 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ป:(0...(0 + 1))โŸถ๐ท)
158157ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
159 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
160159adantl 483 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
16123, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 22242 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐ปโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
162140, 141, 158, 160, 161syl22anc 838 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
1638, 33, 11, 139, 162gsummptfzsplit 19800 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
1641633adant3 1133 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
165138, 164eqtr4d 2776 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
166155mpteq1i 5245 . . 3 (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))
167166oveq2i 7420 . 2 (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))
168165, 167eqtrdi 2789 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  ifcif 4529  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ยท๐‘  cvsca 17201  0gc0g 17385   ฮฃg cgsu 17386  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  CMndccmn 19648  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  var1cv1 21700  Poly1cpl1 21701   Mat cmat 21907   matToPolyMat cmat2pmat 22206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-mamu 21886  df-mat 21908  df-mat2pmat 22209
This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  22289
  Copyright terms: Public domain W3C validator