MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw3fi1lem1 22151
Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 22153. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pmatcollpw.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pmatcollpw.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
pmatcollpw.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
pmatcollpw.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
pmatcollpw3.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pmatcollpw3.d ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
pmatcollpw3fi1lem1.0 0 = (0gโ€˜๐ด)
pmatcollpw3fi1lem1.h ๐ป = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ))
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1lem1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐ต,๐‘™   ๐‘€,๐‘™   ๐‘,๐‘™   ๐‘…,๐‘™   ๐ท,๐‘™,๐‘›   ๐ด,๐‘™   ๐บ,๐‘™,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘›)   ๐ถ(๐‘™)   ๐‘ƒ(๐‘™)   ๐‘‡(๐‘›,๐‘™)   โ†‘ (๐‘™)   ๐ป(๐‘›,๐‘™)   โˆ— (๐‘›,๐‘™)   ๐‘‹(๐‘™)   0 (๐‘›,๐‘™)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))))
2 pmatcollpw.p . . . . . . . . . . 11 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
3 pmatcollpw.c . . . . . . . . . . 11 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
42, 3pmatring 22057 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
5 ringmnd 19979 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Ring โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
76adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
8 pmatcollpw.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
9 ringcmn 20008 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ Ring โ†’ ๐ถ โˆˆ CMnd)
104, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ CMnd)
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ถ โˆˆ CMnd)
12 snfi 8991 . . . . . . . . . 10 {0} โˆˆ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ {0} โˆˆ Fin)
14 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
15 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 elmapi 8790 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ ๐บ:{0}โŸถ๐ท)
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐บ:{0}โŸถ๐ท)
1817ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
19 elsni 4604 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ ๐‘› = 0)
20 0nn0 12433 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„•0
2119, 20eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
23 pmatcollpw3.a . . . . . . . . . . . 12 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
24 pmatcollpw3.d . . . . . . . . . . . 12 ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
25 pmatcollpw.t . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
26 pmatcollpw.m . . . . . . . . . . . 12 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
27 pmatcollpw.e . . . . . . . . . . . 12 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
28 pmatcollpw.x . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
2923, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 22105 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
3014, 15, 18, 22, 29syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
3130ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ {0} ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
328, 11, 13, 31gsummptcl 19749 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) โˆˆ ๐ต)
33 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜๐ถ) = (+gโ€˜๐ถ)
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐ถ) = (0gโ€˜๐ถ)
358, 33, 34mndrid 18582 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ Mnd โˆง (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(0gโ€˜๐ถ)) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))))
367, 32, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(0gโ€˜๐ถ)) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))))
37 fz0sn 13547 . . . . . . . . . . . 12 (0...0) = {0}
3837eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 {0} = (0...0)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ {0} = (0...0))
40 pmatcollpw3fi1lem1.h . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ป = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ))
41 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ๐‘™ = ๐‘›)
4219ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ๐‘› = 0)
4341, 42eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ๐‘™ = 0)
4443iftrued 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = (๐บโ€˜0))
45 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜0))
4645eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐บโ€˜๐‘›))
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐บโ€˜๐‘›))
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐บโ€˜๐‘›))
4944, 48eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = (๐บโ€˜๐‘›))
50 1nn0 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โˆˆ โ„•0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = 0 โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
52 nn0uz 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
5351, 52eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 0 โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
54 eluzfz1 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...1))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ 0 โˆˆ (0...1))
56 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†” 0 โˆˆ (0...1)))
5755, 56mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = 0 โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
5819, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
60 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ:{0}โŸถ๐ท โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
6160ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท))
6216, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท))
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท))
6463imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
6540, 49, 59, 64fvmptd2 6957 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜๐‘›))
6665eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐ปโ€˜๐‘›))
6766fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)) = (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))
6867oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ {0}) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))) = ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))
6939, 68mpteq12dva 5195 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))
7069oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
71 ovexd 7393 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (0 + 1) โˆˆ V)
728, 34mndidcl 18576 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ Mnd โ†’ (0gโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐ต)
736, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (0gโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐ต)
7473adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (0gโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐ต)
75 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 + 1) = 1
7675eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = (0 + 1) โ†” ๐‘› = 1)
77 ax-1ne0 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โ‰  0
7877neii 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ยฌ 1 = 0
79 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› = 0 โ†” 1 = 0))
8078, 79mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = 1 โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
8176, 80sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ยฌ ๐‘› = 0)
83 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (๐‘™ = 0 โ†” ๐‘› = 0))
8483notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘™ = ๐‘› โ†’ (ยฌ ๐‘™ = 0 โ†” ยฌ ๐‘› = 0))
8584adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ (ยฌ ๐‘™ = 0 โ†” ยฌ ๐‘› = 0))
8682, 85mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ ยฌ ๐‘™ = 0)
8786iffalsed 4498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = 0 )
88 pmatcollpw3fi1lem1.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gโ€˜๐ด)
8987, 88eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โˆง ๐‘™ = ๐‘›) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) = (0gโ€˜๐ด))
9050a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = 1 โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
9190, 52eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = 1 โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
92 eluzfz2 13455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 1 โˆˆ (0...1))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 1 โ†’ 1 โˆˆ (0...1))
94 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†” 1 โˆˆ (0...1)))
9593, 94mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 1 โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
9676, 95sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (0...1))
98 fvexd 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (0gโ€˜๐ด) โˆˆ V)
9940, 89, 97, 98fvmptd2 6957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) = (0gโ€˜๐ด))
10099fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)) = (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)))
10123fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gโ€˜๐ด) = (0gโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
1023fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gโ€˜๐ถ) = (0gโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ))
10325, 2, 101, 1020mat2pmat 22101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)) = (0gโ€˜๐ถ))
104103ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)) = (0gโ€˜๐ถ))
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(0gโ€˜๐ด)) = (0gโ€˜๐ถ))
106100, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)) = (0gโ€˜๐ถ))
107106oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) = ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (0gโ€˜๐ถ)))
1082, 3pmatlmod 22058 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ LMod)
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ LMod)
110 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
111 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” 1 โˆˆ โ„•0))
11290, 111mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = 1 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
11376, 112sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = (0 + 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
114113adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
115 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
116 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
1172, 28, 115, 27, 116ply1moncl 21658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
118110, 114, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1192ply1ring 21635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
1203matsca2 21785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐ถ))
121119, 120sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐ถ))
122121eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (Scalarโ€˜๐ถ) = ๐‘ƒ)
123122fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
124123eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) โ†” (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) โ†” (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
126118, 125mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)))
127 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarโ€˜๐ถ) = (Scalarโ€˜๐ถ)
128 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ))
129127, 26, 128, 34lmodvs0 20371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ LMod โˆง (๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (0gโ€˜๐ถ)) = (0gโ€˜๐ถ))
130109, 126, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (0gโ€˜๐ถ)) = (0gโ€˜๐ถ))
131107, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› = (0 + 1)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) = (0gโ€˜๐ถ))
1328, 7, 71, 74, 131gsumsnd 19734 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = (0gโ€˜๐ถ))
133132eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (0gโ€˜๐ถ) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
13470, 133oveq12d 7376 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(0gโ€˜๐ถ)) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
13536, 134eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
136135adantr 482 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
1371, 136eqtrd 2773 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
1381373impa 1111 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
13920a1i 11 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
140 simplll 774 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
141 simpllr 775 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ ๐บ:{0}โŸถ๐ท)
143 c0ex 11154 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ V
144143snid 4623 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ {0}
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ 0 โˆˆ {0})
146142, 145ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 (๐บ:{0}โŸถ๐ท โ†’ (๐บโ€˜0) โˆˆ ๐ท)
14716, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ (๐บโ€˜0) โˆˆ ๐ท)
148147ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ (๐บโ€˜0) โˆˆ ๐ท)
14923matring 21808 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
15024, 88ring0cl 19995 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ท)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 0 โˆˆ ๐ท)
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ 0 โˆˆ ๐ท)
153148, 152ifcld 4533 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐บโ€˜0), 0 ) โˆˆ ๐ท)
154153, 40fmptd 7063 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ป:(0...1)โŸถ๐ท)
15575oveq2i 7369 . . . . . . . . 9 (0...(0 + 1)) = (0...1)
156155feq2i 6661 . . . . . . . 8 (๐ป:(0...(0 + 1))โŸถ๐ท โ†” ๐ป:(0...1)โŸถ๐ท)
157154, 156sylibr 233 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ๐ป:(0...(0 + 1))โŸถ๐ท)
158157ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท)
159 elfznn0 13540 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
160159adantl 483 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
16123, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28mat2pmatscmxcl 22105 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐ปโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
162140, 141, 158, 160, 161syl22anc 838 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))) โˆˆ ๐ต)
1638, 33, 11, 139, 162gsummptfzsplit 19714 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
1641633adant3 1133 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = ((๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...0) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))(+gโ€˜๐ถ)(๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {(0 + 1)} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))))
165138, 164eqtr4d 2776 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
166155mpteq1i 5202 . . 3 (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))
167166oveq2i 7369 . 2 (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›)))))
168165, 167eqtrdi 2789 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐บโ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐ปโ€˜๐‘›))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444  ifcif 4487  {csn 4587   โ†ฆ cmpt 5189  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ†‘m cmap 8768  Fincfn 8886  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  โ„•0cn0 12418  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ยท๐‘  cvsca 17142  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  Mndcmnd 18561  .gcmg 18877  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   Mat cmat 21770   matToPolyMat cmat2pmat 22069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-mat2pmat 22072
This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  22152
  Copyright terms: Public domain W3C validator