MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsidlem 18782
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
2 fvexd 6921 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ V)
3 prdsplusgcl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
43feqmptd 6977 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑅𝑦)))
5 fn0g 18676 . . . . . . 7 0g Fn V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0g Fn V)
7 dffn5 6967 . . . . . 6 (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
86, 7sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
9 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = (𝑅𝑦) → (0g𝑥) = (0g‘(𝑅𝑦)))
102, 4, 8, 9fmptco 7149 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑅) = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
111, 10eqtrid 2789 . . 3 (𝜑0 = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
123ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
14 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑦)) = (0g‘(𝑅𝑦))
1513, 14mndidcl 18762 . . . . . 6 ((𝑅𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1612, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1716ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
18 prdsplusgcl.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19 prdsplusgcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
20 prdsplusgcl.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
21 prdsplusgcl.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
223ffnd 6737 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
2318, 19, 20, 21, 22prdsbasmpt 17515 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2417, 23mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵)
2511, 24eqeltrd 2841 . 2 (𝜑0𝐵)
261fveq1i 6907 . . . . . . . . . 10 ( 0𝑦) = ((0g𝑅)‘𝑦)
27 fvco2 7006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
2822, 27sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
2926, 28eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3029adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3130oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)))
323adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
3332ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
3420ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
3521ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
3622ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
37 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑥𝐵)
38 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
3918, 19, 34, 35, 36, 37, 38prdsbasprj 17517 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
40 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g‘(𝑅𝑦)) = (+g‘(𝑅𝑦))
4113, 40, 14mndlid 18767 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4233, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4331, 42eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4443mpteq2dva 5242 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
4520adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑉)
4621adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑊)
4722adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
4825adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 0𝐵)
49 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
50 prdsplusgcl.p . . . . . 6 + = (+g𝑌)
5118, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50prdsplusgval 17518 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))))
5218, 19, 45, 46, 47, 49prdsbasfn 17516 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
53 dffn5 6967 . . . . . 6 (𝑥 Fn 𝐼𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5452, 53sylib 218 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5544, 51, 543eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
5630oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))))
5713, 40, 14mndrid 18768 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
5833, 39, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
5956, 58eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = (𝑥𝑦))
6059mpteq2dva 5242 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
6118, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50prdsplusgval 17518 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))))
6260, 61, 543eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
6355, 62jca 511 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6463ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6525, 64jca 511 1 (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cmpt 5225  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Xscprds 17490  Mndcmnd 18747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748
This theorem is referenced by:  prdsmndd  18783  prds0g  18784
  Copyright terms: Public domain W3C validator