Theorem prdsidlem 18696

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsplusgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
2		fvexd 6873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ V)
3		prdsplusgcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
4	3	feqmptd 6929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑦)))
5		fn0g 18590	. . . . . . 7 ⊢ 0g Fn V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0g Fn V)
7		dffn5 6919	. . . . . 6 ⊢ (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
9		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑦) → (0g‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
10	2, 4, 8, 9	fmptco 7101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
11	1, 10	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
12	3	ffvelcdmda 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑦)) = (0g‘(𝑅‘𝑦))
15	13, 14	mndidcl 18676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16	12, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
17	16	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
18		prdsplusgcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19		prdsplusgcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20		prdsplusgcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
21		prdsplusgcl.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
22	3	ffnd 6689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
23	18, 19, 20, 21, 22	prdsbasmpt 17433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
24	17, 23	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵)
25	11, 24	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
26	1	fveq1i 6859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ‘𝑦) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦)
27		fvco2 6958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
28	22, 27	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
29	26, 28	eqtrid 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
30	29	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
31	30	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)))
32	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
33	32	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
34	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
35	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
36	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
37		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
39	18, 19, 34, 35, 36, 37, 38	prdsbasprj 17435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
40		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑦)) = (+g‘(𝑅‘𝑦))
41	13, 40, 14	mndlid 18681	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
42	33, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
43	31, 42	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
44	43	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
45	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑉)
46	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
47	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
48	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
49		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑌)
51	18, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50	prdsplusgval 17436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))))
52	18, 19, 45, 46, 47, 49	prdsbasfn 17434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
53		dffn5 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 Fn 𝐼 ↔ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
54	52, 53	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
55	44, 51, 54	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
56	30	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))))
57	13, 40, 14	mndrid 18682	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
58	33, 39, 57	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
59	56, 58	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
60	59	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
61	18, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50	prdsplusgval 17436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))))
62	60, 61, 54	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
63	55, 62	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
64	63	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
65	25, 64	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  X_scprds 17408  Mndcmnd 18661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662

This theorem is referenced by:  prdsmndd  18697  prds0g  18698