Theorem prdsidlem 18943

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsplusgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
2		fvexd 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ V)
3		prdsplusgcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
4	3	feqmptd 6945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑦)))
5		fn0g 18823	. . . . . . 7 ⊢ 0g Fn V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0g Fn V)
7		dffn5 6935	. . . . . 6 ⊢ (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
8	6, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
9		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑦) → (0g‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
10	2, 4, 8, 9	fmptco 7122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
11	1, 10	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
12	3	ffvelcdmda 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
13		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑦)) = (0g‘(𝑅‘𝑦))
15	13, 14	mndidcl 18919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16	12, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
17	16	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
18		prdsplusgcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19		prdsplusgcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20		prdsplusgcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
21		prdsplusgcl.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
22	3	ffnd 6702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
23	18, 19, 20, 21, 22	prdsbasmpt 17621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
24	17, 23	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵)
25	11, 24	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
26	1	fveq1i 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ‘𝑦) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦)
27		fvco2 6974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
28	22, 27	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
29	26, 28	eqtrid 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
30	29	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
31	30	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)))
32	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
33	32	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
34	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
35	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
36	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
37		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
39	18, 19, 34, 35, 36, 37, 38	prdsbasprj 17623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
40		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑦)) = (+g‘(𝑅‘𝑦))
41	13, 40, 14	mndlid 18924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
42	33, 39, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
43	31, 42	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
44	43	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
45	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑉)
46	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
47	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
48	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
49		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑌)
51	18, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50	prdsplusgval 17624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))))
52	18, 19, 45, 46, 47, 49	prdsbasfn 17622	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
53		dffn5 6935	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 Fn 𝐼 ↔ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
54	52, 53	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
55	44, 51, 54	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
56	30	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))))
57	13, 40, 14	mndrid 18925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
58	33, 39, 57	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
59	56, 58	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
60	59	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
61	18, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50	prdsplusgval 17624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))))
62	60, 61, 54	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
63	55, 62	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
64	63	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
65	25, 64	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  X_scprds 17596  Mndcmnd 18903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-prds 17598  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904

This theorem is used by:  prdsmndd  18944  prds0g  18945