MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsidlem 18593
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsplusgcl.p + = (+gβ€˜π‘Œ)
prdsplusgcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsplusgcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
prdsidlem.z 0 = (0g ∘ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯, +   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   0 (π‘₯)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4 0 = (0g ∘ 𝑅)
2 fvexd 6858 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ V)
3 prdsplusgcl.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
43feqmptd 6911 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))
5 fn0g 18523 . . . . . . 7 0g Fn V
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0g Fn V)
7 dffn5 6902 . . . . . 6 (0g Fn V ↔ 0g = (π‘₯ ∈ V ↦ (0gβ€˜π‘₯)))
86, 7sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0g = (π‘₯ ∈ V ↦ (0gβ€˜π‘₯)))
9 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘…β€˜π‘¦) β†’ (0gβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
102, 4, 8, 9fmptco 7076 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
111, 10eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
123ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
1513, 14mndidcl 18576 . . . . . 6 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
1612, 15syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
1716ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
18 prdsplusgcl.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
19 prdsplusgcl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
20 prdsplusgcl.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
21 prdsplusgcl.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
223ffnd 6670 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
2318, 19, 20, 21, 22prdsbasmpt 17357 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
2417, 23mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) ∈ 𝐡)
2511, 24eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
261fveq1i 6844 . . . . . . . . . 10 ( 0 β€˜π‘¦) = ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)
27 fvco2 6939 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
2822, 27sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
2926, 28eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ( 0 β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3029adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ( 0 β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3130oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)))
323adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
3332ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
3420ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
3521ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3622ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
37 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
38 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
3918, 19, 34, 35, 36, 37, 38prdsbasprj 17359 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
40 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
4113, 40, 14mndlid 18581 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd ∧ (π‘₯β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
4233, 39, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
4331, 42eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
4443mpteq2dva 5206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
4520adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4621adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4722adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
4825adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
49 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
50 prdsplusgcl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Œ)
5118, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50prdsplusgval 17360 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 + π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦))))
5218, 19, 45, 46, 47, 49prdsbasfn 17358 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ Fn 𝐼)
53 dffn5 6902 . . . . . 6 (π‘₯ Fn 𝐼 ↔ π‘₯ = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
5452, 53sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
5544, 51, 543eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 + π‘₯) = π‘₯)
5630oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦)) = ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5713, 40, 14mndrid 18582 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd ∧ (π‘₯β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) = (π‘₯β€˜π‘¦))
5833, 39, 57syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) = (π‘₯β€˜π‘¦))
5956, 58eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
6059mpteq2dva 5206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
6118, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50prdsplusgval 17360 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 0 ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦))))
6260, 61, 543eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯)
6355, 62jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯))
6463ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯))
6525, 64jca 513 1 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Xscprds 17332  Mndcmnd 18561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562
This theorem is referenced by:  prdsmndd  18594  prds0g  18595
  Copyright terms: Public domain W3C validator