Theorem prdsidlem 18992

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsplusgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
2		fvexd 6923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ V)
3		prdsplusgcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
4	3	feqmptd 6976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑦)))
5		fn0g 18872	. . . . . . 7 ⊢ 0g Fn V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0g Fn V)
7		dffn5 6966	. . . . . 6 ⊢ (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
8	6, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
9		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑦) → (0g‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
10	2, 4, 8, 9	fmptco 7154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
11	1, 10	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
12	3	ffvelcdmda 7108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑦)) = (0g‘(𝑅‘𝑦))
15	13, 14	mndidcl 18968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16	12, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
17	16	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
18		prdsplusgcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19		prdsplusgcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20		prdsplusgcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
21		prdsplusgcl.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
22	3	ffnd 6732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
23	18, 19, 20, 21, 22	prdsbasmpt 17670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
24	17, 23	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵)
25	11, 24	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
26	1	fveq1i 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ‘𝑦) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦)
27		fvco2 7005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
28	22, 27	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
29	26, 28	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
30	29	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
31	30	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)))
32	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
33	32	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
34	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
35	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
36	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
37		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
39	18, 19, 34, 35, 36, 37, 38	prdsbasprj 17672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
40		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑦)) = (+g‘(𝑅‘𝑦))
41	13, 40, 14	mndlid 18973	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
42	33, 39, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
43	31, 42	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
44	43	mpteq2dva 5201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
45	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑉)
46	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
47	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
48	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
49		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑌)
51	18, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50	prdsplusgval 17673	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))))
52	18, 19, 45, 46, 47, 49	prdsbasfn 17671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
53		dffn5 6966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 Fn 𝐼 ↔ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
54	52, 53	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
55	44, 51, 54	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
56	30	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))))
57	13, 40, 14	mndrid 18974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
58	33, 39, 57	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
59	56, 58	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
60	59	mpteq2dva 5201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
61	18, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50	prdsplusgval 17673	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))))
62	60, 61, 54	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
63	55, 62	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
64	63	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
65	25, 64	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  X_scprds 17645  Mndcmnd 18952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953

This theorem is used by:  prdsmndd  18993  prds0g  18994