MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsidlem 18659
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsplusgcl.p + = (+gβ€˜π‘Œ)
prdsplusgcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsplusgcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
prdsidlem.z 0 = (0g ∘ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯, +   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   0 (π‘₯)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4 0 = (0g ∘ 𝑅)
2 fvexd 6906 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ V)
3 prdsplusgcl.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
43feqmptd 6960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))
5 fn0g 18584 . . . . . . 7 0g Fn V
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0g Fn V)
7 dffn5 6950 . . . . . 6 (0g Fn V ↔ 0g = (π‘₯ ∈ V ↦ (0gβ€˜π‘₯)))
86, 7sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0g = (π‘₯ ∈ V ↦ (0gβ€˜π‘₯)))
9 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘…β€˜π‘¦) β†’ (0gβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
102, 4, 8, 9fmptco 7129 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
111, 10eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
123ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
13 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
1513, 14mndidcl 18642 . . . . . 6 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
1612, 15syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
1716ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
18 prdsplusgcl.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
19 prdsplusgcl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
20 prdsplusgcl.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
21 prdsplusgcl.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
223ffnd 6718 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
2318, 19, 20, 21, 22prdsbasmpt 17418 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
2417, 23mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) ∈ 𝐡)
2511, 24eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
261fveq1i 6892 . . . . . . . . . 10 ( 0 β€˜π‘¦) = ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)
27 fvco2 6988 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
2822, 27sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
2926, 28eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ( 0 β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3029adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ( 0 β€˜π‘¦) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3130oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)))
323adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
3332ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
3420ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
3521ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3622ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
37 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
38 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
3918, 19, 34, 35, 36, 37, 38prdsbasprj 17420 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
40 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
4113, 40, 14mndlid 18647 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd ∧ (π‘₯β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
4233, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
4331, 42eqtrd 2772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
4443mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
4520adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4621adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4722adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
4825adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
49 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
50 prdsplusgcl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Œ)
5118, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50prdsplusgval 17421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 + π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘₯β€˜π‘¦))))
5218, 19, 45, 46, 47, 49prdsbasfn 17419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ Fn 𝐼)
53 dffn5 6950 . . . . . 6 (π‘₯ Fn 𝐼 ↔ π‘₯ = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
5452, 53sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
5544, 51, 543eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 + π‘₯) = π‘₯)
5630oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦)) = ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5713, 40, 14mndrid 18648 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd ∧ (π‘₯β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) = (π‘₯β€˜π‘¦))
5833, 39, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) = (π‘₯β€˜π‘¦))
5956, 58eqtrd 2772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜π‘¦))
6059mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
6118, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50prdsplusgval 17421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 0 ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))( 0 β€˜π‘¦))))
6260, 61, 543eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯)
6355, 62jca 512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯))
6463ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯))
6525, 64jca 512 1 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (( 0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0 ) = π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Xscprds 17393  Mndcmnd 18627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-prds 17395  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628
This theorem is referenced by:  prdsmndd  18660  prds0g  18661
  Copyright terms: Public domain W3C validator