Theorem prdsidlem 17945

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsplusgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
2		fvexd 6687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ V)
3		prdsplusgcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
4	3	feqmptd 6735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑦)))
5		fn0g 17875	. . . . . . 7 ⊢ 0g Fn V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0g Fn V)
7		dffn5 6726	. . . . . 6 ⊢ (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
8	6, 7	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
9		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑦) → (0g‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
10	2, 4, 8, 9	fmptco 6893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
11	1, 10	syl5eq 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
12	3	ffvelrnda 6853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
13		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
14		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑦)) = (0g‘(𝑅‘𝑦))
15	13, 14	mndidcl 17928	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16	12, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
17	16	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
18		prdsplusgcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19		prdsplusgcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20		prdsplusgcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
21		prdsplusgcl.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
22	3	ffnd 6517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
23	18, 19, 20, 21, 22	prdsbasmpt 16745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
24	17, 23	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵)
25	11, 24	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
26	1	fveq1i 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ‘𝑦) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦)
27		fvco2 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
28	22, 27	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
29	26, 28	syl5eq 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
30	29	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
31	30	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)))
32	3	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
33	32	ffvelrnda 6853	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
34	20	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
35	21	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
36	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
37		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐵)
38		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
39	18, 19, 34, 35, 36, 37, 38	prdsbasprj 16747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
40		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑦)) = (+g‘(𝑅‘𝑦))
41	13, 40, 14	mndlid 17933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
42	33, 39, 41	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
43	31, 42	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
44	43	mpteq2dva 5163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
45	20	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑉)
46	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
47	22	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
48	25	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
49		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑌)
51	18, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50	prdsplusgval 16748	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))))
52	18, 19, 45, 46, 47, 49	prdsbasfn 16746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
53		dffn5 6726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 Fn 𝐼 ↔ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
54	52, 53	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
55	44, 51, 54	3eqtr4d 2868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
56	30	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))))
57	13, 40, 14	mndrid 17934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
58	33, 39, 57	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
59	56, 58	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
60	59	mpteq2dva 5163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
61	18, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50	prdsplusgval 16748	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))))
62	60, 61, 54	3eqtr4d 2868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
63	55, 62	jca 514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
64	63	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
65	25, 64	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ↦ cmpt 5148   ∘ ccom 5561   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  X_scprds 16721  Mndcmnd 17913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914

This theorem is referenced by:  prdsmndd  17946  prds0g  17947