MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsidlem 18794
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
2 fvexd 6921 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ V)
3 prdsplusgcl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
43feqmptd 6976 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑅𝑦)))
5 fn0g 18688 . . . . . . 7 0g Fn V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0g Fn V)
7 dffn5 6966 . . . . . 6 (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
86, 7sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
9 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = (𝑅𝑦) → (0g𝑥) = (0g‘(𝑅𝑦)))
102, 4, 8, 9fmptco 7148 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑅) = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
111, 10eqtrid 2786 . . 3 (𝜑0 = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
123ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
13 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
14 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑦)) = (0g‘(𝑅𝑦))
1513, 14mndidcl 18774 . . . . . 6 ((𝑅𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1612, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1716ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
18 prdsplusgcl.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19 prdsplusgcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
20 prdsplusgcl.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
21 prdsplusgcl.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
223ffnd 6737 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
2318, 19, 20, 21, 22prdsbasmpt 17516 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2417, 23mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵)
2511, 24eqeltrd 2838 . 2 (𝜑0𝐵)
261fveq1i 6907 . . . . . . . . . 10 ( 0𝑦) = ((0g𝑅)‘𝑦)
27 fvco2 7005 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
2822, 27sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
2926, 28eqtrid 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3029adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3130oveq1d 7445 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)))
323adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
3332ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
3420ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
3521ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
3622ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
37 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑥𝐵)
38 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
3918, 19, 34, 35, 36, 37, 38prdsbasprj 17518 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
40 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (+g‘(𝑅𝑦)) = (+g‘(𝑅𝑦))
4113, 40, 14mndlid 18779 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4233, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4331, 42eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4443mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
4520adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑉)
4621adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑊)
4722adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
4825adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 0𝐵)
49 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
50 prdsplusgcl.p . . . . . 6 + = (+g𝑌)
5118, 19, 45, 46, 47, 48, 49, 50prdsplusgval 17519 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))))
5218, 19, 45, 46, 47, 49prdsbasfn 17517 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
53 dffn5 6966 . . . . . 6 (𝑥 Fn 𝐼𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5452, 53sylib 218 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5544, 51, 543eqtr4d 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
5630oveq2d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))))
5713, 40, 14mndrid 18780 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
5833, 39, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
5956, 58eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = (𝑥𝑦))
6059mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
6118, 19, 45, 46, 47, 49, 48, 50prdsplusgval 17519 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))))
6260, 61, 543eqtr4d 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
6355, 62jca 511 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6463ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6525, 64jca 511 1 (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  cmpt 5230  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Xscprds 17491  Mndcmnd 18759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760
This theorem is referenced by:  prdsmndd  18795  prds0g  18796
  Copyright terms: Public domain W3C validator