Theorem gsummptres 33133

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptres.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptres.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptres	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptres.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2	fvexi 6841	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
10	7, 5, 6, 9	fsuppmptdm 9279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		inindif 4303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅)
13		inundif 4407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)) = 𝐴
14	13	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15	gsumsplit2 19895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))))
17		gsummptres.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )
18	17	mpteq2dva 5165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 ))
19	18	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )))
20		cmnmnd 19763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
22		diffi 9099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
23	5, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
24	2	gsumz 18795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
25	21, 23, 24	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
26	19, 25	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = 0 )
27	26	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ))
28		infi 9170	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
29	5, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
30		inss1 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐴
31	30	sseli 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31, 6	sylan2 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
33	32	ralrimiva 3131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)𝐶 ∈ 𝐵)
34	1, 4, 29, 33	gsummptcl 19933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵)
35	1, 3, 2	mndrid 18714	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
36	21, 34, 35	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
37	27, 36	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
38	16, 37	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4261   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by: (None)