Theorem gsummptres 33056

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptres.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptres.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptres	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptres.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2	fvexi 6919	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
10	7, 5, 6, 9	fsuppmptdm 9417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		inindif 4374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅)
13		inundif 4478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)) = 𝐴
14	13	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15	gsumsplit2 19948	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))))
17		gsummptres.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )
18	17	mpteq2dva 5241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 ))
19	18	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )))
20		cmnmnd 19816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
22		diffi 9216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
23	5, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
24	2	gsumz 18850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
26	19, 25	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = 0 )
27	26	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ))
28		infi 9303	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
29	5, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
30		inss1 4236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐴
31	30	sseli 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31, 6	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
33	32	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)𝐶 ∈ 𝐵)
34	1, 4, 29, 33	gsummptcl 19986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵)
35	1, 3, 2	mndrid 18769	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
36	21, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
37	27, 36	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
38	16, 37	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949  ∅c0 4332   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748  CMndccmn 19799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-cntz 19336  df-cmn 19801

This theorem is referenced by: (None)