Theorem gsummptres 33606

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptres.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptres.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptres	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptres.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2	fvexi 6897	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
10	7, 5, 6, 9	fsuppmptdm 9361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		inindif 4324	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅)
13		inundif 4435	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)) = 𝐴
14	13	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15	gsumsplit2 20136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))))
17		gsummptres.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )
18	17	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 ))
19	18	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )))
20		cmnmnd 20004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	4, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
22		diffi 9183	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
23	5, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
24	2	gsumz 19025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
26	19, 25	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = 0 )
27	26	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ))
28		infi 9254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
29	5, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
30		inss1 4182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐴
31	30	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31, 6	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
33	32	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)𝐶 ∈ 𝐵)
34	1, 4, 29, 33	gsummptcl 20174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵)
35	1, 3, 2	mndrid 18938	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
36	21, 34, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
37	27, 36	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
38	16, 37	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  Mndcmnd 18916  CMndccmn 19987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-cntz 19524  df-cmn 19989

This theorem is used by: (None)