Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummptres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptres 33038
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptres.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres.1 0 = (0g𝐺)
gsummptres.2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptres.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptres.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐷)) → 𝐶 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummptres (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptres
StepHypRef Expression
1 gsummptres.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptres.1 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2735 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 gsummptres.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsummptres.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptres.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
7 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
82fvexi 6921 . . . . 5 0 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
107, 5, 6, 9fsuppmptdm 9414 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
11 inindif 4381 . . . 4 ((𝐴𝐷) ∩ (𝐴𝐷)) = ∅
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷) ∩ (𝐴𝐷)) = ∅)
13 inundif 4485 . . . . 5 ((𝐴𝐷) ∪ (𝐴𝐷)) = 𝐴
1413eqcomi 2744 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐷) ∪ (𝐴𝐷))
1514a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐷) ∪ (𝐴𝐷)))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15gsumsplit2 19962 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))))
17 gsummptres.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐷)) → 𝐶 = 0 )
1817mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 ))
1918oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 )))
20 cmnmnd 19830 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
214, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
22 diffi 9214 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
235, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
242gsumz 18862 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴𝐷) ∈ Fin) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
2619, 25eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) = 0 )
2726oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺) 0 ))
28 infi 9300 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
295, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
30 inss1 4245 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴
3130sseli 3991 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) → 𝑥𝐴)
3231, 6sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐷)) → 𝐶𝐵)
3332ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐷)𝐶𝐵)
341, 4, 29, 33gsummptcl 20000 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵)
351, 3, 2mndrid 18781 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
3621, 34, 35syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
3727, 36eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
3816, 37eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  c0 4339  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator