Theorem gsummptres 31031

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptres.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptres.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptres	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptres.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2	fvexi 6731	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
10	7, 5, 6, 9	fsuppmptdm 8996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		inindif 30582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅)
13		inundif 4393	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)) = 𝐴
14	13	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15	gsumsplit2 19314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))))
17		gsummptres.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )
18	17	mpteq2dva 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 ))
19	18	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )))
20		cmnmnd 19186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
22		diffi 8906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
23	5, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
24	2	gsumz 18262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
25	21, 23, 24	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
26	19, 25	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = 0 )
27	26	oveq2d 7229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ))
28		infi 8899	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
29	5, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
30		inss1 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐴
31	30	sseli 3896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31, 6	sylan2 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
33	32	ralrimiva 3105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)𝐶 ∈ 𝐵)
34	1, 4, 29, 33	gsummptcl 19352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵)
35	1, 3, 2	mndrid 18194	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
36	21, 34, 35	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
37	27, 36	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
38	16, 37	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865  ∅c0 4237   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944   Σ_g cgsu 16945  Mndcmnd 18173  CMndccmn 19170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-cntz 18711  df-cmn 19172

This theorem is referenced by: (None)