Theorem gsummptres 30497

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptres.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptres.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptres	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2797	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummptres.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2	fvexi 6559	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
10	7, 5, 6, 9	fsuppmptdm 8697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
11		inindif 29963	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐷) ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅)
13		inundif 4347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)) = 𝐴
14	13	eqcomi 2806	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15	gsumsplit2 18773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))))
17		gsummptres.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → 𝐶 = 0 )
18	17	mpteq2dva 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 ))
19	18	oveq2d 7039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )))
20		cmnmnd 18652	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21	4, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
22		diffi 8603	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
23	5, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin)
24	2	gsumz 17817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝐷) ∈ Fin) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
26	19, 25	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶)) = 0 )
27	26	oveq2d 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ))
28		infi 8595	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
29	5, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
30		inss1 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐴
31	30	sseli 3891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31, 6	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
33	32	ralrimiva 3151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷)𝐶 ∈ 𝐵)
34	1, 4, 29, 33	gsummptcl 18811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵)
35	1, 3, 2	mndrid 17755	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
36	21, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
37	27, 36	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↦ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))
38	16, 37	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐷) ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862   ∪ cun 3863   ∩ cin 3864  ∅c0 4217   ↦ cmpt 5047  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  Basecbs 16316  +_gcplusg 16398  0_gc0g 16546   Σ_g cgsu 16547  Mndcmnd 17737  CMndccmn 18637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-cntz 18192  df-cmn 18639

This theorem is referenced by: (None)