Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummptres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptres 33056
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptres.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres.1 0 = (0g𝐺)
gsummptres.2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptres.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptres.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐷)) → 𝐶 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummptres (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptres
StepHypRef Expression
1 gsummptres.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptres.1 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2736 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 gsummptres.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsummptres.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 gsummptres.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
7 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
82fvexi 6919 . . . . 5 0 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
107, 5, 6, 9fsuppmptdm 9417 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
11 inindif 4374 . . . 4 ((𝐴𝐷) ∩ (𝐴𝐷)) = ∅
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷) ∩ (𝐴𝐷)) = ∅)
13 inundif 4478 . . . . 5 ((𝐴𝐷) ∪ (𝐴𝐷)) = 𝐴
1413eqcomi 2745 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐷) ∪ (𝐴𝐷))
1514a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐷) ∪ (𝐴𝐷)))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15gsumsplit2 19948 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))))
17 gsummptres.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐷)) → 𝐶 = 0 )
1817mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 ))
1918oveq2d 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 )))
20 cmnmnd 19816 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
214, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
22 diffi 9216 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
235, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
242gsumz 18850 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴𝐷) ∈ Fin) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 0 )) = 0 )
2619, 25eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) = 0 )
2726oveq2d 7448 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺) 0 ))
28 infi 9303 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
295, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ Fin)
30 inss1 4236 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴
3130sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) → 𝑥𝐴)
3231, 6sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐷)) → 𝐶𝐵)
3332ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐷)𝐶𝐵)
341, 4, 29, 33gsummptcl 19986 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵)
351, 3, 2mndrid 18769 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
3621, 34, 35syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
3727, 36eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
3816, 37eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴𝐷) ↦ 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  c0 4332  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  CMndccmn 19799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-cntz 19336  df-cmn 19801
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator